初等函数的幂级数展开

一、 泰勒级数

在泰勒定理中曾指出，若函数f在点x0的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数，则：

f''(x0)f(n)(x0)2（1） (x-x0)+?+(x-x0)n+Rn(x) f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+2!n!'这里Rn(x)为拉格朗日余项

f(n+1)(?)（2） Rn(x)=(x-x0)n+1

（n+1）!其中，?在x与x0之间，称（1）为f在x0的泰勒展式。

如果在（1）中抹去余项Rn(x)，那么在x0附近f可用（1）式右边的多项式来近似代替，如果函数f在x=x0处存在任意阶的导数，这时称形式为

f''(x0)f(n)(x0)2 f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)+?+(x-x0)n+? （3）

2!n!'的级数为函数f在x0的泰勒级数，对于级数（3）是否能在x0附近确切的表达f,或说f在x0的泰勒级数在x0附近的和函数是否就是f，这就是下面要讨论的问题。

先看一个例子： 例1 由于函数

?-x12?f(x)??e,x?0

??0,x?0在x=0处任何阶导数都等于0，即

f(n)(0)=0,n=1,2,?

所以f在x=0的泰勒级数为

0+0x+020x+?+xn+? 2!n!显然它在???,???上收敛，且其和函数S（x）=0.由此看到，对一切x不等于0，都有f(x)不等于S(x).

这个例子说明，具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身，

下面定理指出，具备什么条件的函数f,它的泰勒级数才能收敛于函数本身。 定理 设f在点x0具有任意阶导数，那么f在区间(x0-r,x0+r)内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式x-x0

limRn(x)=0

n??这里Rn(x)是f在x0的泰勒公式余项。

如果f能在x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f在x0 的这一邻域内可以展开成泰勒级数，并称等式

f''(x0)f(n)(x0)2(x-x0)+?+(x-x0)n+? （4） f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+2!n!'的右边为f在x=x0处的泰勒展开式，或称幂级数展开式。

二 初等函数的幂级数展开式

例2 求k次多项式函数

f(x)=c0+c1x+c2x2+?+ckxk的展开式。

解：由于

?n!c,n?kf(n)(0)=?n

?0,n?k总有limRn(x)=0，因而

n??f''(0)2f(k)(0)kx+?+x=c0+c1x+c2x2+?+ckxk f(x)=f(0)+f(0)x+2!k!'即多项式函数的幂级数展开式就是他本身。 例3 求函数f(x)=ex的展开式

解: 由于f(n)(x)=ex,f(n)(0)=1,(n=1,2,?)，所以f的拉格朗日余项为

etxRn(x)=xn+1?0?t?1?

(n+1)!显见，

exn+1Rn(x)小于=x

(n+1)!它对任何实数x，都有

exn+1limx=0 n趋于无穷(n+1)!因而limRn(x)=0，由定理可得

x??ex=1+111x+x2+?+xn+? x????,??? 1!2!n!例4 函数f(x)=sinx，由于

fn(x)=sin(x+n?),n=1,2,? 2现在考察正弦函数的拉格朗日余项Rn(x)，由于

sin(?+(n+1))2 Rn(x)=(n+1)!?x（n??） ?0，?

(n+1)!n+1所以f(x)=sinx在（??,??）内能展开为麦克劳林级数

2n-1x3x5n+1xsinx=x-++?+(-1)+? 3!5!(2n-1)!

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