高考数学复习一本全

高考数学复习一本全

目

前言 ………………… …… ………………………… …… 2 第一章 高中数学解题基本方法 ………………… …… 3

一、 配方法 ……………………………………… 3 二、 换元法 ……………………………………… 7 三、 待定系数法 ………………………………… 14 四、 定义法 ……………………………………… 19 五、 数学归纳法 ………………………………… 23 六、 参数法 ……………………………………… 28 七、 反证法 ……………………………………… 32 八、 消去法 ……………………………………… 九、 分析与综合法 ……………………………… 十、 特殊与一般法 ……………………………… 十一、 类比与归纳法 ………………………… 十二、 观察与实验法 …………………………

第二章 高中数学常用的数学思想 …………… ……… 35

一、 数形结合思想 ……………………… ……… 35 二、 分类讨论思想 ……………………… ……… 41 三、 函数与方程思想 …………………… ……… 47 四、 转化（化归）思想 ………………… ……… 54

第三章 高考热点问题和解题策略 …………… ……… 59

一、 应用问题 …………………………… ……… 59 二、 探索性问题 ………………………… ……… 65 三、 选择题解答策略 …………………… ……… 71 四、 填空题解答策略 …………………… ……… 77

附录 ………………………………………………………

一、 高考数学试卷分析 ………………………… 二、 两套高考模拟试卷 ………………………… 三、 参考答案 ……………………………………

录

前 言

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。

而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。

2

高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：

① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；

④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。

数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。

数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。

可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。

在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。

第一章 高中数学解题基本方法

一、 配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

2

3

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab； a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝

222222222222222222b232)＋（b）； 221222[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)] 22a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）； x＋

2211212＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。 x2xx

Ⅰ、再现性题组：

1. 在正项等比数列{an}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

11 A. 141 C. k∈R D. k＝4或k＝1

223. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函数y＝log1 (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

24425155 A. （－≦, 54] B. [4,+≦) C. (－2,4] D. [4,3)

5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。

【简解】

1小题：利用等比数列性质am?pam?p＝am，将已知等式左边后配方（a3＋a5）易求。答案是：5。

2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。

4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题：答案3－11。 Ⅱ、示范性题组：

例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

222222222222223

4

A. 23 B. 14 C. 5 D. 6

【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则

?2(xy?yz?xz)?11 ,而欲求对角线长??4(x?y?z)?24x2?y2?z2，将其配凑成两已知式的组合形

式可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：??2(xy?yz?xz)?11。

?4(x?y?z)?24x2?y2?z2＝(x?y?z)2?2(xy?yz?xz)＝

长方体所求对角线长为：

62?11＝5

所以选B。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。

p2q2例2. 设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k

qp2的取值范围。

【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,

2p2q2p4?q4(p2?q2)2?2p2q2[(p?q)2?2pq]2?2p2q2()+()＝＝＝＝qp(pq)2(pq)2(pq)2(k2?4)2?8≤7， 解得k≤－10或k≥10 。

4又 ≧p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根， ? △＝k－8≥0即k≥22或k≤－22

综合起来，k的取值范围是：－10≤k≤－22 或者 22≤k≤10。

【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

22ba19981998)＋() 。 a?ba?ba2aa【分析】 对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立

bbb例3. 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求(

22方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab 。则代入所求式即得。

24

5

【解】由a＋ab＋b=0变形得：(设ω＝1。

又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab ，

22222a2a)＋()＋1＝0 ， bba1b233，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝?＝b?abaa999b999a2999b299919981998999所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω

a?bbaa?babab＋?＝2 。

【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。

999a2ab?1?3i【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()＋()＋1＝0 ，解出＝后，

bba2a999b999化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，完成后面的运算。此方法

ba?1?3i用于只是未联想到ω时进行解题。

222假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝

22?1?3ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛2定理完成最后的计算。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____。

222A. 8 B. (a?b) C. a?b D.最小值不存在

22222. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1)的最小值是

_____。

A. －494 B. 8 C. 18 D.不存在

3. 已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。

A.最大值22 B.最大值2 C.最小值22 B.最小值2

22?xy2224. 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。 A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6 5. 化简：21?sin8＋2?2cos8的结果是_____。

A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 设F1和F2为双曲线x－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝

