高考数学公式及知识点总结

高考前数学知识点总结

一. 教学内容： 知识点总结

二. 教学过程：

高考临近，对以下问题你是否有清楚的认识？

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合A?中元素各表示什么？

?x|y?lgx?，B??y|y?lgx?，C??(x,y)|y?lgx?，A、B、C

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质：

（1）集合?a1，a2，??，an?的所有子集的个数是2n；

（2）若A?B?A?B? （3）德摩根定律：

A，A?B?B；

UUUUUU

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

C?A?B???CA???CB?，C?A?B???CA???CB?

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”(?)，“且”(?)和

“非”(?).

若p?q为真，当且仅当p、q均为真

若p?q为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若?p为真，当且仅当p为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 10. 如何求复合函数的定义域？

义域是_____________。

如：函数f(x)的定义域是a，b，b??a?0，则函数F(x)?f(x)?f(?x)的定??

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域） 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

（答：a，?a）??

③设y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A，b?C，则f(a)=b?f?1(b)?a ?f?1?f(a)??f?1(b)?a，ff?1(b)?f(a)?b

14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？

??

（y?f(u)，u??(x)，则y?f??(x)?

（外层）（内层）当内、外层函数单调性相同时f??(x)?为增函数，否则f??(x)?为减函数。）

如：求y?log1?x2?2x的单调区间2??

2（设u??x2?2x，由u?0则0?x?2

且log1u?，u???x?1??1，如图：2

u O 1 2 x

当x?(0，1]时，u?，又log1u?，∴y?

∴??）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

2

当x?[1，2)时，u?，又log1u?，∴y?2在区间?a，b?内，若总有f'(x)?0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)?0呢？

3如：已知a?0，函数f(x)?x?ax在?1，???上是单调增函数，则a的最大

值是（ ） A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

?a??a?（令f'(x)?3x2?a?3?x???x???033????

则x??

a或x?3a3

由已知f(x)在[1，??)上为增函数，则

∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

a?1，即a?33

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0) 17. 你熟悉周期函数的定义吗？ （若存在实数T（T函数，T是一个周期。）

若f(?x)??f(x)总成立?f(x)为奇函数?函数图象关于原点对称

若f(?x)?f(x)总成立?f(x)为偶函数?函数图象关于y轴对称

?0。

?0），在定义域内总有f?x?T??f(x)，则f(x)为周期

如：若f?x?a???f(x)，则（答：f(x)是周期函数，T?2a为f(x)的一个周期） 又如：若f(x)图象有两条对称轴x?a，x?b??? 即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x) 则f(x)是周期函数，2a?b为一个周期

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(?x)的图象关于y轴对称f(x)与?f(x)的图象关于x轴对称?1f(x)与?f(?x)的图象关于原点对称f(x)与f(x)的图象关于直线y?x对称f(x)与f(2a?x)的图象关于直线x?a对称f(x)与?f(2a?x)的图象关于点(a，0)对称

注意如下“翻折”变换：

左移a(a?0)个单位y?f(x?a)将y?f(x)图象??????????右移a(a?0)个单位y?f(x?a)

上移b(b?0)个单位y?f(x?a)?b??????????下移b(b?0)个单位y?f(x?a)?b

f(x)???f(x)

f(x)???f(|x|)

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b) O x x=a

的双曲线。

（1）一次函数：y?kx?b?k?0?

kk（2）反比例函数：y??k?0?推广为y?b??k?0?是中心O'(a，b)xx?a b?4ac?b2?2（3）二次函数y?ax?bx?c?a?0??a?x???图象为抛物线?2a?4a

2

?b4ac?b2?b顶点坐标为??，，对称轴x???4a?2a ?2a

4ac?b2开口方向：a?0，向上，函数ymin?4a

4ac?b2a?0，向下，ymax?4a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2?bx?c?0，??0时，两根x1、x2为二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

的两个交点，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端点值。

（4）指数函数：y?ax?a?0，a?1? （5）对数函数y?logx?a?0，a?1?a

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x (0

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

（6）“对勾函数”y?x?k?k?0?x

y ?k O k x 20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a0?1(a?0)，a?p?amn1(a?0)ap

a

对数运算：logaM·N?logaM?logaN?M?0，N?0?

