应用统计学与随机过程(第1章--概述2014)

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应用统计学与随机过程(通信专业)Applied Statistics and Random Process

主讲教师：何松华 教授 联系电话：(0731)82687718 13973132618 电子信箱：13973132618@

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湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程

概述

1. 概1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

述[兼《概率论》复习]不确定性事件通信与电子系统中的不确定性

(6学时)

含噪信号的最优处理问题

随机变量及其数字特征随机变量函数的概率密度分布

随机变量的特征函数

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1.1

不确定性事件

客观世界中的两大类规律： 1.确定性事件中蕴涵的确定性规律 2.不确定性事件中蕴涵的统计性规律

确定性事件及确定性规律： 1.因果律确定的原因产生确定的\可预知的结果 “如果苹果从树上掉下(B),则肯定往下掉到地上(A)”if B then A Prob{A|B}=100%, Prob{ā|B}=0%

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2.排中律事物归属关系的确定性,非此即彼 “我(x)现在是湖南大学的教师(A)”

I:论域(被讨论的对象的全体范围) A∩B= (空集),A∪B=I if x A then uA(x)=100%,x B, uB(x)=0% if x B then uB(x)=100%,x A, uA(x)=0% 3.恒等律事物(A,B,C, )之间相互约束关系的确定性 “三角形的三个内角之和为180度”

R(A,B,C,…)= Constant

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4.守恒律事物(A,B,C, )(a,b,c, )之间转换或交换过程中 的确定性 “物质不灭,能量守恒”

R1(A,B,C,…)= R2(a,b,c,…)

5.周期律事物在有限域内变化的重复性 “物极必返” if ‖A‖=N,M≧N,xi∈A(i=1,2, ,M) then 存在 i1≠i2,xi1=xi2毛泽东：打破周期率；江泽民：与时俱进，三个代表

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不确定性事件及不确定性： 1.随机性,因果律的一种破缺

例如:不同的人通 过测量苹果落地的 时间获得树的高度

随机试验：可以在相同条件下重复进行,每次试验的 结果是事先不可预测的,所有可能的结果不止一个，但 每次试验的结果是唯一的, 这样的试验称为随机试验。 随机事件：在随机试验中，对于1次试验可能发生也 可能不发生、但在大量重复的试验中按一定规律发生的 某种事情，称为随机事件。 基本事件：在随机试验中，最简单、不可再分、互 不相容的事件称为基本事件。

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“随机试验”举例：袋中有编号为0到5的6个乒乓 球，从里面随机地拿出一个，观察结果后再放回；反 复进行试验。 6种基本事件：(1)拿到编号为0的球；(2)拿到编号 为1的球；(3)拿到编号为2的球；(4)拿到编号为3的球 ；(5)拿到编号为4的球；(6)拿到编号为5

的球。“随机事件”举例：拿到编号大于4的球(在一次试 验中可能发生也可能不发生；在大量重复的试验中发 生的比例约为1/3) “基本事件”是随机事件的特例。 所有基本事件的组合称为随机试验的“样本空间”

。

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不确定性事件及不确定性： 2.模糊性,排中律的一种破缺事物之间归属关系的不确定性，不能确定某个对象 肯定属于某个集合或肯定不属于某个集合，但能够确定 对象属于某个集合的程度。模糊性举例：论域 I={各种不同年龄x的人} 模糊集合 Ã ={年轻人} 1 (0 x 24) uÃ(x)= {1+[(x-25)/5]2}-1(25 x) 年龄x越大，则归属于年轻人Ã的隶属度uÃ(x)就越小。

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1.2

通信与电子系统中的不确定性(随机性)由于信道噪声的存在(电子的布朗运动),确定的传 输系统对确定的传输信号并不产生确定的响应。

传输信号X(t)

传输系统h(t) 信道噪声 (t)

响应 Y(t)

Y(t)= X(t) h(t)+ (t)机的、不确定的。

(卷积)

(t)的取值是随机的、不可预测的，则Y(t)也是随

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通信电子系统中的不确定性所带来的问题： 1.信号的检测问题 在数字通信中，0,1编码用不同的两种波形 进行传输;接收端信号为Y(t)H0:(传输 0 编码信号) Y(t)= X0(t) h(t) + 0(t) H1:(传输 1 编码信号) Y(t)= X1(t) h(t) + 1(t) 怎样从接收信号Y(t)中判断出发送端传输的信号是 X0(t) 还是X1(t) ? 如何将假设检验理论应用于通信电子系统?

