物理奥赛辅导：第9讲 - 静电学问题的等效处理

一、知识点击

1．库仑定律和电荷守恒

?库仑定律：真空中两个静止的点电荷之间的相互作用力的大小与两电荷电量的乘积成正比，与两电荷之间的距离的平方成反比；其作用力的方向沿着两电荷的连线，同号相斥，异号相吸．即F?K第9讲 静电学问题的等效处理

q1q2 r2?电荷守恒定律：摩擦起电和静电感应等实验都说明了：电荷既不能被创造、也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的这一部分转移到物体的另一部个定律为电荷守恒定律．它是物理学的重要定律之一。 2．电场强度和电势

????F?电场强度是一个从力的角度来描写电场的物理量，定义为E?

q根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力大小为F?kQq 2r显然，F是一个既与形成电场的电荷Q有关，又与试探电荷q有关的量，将E定义成

Fq可以理解为从F量中删去外加因素（即试探电荷q），剩下的便是纯粹的场因素了。物理学中大多数用两个物理量的商来定义的物理量，都是起源于这样一个思想。

?电势：电势U是从能量的角度来描写电场的物理量，定义为U?3．静电场中的导体和电介质

?静电场中的导体：导体内部有能自由移动的电荷，置于外电场时，导体内部自由电荷移动，当电荷分布、电场分布不随时间变化时，我们则称达到静电平衡． 静电平衡的条件是：导体内部场强处处为零．

导体静电平衡时：（a)导体是等势体，导体表面是等势面；（b)净电荷分布在导体表面，孤立导体表面曲率大处表面电荷面密度也大；（c）导体表面附近场强与表面垂直，其大小与导体表面对应点的电荷面密度?的关系为E?W q?。 ?0?静电场中的电介质：电介质就是绝缘体，其中没有能自由移动的电荷，无外电场时对外不显电性．当有外电场存在时，电介质分子的正负电荷都会顺着和逆着电场线发生偏移，从而使介质表面甚至内部出现电荷，这种现象称为电介质的极化，出现的电荷称为极化电荷．极化电荷也要产生电场．在介质内部，极化电荷产生的电场与外电场方向相反，从而削弱原电场，削弱的程度与电介质本身的性质有关．为描绘电介质的这一性质，引人电介质的相对介电常数?r．设真空中电场的场强为E0，而各向同性均匀介质允满整个电场时，其场强为E?E0?r，?r?E0． E点电荷Q在各向同性均匀无限大的电介质中E?Q4??r?0r2

平行板电容器充满均匀介质E?? ?r?04．电容 静电场的能量五、电容静电场的能量

?1.孤立导体的电容：若孤立导体带有电荷q，其电势为U，则其电容为C?q U 孤立导体的电容只与导体本身的大小、形状以及周围的介质有关．真空中半径为R的导体球壳的电容为4??0R

q ?U?S电容器的电容仅由其大小、形状以及两极板间的电介质决定；平行板电容器的电容C?0；

d?电容器的电容：若电容器充有电荷q，两极间的电势差为ΔU，则其电容为C?球形电容器的电容C?2??0l4??0R1R2 ；柱形电容器的电容。C?

R2R2?R1lnR11(q1U1?q2U2)，其2?静电场的能量：两个点电荷间的相互作用能为W?q1U1?q2U2?中U1，U2分别为电荷q1，q2处的电势． n个点电荷组成的点电荷系的相互作用能为W?11(q1U1?q2U2?????qnUn)??qnUn求22和遍于整个带电体，这是带电体所带电形成过程中外力所需做的功，这能量视系统的自能。

11Q22电容器储存的能量：W?，也可写为＝W?QU?CU

222C从上式可看出，能量是与电荷Q联系在一起的，在静电场里就是这样，有电荷才有能量，

电场具有能量，电场中单位体积所具有的能量称为电场的能量密度，用?e表示，?e?二、方法演练

类型一、用微元法和叠加法处理电场强度的问题。

1?0E2 2例1．如图9一1所示，把半径为R的球体分为8等份，取其中1份，使之均匀带电，电荷体

密度为ρ.试求此

分析和解：这是一道多次用微元法和叠加法求解的题目，1/8均匀带电球体微分成一系列无限薄的1/8均匀带电球面；1/8带电球面的场无法求，考虑一半带电球面在球心产生的一场强；在求半球面产生的场强时再用到微元法，在面上任选一带电面元，并视为点电荷，求其在球心的场强后再叠加，电场强度是矢量，叠加时一定考虑到方向性，某些分量能抵消的，就先抵消掉以求简化．

先讨论半径为r，面密度为σ的半球面在球心O的电场强度，由于对称性，均匀带电球面

1带电球体在球心0处的电场强度的大小． 8??在球心O的场强E02必定沿x轴方向．在半球面取面元ΔS，其上电量为σΔS，其在O点产????生的电场强度?E02刚好在纸平面内，令?E02与x轴夹角为?，则

?E0xc2o?s?2??E0??S4??0r2c?o s面元ΔS在yOz面上的投影

?Syz??Scos?，?E02x???，?SE??E??Syz ?yz0202x22?4??0r4??0r? 4?0其中

??Syz就是半球面在yOz面上的投影??Syz??r2，E02?E02与半径r大小无关．r越大，半球面上电荷距O点越远，其在O点产生的场强与r2成

反比；而r越大，半球面越大，其上所带电荷越多，与r2成正比，故E02与r无关．

半球面由四个

11球面组成，每个球面在O点产生的场强E01在x轴上分量相等，其值为881E02的。

4E01?E02? ?416?011x、y、z三条坐标轴对球面，地位相当，故球面在O点产生的场强在x轴、y轴

88和z轴上的分量应相等，均为

?，这样就有 16?03? 16?02222E01?E01?E?E?3Ex01y01z01x?3E01x?最后，半径为R，电荷体密度为ρ的

11球体可看作由一系列很薄的球面叠加而成，设其88中任一球面半径为r，厚度为Δr，r的变化范围从0到R，则面电荷密度σ与体电荷密度ρ有关系：?(r)???r.

那

13?球面在球心的电场强度为?E01??r 816?013?3?3?R球体在球心处场强为E0???E01?? ?r??r??816?016?016?0而

E0与球半径R成正比．

类型二、用对称法处理电势计算的问题。

例2．如图9—2所示，一无限大接地导体平板，在平板上方h处有一点电荷q。求空间的电

势分布，求导体平板上感应电荷面密度分布．

分析和解：空间任一点P的电势是点电荷q和无限大接地导体上感应出来的电荷共同产生的．导体板上电荷分布全板且不均匀，就是用积分法求其在P点的电势也是比较麻烦的。我们用对称法，P点相对平面对称的P?点的电势也是上述两带电系统共同产生的．且为零．平面上电荷在P?点产生的电势与q在P?点产生的电势大小相等而符号相反，这样求出平面上电荷在P?点产生的电势，而P与P?点相对平面对称，平面上电荷在P点产生的电势与在尸点产生电势相等，从而使问题解决．

导体板接地，上表面有感应电荷，设为q?，下表面无电荷且下半空间电势为零，设P?为P的关于平面的对称点，则P点、P?点电势应为q和q?所产生电势的和。

UP?UqP?U?q，PUP??UqP??Uq?P? ?UP??0?Uq?P??Uq P?考虑到对称性Uq?P?Uq?P?

UP?UqP?Uq?P?UqP?Uq?P??UqP?UqP??Kq222??x?(y?h)?z??12?Kq222??x?(y?h)?z??12

从结果可以看到，对板上部空间，感应电荷的作用与一置于y轴上?h点，带电为?q的

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