?anm(a?0)，a?mn?1nm(a?0)loga

21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

M1?logaM?logaN，loganM?logaMNn

logax对数恒等式：a?x

logcbn对数换底公式：logab??logambn?logablogcam

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t)

∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)??）

2212

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值：

（3）证明单调性：f(x)?f?x?x??x?????

（1）y?2x?3?13?4x

（2）y?

2x?4x?3

2x2（3）x?3，y?x?3

（4）y?x?4?9?x2设x?3cos?，???0，????

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（5）y?4x?9，x?(0，1]x

（l??·R，S扇?11l·R??·R2）22

R 1弧度 O R 24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sin??MP，cos??OM，tan??AT

y T B S P α O M A x

如：若?

????0，则sin?，cos?，tan?的大小顺序是8

???又如：求函数y?1?2cos??x?的定义域和值域。?2? ???（∵1?2cos??x?）?1?2sinx?0?2? ∴sinx?2，如图：2

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

∴2k??5???x?2k???k?Z?，0?y?1?244

sinx?1，cosx?1

y y?tgx x ? ? ? O ? 22

???对称点为?k，0?，k?Z?2?

??y?sinx的增区间为?2k??，2k??2????k?Z?2??

?3???减区间为?2k??，2k????k?Z?22??

?图象的对称点为?k?，0?，对称轴为x?k???k?Z?2

y?cosx的增区间为?2k?，2k?????k?Z?

减区间为?2k???，2k??2???k?Z?

???图象的对称点为?k??，0?，对称轴为x?k??k?Z???2 ????y?tanx的增区间为?k??，k???k?Z?22?

26. 正弦型函数y=Asin??x+??的图象和性质要熟记。?或y?Acos??x???? （1）振幅|A|，周期T?2?|?|

若f?x0???A，则x?x0为对称轴。

若f?x0??0，则?x0，0?为对称点，反之也对。

（2）五点作图：令?x??依次为0，?3?，?，，2?，求出x与y，依点22

（x，y）作图象。

（3）根据图象求解析式。（求A、?、?值）

??(x1)???0?如图列出???(x)???2?2 ?解条件组求?、?值

?正切型函数y?Atan??x???，T??如：cos?x??

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

?|?|

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

??23???，x???，?，求x值。???6?22?? 3?7??5??5?13（∵??x?，∴?x??，∴x??，∴x??）26636412

如：函数y?sinx?sin|x|的值域是

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式：

（x?0时，y?2sinx???2，2?，x?0时，y?0，∴y???2，2?）

??x'?x?ha?(h，k)（1）点P（x，y）???????P'（x'，y'），则?平移至?y'?y?k

图象？

（2）曲线f(x，y)?0沿向量a?(h，k)平移后的方程为f(x?h，y?k)?0

???如：函数y?2sin?2x???1的图象经过怎样的变换才能得到y?sinx的?4?

?????1????2倍（y?2sin?2x???1?横坐标伸长到原来的??????????y?2sin?2?x????1?4???2?4?

?左平移个单位???1个单位4?2sin?x???1????????y?2sinx?1?上平移???????y?2sinx?4?

1纵坐标缩短到原来的倍2?y?sinx）??????????

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1?sin2??cos2??sec2??tan2??tan?·cot??cos?·sec??tan?4

?sin “奇”、“偶”指k取奇、偶数。

??cos0???称为1的代换。2

?“k·??”化为?的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，2 如：cos9??7???tan????sin?21????6?4sin??tan?又如：函数y?，则y的值为cos??cot?B. 负值

C. 非负值

A. 正值或负值

D. 正值

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

sin?2sin??cos??1?cos??（y??0，∵??0）cos?cos2??sin??1?cos??sin?

sin??令???sin??????sin?cos??cos?sin??????sin2??2sin?cos?

令???cos??????cos?cos??sin?sin??????cos2??cos2??sin2? tan??????tan??tan?22 ?2cos??1?1?2sin?? 1?tan?·tan?tan2??

2tan? 1?tan2? 1?cos2?2 1?cos2?2sin??2cos2??

asin??bcos??a2?b2sin?????，tan???sin??cos??2sin???????4? ???sin??3cos??2sin?????3?ba

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法：

（1）角的变换：如?????????，

（2）名的变换：化弦或化切 （3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

???????????????????????22??2

如：已知

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

sin?cos?2?1，tan???????，求tan???2??的值。1?cos2?3

sin?cos?cos?1（由已知得：??1，∴tan??2sin?2 2sin2?2又tan??????3

21?tan??????tan?32?1）∴tan???2???tan?????????1?tan?????·tan?1?2·1832

??