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2.信号及系统参数的估计问题a(t,õ1)系统h(t,õ2)

A(t,õ)+ (t)

Y(t)=a(t,õ1) h(t,õ2) + (t) õ1:信号参数矢量(K个参数) õ2:系统参数矢量(M个参数) 问题：Y(t)、 (t)是不可预知的随机过程，怎样从接 收信号Y(t)的有限个采样值Y(0)、Y(T)、…Y[(N-1)T] 求得õ1、 õ1的最佳估计呢？简单的方程[K+M个]联立 为什么不能求得统计意义上的最佳估计？

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3.最优滤波器的设计问题传输信号X(t) 传输系统h(t) 信道噪声 (t) 含噪失真信号 滤波器h1(t) 响应 Y(t)

Y(t)

恢复信号Z(t)

问题：Y(t)、 (t)是不可预知的随机过程，采 用什么样的滤波器h1(t),使得含噪失真信号Y(t) 通过该滤波器后，其输出信号与X(t)最逼近？ minimum E{[Y(t) h1(t)-X(t)]2}h1(t)

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4.系统的性能评估以及信号波形参数的设计问题(自学)已知信道噪声 (t)的统计特性[平均值、方差、相 关函数、概率分布等],要求

在给定接收端检测性 能的情况下对传输信号的波形进行设计。举例：军用雷达目标检测 H0:(无目标) Y(t)= (t) H1:(有目标) Y(t)= kA s (t-2R/c)+ (t) s (t):宽度为 的正弦脉冲,R:目标距离,c:光速，k :信号传输衰减系数;要求虚警概率Pf=P(H1┃H0) =10-7,已知 (t)服从N(0, 2),如何对发射信号的幅 度A、脉冲宽度 进行设计？

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5.噪声背景中的最优预测问题(自学)举例：军用雷达机动目标状态(距离、速度)预测 测量方程：Y(n)= A(n) + (n) n [0,N-1] Y(n):n时刻目标距离的测量值(已知) A(n):n时刻实际的目标距离值(未知) (n):测量误差(随机过程,概率分 布密度函数及相关特性已知) 目标运动状态方程：A(n+1)=A(n)+T V(n)+ 假设为带 (1/2)T2 W(n) 有加速度 V(n+1)=V(n)+T W(n) 扰动的匀 V(n):目标第n个时刻的速度(未知) 速运动 T :时间采样间隔 如何预测 目标未来 状态? A(n),V(n) (n>N-1) W(n):目标的加速度扰动(概率密度、相关性已知)

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社会及国民经济领域中的统计问题举例 1.19世纪末中华民族无人能解的一个简单问题有限次差 加拿大山猫年捕获量数据 (1821-1878) 分后平稳 269,321,585,871,1475,2821,3928,5943,4950,2577,523,98,184,279,409,2285,2685,3409,1824,409,151,45,68,213,546,

1033,2129,2536,957,361,377,225,360,731,1638,2725,2871,2119,684,299,236,245,552,1623,3311,6721,4254,687,255, 473,358,784,1594,1676,2251,1426,756,299

假设今年为1878年,请根据历史数据建立预测模型, 得到 明年及1880,1881,1882,1883五年内的山猫捕获量的预测.

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2. 现在一个很容易解决的问题举例: 某城市居民季度用煤消耗量 ( 单位: 吨 ) 年份 1季度 2季度 3季度 4季度 年平均非平 稳随 机过 程: (1) 趋势 项; (2) 季节 (周期) 项

1991 6878.4 5343.7 1992 6815.4 5532.6 1993 6634.4 5658.5 1994 7130.2 5532.6

4847.9 6421.9 5873.0 4745.6 6406.2 5875.0 4674.8 6645.5 5853.3 4898.6 6642.3 6073.7

1995 7413.5 5863.11996 7476.5 5965.5

4997.4 6776.1 6262.65202.1 6894.1 6384.5

请预测1997年度每个季度的用煤消耗量

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1.3

含噪信号的最优处理问题

信号处理的主要研究内容从噪声背景中检测感兴趣的信号、提取信息或对信号 的参数进行估计[图像处理、语音信号处理、数据处理]

最优信号处理方法信号处理的方法不仅与信号本身的特性有关，还与噪声背景的统计特性(概率密度分布、功率谱等)密切相关 ；从事通信与电子系统领域研究的人员除了掌握确定性 的《信号与系统》分析方法外，必须了解噪声等随机过 程的特性，掌握各

种统计方法在信号处理中的应用

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信号处理方法举例1:最优预测

设x(n)(n=1,2,…)为离散时间随机信号，n为采样时刻； 该随机信号的相关函数及功率谱定义为

Rx (m) E[ x(n m) x(n)] (数学期望)Px ( ) m

x(m)e j m (- )

如果该随机信号的功率谱密度函数为

25 5 4cos( ) Px ( ) 9 17 8cos(2 )则最优的因果IIR 3步预测方程为

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(n 3) h(0) x (n) h(1)x (n 1) h (2)x (n 2) .... x其中

h(n) Z [ H ( z)] (逆z变换)

1

1 1 1 1 1 H ( z ) ( z ) / (1 z ) 8 16 2 随机信号的最优 如果该随机信号的功率谱密度函数为 预测方法与其统5 4cos( ) Px ( ) 10 6cos(2 )计特性有关

则最优的因果IIR 3步预测滤波器应修正为

1 1 1 1 1 H ( z ) ( z ) / (1 z ) 6 9 2

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