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

b2?c2?a2余弦定理：a?b?c?2bccosA?cosA?2bc222

?a?2RsinAabc?正弦定理：???2R??b?2RsinBsinAsinBsinC?c?2RsinC?

1S??a·bsinC2

∵A?B?C??，∴A?B???C

A?BC∴sin?A?B??sinC，sin?cos22

A?B如?ABC中，2sin2?cos2C?12

（1）求角C；

c2（2）若a?b?，求cos2A?cos2B的值。2

（（1）由已知式得：1?cos?A?B??2cos2C?1?1

22

又A?B???C，∴2cos2C?cosC?1?0

1∴cosC?或cosC??1（舍）2

?又0?C??，∴C?3

1（2）由正弦定理及a2?b2?c2得：2 ?32sin2A?2sin2B?sin2C?sin2?34

31?cos2A?1?cos2B?4

3∴cos2A?cos2B??）4

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

????反正弦：arcsinx???，?，x???1，1?2??2

反余弦：arccosx??0，??，x???1，1? ????反正切：arctanx???，?，?x?R??22?

34. 不等式的性质有哪些？

35. 利用均值不等式：

22c?0?ac?bc

（2）a?b，c?d?a?c?b?d （3）a?b?0，c?d?0?ac?bd

1111（4）a?b?0??，a?b?0??abab

（5）a?b?0?an?bn，na?nb

（6）|x|?a?a?0???a?x?a，|x|?a?x??a或x?a

（1）a?b，c?0?ac?bc

?a?b?a?b?2aba，b?R；a?b?2ab；ab???求最值时，你是否注?2?

???2值？（一正、二定、三相等） 注意如下结论：

意到“a，b?R?”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a?b)其中之一为定

a2?b2a?b2ab??ab?a，b?R?22a?b当且仅当a?b时等号成立。

??

a2?b2?c2?ab?bc?ca?a，b?R?

当且仅当a?b?c时取等号。 a?b?0，m?0，n?0，则 bb?ma?na??1??aa?mb?nb

4如：若x?0，2?3x?的最大值为x4??（设y?2??3x???2?212?2?43?x?

当且仅当3x?

423，又x?0，∴x?时，ymax?2?43）x3

又如：x?2y?1，则2x?4y的最小值为

x2yx?2y1?22，∴最小值为2 （∵2?2?22 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。

2）

如：证明1?

111?????22232n2

111111（1?2?2????2?1??????1?22?323n?n?1?n

?1?1??2?11111???????223n?1n

1?2）n37.解分式不等式

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。） 38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

f(x)?a?a?0?的一般步骤是什么？g(x)

如：?x?1??x?1??x?2??0

23 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a?1或0?a?1讨论 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x?3|?x?1?1

1??（解集为?x|x??）2? ?

41.会用不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|证明较简单的不等问题

如：设f(x)?x2?x?13，实数a满足|x?a|?1 求证：f(x)?f(a)?2(|a|?1)

2 证明：|f(x)?f(a)|?|(x?x?13)?(a2?a?13)|

?|(x?a)(x?a?1)|(?|x?a|?1)?|x?a||x?a?1|?|x?a?1|

（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

?|x|?|a|?1又|x|?|a|?|x?a|?1，∴|x|?|a|?1 ∴f(x)?f(a)?2|a|?2?2?|a|?1?

如：a?f(x)恒成立?a?f(x)的最小值 a?f(x)恒成立?a?f(x)的最大值 a?f(x)能成立?a?f(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x?3?x?2?a恒成立，则a的取值范围是

（设u?x?3?x?2，它表示数轴上到两定点?2和3距离之和

43. 等差数列的定义与性质

或者：x?3?x?2??x?3???x?2??5，∴a?5）

umin?3???2??5，∴5?a，即a?5

定义：an?1?an?d(d为常数)，an?a1??n?1?d

等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y 2性质：?an?是等差数列 前n项和Sn??a1?an?n?na

1?n?n?1?2d

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍为等差数列；

Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d；

aS（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则m?2m?1；bmT2m?1

（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Sn项，即：

?an2?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界

?an?0当a1?0，d?0，解不等式组?可得Sn达到最大值时的n值。?an?1?0

?an?0当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值。a?0?n?1

如：等差数列?an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，则n?

（由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1又S?

a?a?a1

3?132·3?3a2?1，∴2?3 ?∴S?a?1?1??n1?an?n?a2?an?1?·n??3?n???18 222

?n?27） 44. 等比数列的定义与性质

定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?1 an?a1qn

等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy

?na1(q?1)前n项和：S?n??a?1?1?qn?（要注意! ?1?q(q?1)） ?

性质：an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq

（2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n??仍为等比数列

45.由Sn求an时应注意什么？

（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

如：?a?满足1a1????1n1?2a2?1?

nan?2n?5 222

n?1时，1a 解：21?2?1?5，∴a1?14 n?2时，1a?1112a2????n?2?

222?1an?1?2n?1?5

?1???2?得：1na 2n?2

∴an?1n?2

［练习］

?14(n?1)∴an??n?1(n?2) ?2

5数列?an?满足Sn?Sn?1?an?1，a1?4，求an3

S（注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：n?1?4Sn 又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4n

n?2时，an （2）叠乘法

?Sn?Sn?1????3·4n?1

an?1n?，求anann?1

a12n?11?·??，∴n?23na1n

例如：数列?an?中，a1?3，

a2aa·3??na2an?1 解：a1

（3）等差型递推公式

又a1?3，∴an?3n

由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

n?2时，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)??两边相加，得：?????an?an?1?f(n)??

an?a1?f(2)?f(3)????f(n)

?a0?f(2)?f(3)????f(n)

数列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an

1（an?3n?1）2

∴an［练习］

（4）等比型递推公式

??an?can?1?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x?

?

dc?1

d?d?∴?an?，c为公比的等比数列?是首项为a1?c?1?c?1? dd??n?1∴an???a1??·cc?1?c?1?

（5）倒数法

d?n?1d?∴an??a1??c??c?1?c?1 例如：a1?1，an?1?2an，求anan?2 a?2111由已知得：?n??an?12an2an

111∴??an?1an2

?1?11???为等差数列，?1，公差为a12 ?an?

111??1??n?1?·??n?1?an22

2∴an?n?1

n 47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

如：?an?是公差为d的等差数列，求?由1k?1akak?1

解：

n111?11???????d?0?ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?

n11?11?∴??????aadaa?k?1kk?1k?1kk?1?

?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3?aa?nn?1???1?11????d?a1an?1?

（2）错位相减法：

和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。

若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项

如：Sn?1?2x?3x2?4x3????nxn?1?1?

234n?1?nxn x·Sn?x?2x?3x?4x?????n?1?x

?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn

?2?

x?1时，Sn

1?x?nx???nn?1?x?21?x

x?1时，Sn?1?2?3????n?n?n?1?2

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sn?a1?a2????an?1?an???相加S?an?an?1????a2?a1?? n

2Sn??a1?an???a2?an?1??????a1?an???

48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

n?n?1???Sn?p?1?r??p?1?2r?????p?1?nr??p?n?r???等差问题2??

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p(1?r)n?x?1?r?n?1?x?1?r?n?2????x?1?r??x

?1??1?r?n??1?r?n?1?x???x1?1?rr??????

n∴x?pr?1?r?

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

?1?r?n?1

（1）分类计数原理：N?m1?m2????mn （mi为各类办法中的方法数） 分步计数原理：N?m1·m2??mn

（mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.

n!Am?nn?1n?2??n?m?1????????m?n?nn?m!??

规定：0!?1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.

n?n?1????n?m?1?Amn!nC?m??m!m!?n?m?! Ammn规定：C0n?1

50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。 如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

（4）组合数性质：

n?mm?101nnCm，Cm?Cmn?Cnn?Cnn?1，Cn?Cn????Cn?2

xi?89，90，91，92，93，(i?1，2，3，4)且满足x1?x2?x3?x4， 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ） A. 24 B. 15 C. 12 D. 10 解析：可分成两类：

??

（1）中间两个分数不相等，

4

有C5?5（种） （2）中间两个分数相等

x1?x2?x3?x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。 ∴共有5＋10＝15（种）情况 51. 二项式定理

n1n?1n?22n?rrn(a?b)n?C0b?C2b???Crb???Cnna?Cnanananb n?rr二项展开式的通项公式：Tr?1?Crab(r?0，1??n) n

性质：

Crn为二项式系数（区别于该项的系数）

n?r（1）对称性：Crr?0，1，2，??，nn?Cn??

1nn（2）系数和：C0n?Cn???Cn?2 35024n?1C1n?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

?n?2；n为奇数时，(n?1)为偶数，中间两项的二项式??1?项，二项式系数为Cn?2? n?1n?1系数最大即第项及第?1项，其二项式系数为Cn2?Cn22211如：在二项式?x?1?的展开式中，系数最小的项系数为n?1n?1n

表示）

（用数字

（∵n＝11

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第12?6或第7项2

r由C11x11?r(?1)r，∴取r?5即第6项系数为负值为最小： 又如：?1?2x?200465?C11??C11??426

?a0?a1???a0?a2???a0?a3??????a0?a2004??（令x?0，得：a0?1

令x?1，得：a0?a2????a2004?1

?a0?a1x?a2x2????a2004x2004?x?R?，则

（用数字作答）

001

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

∴原式?2003a?a?a????a2004?2003?1?1?2004）??

（1）必然事件?，P??)?1，不可能事件?，P(?)?0

（2）包含关系：A?B，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B

（3）事件的和（并）：A?B或A?B“A与B至少有一个发生”叫做A与B 的和（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B??

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A

A?A??，A?A??

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。 53. 对某一事件概率的求法： 分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)?

A包含的等可能结果m?一次试验的等可能结果的总数n

（2）若A、B互斥，则P?A?B??P(A)?P(B) （3）若A、B相互独立，则PA·B?P?A?·P?B???

（4）P(A)?1?P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；

kk次的概率：Pn(k)?Cknp?1?p?n?k

（2）从中任取5件恰有2件次品；

3?C210?4C6?P2?5??21?C10??C22?4P???1?215? C10?

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品； 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

213∴m?C23·46?4

（4）从中依次取5件恰有2件次品。 解析：∵一件一件抽取（有顺序）

523∴n?A10，m?C24A5A6

23C2443·4·6?4∴P3??125 103

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法： （1）算数据极差xmax （2）决定组距和组数； （3）决定分点；

（4）列频率分布表； （5）画频率直方图。

23C2104A5A6∴P4??521 A10??xmin?；

其中，频率?小长方形的面积?组距×

频率组距

样本平均值：x?

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5（）6C15

1x1?x2????xnn 1222样本方差：S2??x1?x???x2?x??????xn?x?n????

56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

??（3）单位向量|a0|?1，a0?

??a|a|

（4）零向量0，|0|?0

???

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b （7）向量的加、减法如图：

??????长度相等??（5）相等的向量??a?b?方向相同

??a

?

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

????OA?OB?OC ???OA?OB?BA

?

e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

??????的一组基底。

（9）向量的坐标表示

实数对?1、?2，使得a??1e1??2e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量

?

i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

??表示。

a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a??x，y?，即为向量的坐标

????设a??x1，y1?，b??x2，y2?

则a?b??x1，y1???y1，y2???x1?y1，x2?y2? ?a???x1，y1????x1，?y1?

?????

若A?x1，y1?，B?x2，y2?

?则AB??x2?x1，y2?y1?

?22|AB|?x?x?y?y，A、B两点间距离公式 ????2121

57. 平面向量的数量积

??

（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。

?????为向量a与b的夹角，???0，??

B ???b O ? 数量积的几何意义： a·b等于|a|与b在a （2）数量积的运算法则

??????a

D A 的方向上的射影|b|cos?的乘积。

①a·b?b·a

????②(a?b)c?a·c?b·c

???????③a·b??x1，y1?·?x2，y2??x1x2?y1y2

????????注意：数量积不满足合结律(a·b)·c?a·(b·c)

（3）重要性质：设a??x1，y1?，b??x2，y2?

①a⊥b?a·b?0?x1·x2?y1·y2?0 ②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|

????????????????

?2?a??b（b?0，?惟一确定）

?x1y2?x2y1?0

?22121??????????

③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|

④cos??a·b|a|·|b|??x1x2?y1y2222x1?y1·x22?y2

［练习］

???????（1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则

??|a?b?c|? 答案：2

答案：2

2

??（2）若向量a??x，1?，b??4，x?，当x???时a与b共线且方向相同o????

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|?

答案：13

58. 线段的定比分点

设P1?x1，y1?，P2?x2，y2?，分点P?x，y?，设P1、P2是直线l上两点，P点在

??l上且不同于P1、P2，若存在一实数?，使P1P??PP2，则?叫做P分有向线段 ?P1P2所成的比（??0，P在线段P1P2内，??0，P在P1P2外），且

x1??x2x1?x2??x?x?????1??2，P为P1P2中点时，???y?y1??y2?y?y1?y2??1??2 ? ?如：?ABC，A?x1，y1?，B?x2，y2?，C?x3，y3?

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

y?y2?y3??x?x2?x3则?ABC重心G的坐标是?1，1??? 33线∥线???线∥面???面∥面判定性质????线⊥线???线⊥面???面⊥面????

线面平行的判定：

线∥线???线⊥面???面∥面

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a b ?? ?b?a∥b

线面平行的性质：

?∥面?，??面?，??? 三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则

a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

线面垂直：

P ??O a

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a O α b c 面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

α a l β

a⊥面?，b⊥面??a∥b 面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b ??

60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

?＝0o时，b∥?或b??

（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0???180o

o

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明：cos??cos?·cos?

A θ O β B ????????????????????????C? D α

（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

D1 C1 A1 B1 H G D C A B

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

36（①arcsin；②60o；③arcsin）43

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线??） 61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。

P F D C A E B D C A B D1 C1 A1 B1 62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE 它们各包含哪些元素？

S正棱锥侧?V锥?1C·h'（C——底面周长，h'为斜高）2

63. 球有哪些性质？

1底面积×高3

22 （1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R?d

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。 如：一正四面体的棱长均为积为（ ）

（4）S球?4?R2，V球?4?R33

2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面 C.33?D.6?

B.4? A.3? 答案：A

64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角???0，??，k?tan??y2?y1??????，x1?x2?? x2?x1?2?1 11 （2）直线方程：

P?x，y?，P2?x2，y2?是l上两点，直线l的方向向量a??1，k?

点斜式：y?y0?k?x?x0?（k存在）

斜截式：y?kx?b

xy截距式：??1ab

一般式：Ax?By?C?0（A、B不同时为零）

（3）点P?x0，y0?到直线l：Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?CA2?B2

（4）l1到l2的到角公式：tan??

k2?k11?k1k2

l1与l2的夹角公式：tan??A1B2?A2B1???l1∥l2AC?AC21? 12

65. 如何判断两直线平行、垂直？

k2?k11?k1k2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？ 圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。 67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

k1?k2?l1∥l2（反之不一定成立） A1A2?B1B2?0?l1⊥l2 k1·k2??1?l1⊥l2

联立方程组?关于x（或y）的一元二次方程?“?” ??0?相交；? 68. 分清圆锥曲线的定义

?0?相切；??0?相离

?椭圆?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2??第一定义?双曲线?PF1?PF2?2a，2a?2c?F1F2???抛物线?PF?PK

第二定义：e?

PFPK?ca

0?e?1?椭圆；e?1?双曲线；e?1?抛物线

y

b O F1 F2 a x 2a2x? c?a

?b2?c2?

x2y2?2?1?a?b?0?2ab

e>1 e=1 P 0

??

xyx2y269.与双曲线2?2?1有相同焦点的双曲线系为2?2?????0?abab

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式P1P2??1?k???x21?x2??4x1x22?

?1?2???1?2??y1?y2??4y1y2?k?

71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？ 如：

y P(x0,y0) K F1 O F2 x l ?

xy??122ab

PF222?a2??e，PF2?e?x0???ex0?aPKc??

PF1?ex0?a

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

22 如：椭圆mx?ny?1与直线y?1?x交于M、N两点，原点与MN中点连

y2?2px?p?0?

y A P2 O F x P1 B

2m，则的值为2nm2?2 答案：n线的斜率为

73. 如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

（由a?只要证明A'?2a?x，2b?y?也在曲线C上，即f(x')?y'

x?x'y?y'，b??x'?2a?x，y'?2b?y）22

?AA'⊥l（2）点A、A'关于直线l对称???AA'中点在l上

?kAA'·kl??1???AA'中点坐标满足l方程

?x?rcos?74.圆x2?y2?r2的参数方程为?（?为参数）y?rsin?? ?x?acos?x2y2椭圆2?2?1的参数方程为?（?为参数）y?bsin?ab?

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

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