22222490°，则△F1PF2的面积是_________。

27. 若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋1的最小值为___________。

x?15

6

8. 已知?〈β<α〈3π，cos(α-β)＝12，sin(α+β)＝－3，求sin2α的值。(92

24135年高考题)

9. 设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m0；

② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。

10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝logst＋logts，y＝logst＋logts＋m(logst＋logts),

① 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；

② 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。

二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1?x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,

2xxx24422222222?]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，2222其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝

SS＋t，y＝－t等等。 22我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量

范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上

?几例中的t>0和α∈[0,]。

2Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx〃cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x＋1)＝loga(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{an}中，a1＝－1，an?1〃an＝an?1－an，则数列通项an＝___________。

6

24 7

4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

21?3?x5.方程＝3的解是_______________。

1?3x6.不等式log2(2－1) 〃log2(2

xx?1－2)〈2的解集是_______________。

1t2【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－2,2]，则y＝＋t－，对称轴t＝

221－1，当t＝2，ymax＝＋2；

22小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝loga[-(t-1)＋4]，所以值域为(－≦,loga4]； 3小题：已知变形为

221an?11＝－n，所以an＝－；

n2x2－

11＝－1,设bn＝，则b1＝－1,bn＝－1＋(n－1)(-1)anan4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；

215小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

36小题：设log2(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2

例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求的值。（93年全国高中数学联赛题）

【分析】 由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设

22222222x5,log23)。 41Smax＋

1Smin??x?Scosα代入①式求Smax和Smin的值。 ???y?Ssinα??x?Scosα【解】设?代入①式得： 4S－5S〃sinαcosα＝5

??y?Ssinα10解得 S＝ ；

8?5sin2α101010≧ -1≤sin2α≤1 ? 3≤8－5sin2α≤13 ? ≤≤

138?5sin?331316811? ＋＝＋＝＝

5101010SmaxSmin7

8

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝等式：|

8S?10的有界性而求，即解不S8S?10|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。 SSSSS2222【另解】 由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，

2222S2S22则xy＝〒－t代入①式得：4S〒5－t2=5，

44移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。

221010≤S≤ 13331316811? ＋＝＋＝＝

SmaxSmin1010105? 39S－160S＋100≤0 解得：

2【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝S＋t、y＝S－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求

2222222222值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，

52]，所以S＝(a－b)＋(a＋310202101011222b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值。

1313133SmaxSminy＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,

222

例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，cos

112＋＝－，求cosAcosCcosBA?C的值。（96年全国理） 2【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得

?A?C?120°?A＝60°?α；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设? ，再代入可??B＝60°?C＝60°－αA?C求cosα即cos。

2?A?C?120°【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ?,

B＝60°?8

9

?A＝60°?α由A＋C＝120°，设?，代入已知等式得：

C＝60°－α?11111＋＝＋＝＋

cosAcosCcos(60???)cos(60???)13cos??sin?221cos?cos?＝＝＝－22, 13313cos2??sin2?cos2??cos??sin?44422A?C22解得：cosα＝， 即：cos＝。

222112【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－

cosAcosCcosB11＝－22，设＝－2＋m，＝－2－m ，

cosAcosC11所以cosA＝

?2?m?2?mA?CA?CA?C22cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝2，

222m?2A?CA?CA?C2mcosA－cosC＝－2sinsin＝－3sin＝2，

222m?2A?C222m2A?C2A?C即：sin＝－，＝－2，代入sin＋cos＝1整222m?23(m2?2)A?C22242理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝2＝。

22m?211【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－22”分别进行均

cosAcosC值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以

，cosC＝，两式分别相加、相减得：

112＋＝－＝－22，即cosAcosAcosCcosB＋cosC＝－22cosAcosC，和积互化得：

A?CA?CA?C2cos＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－2222A?C22A?C2A?C2cos(A-C)＝－2(2cos－1)，整理得：42cos＋2cos

2222－32＝0,

2cos

9

10解得：cos

A?C2＝ 2222例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx〃cosx－2a的最大值和最小值。 【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-2,2]，由(sinx＋cosx)＝

21＋2sinx〃cosx得：sinx〃cosx＝

t?1 2112? f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-2,2]

2212t＝-2时，取最小值：－2a－22a－

212当2a≥2时，t＝2，取最大值：－2a＋22a－ ；

21当0<2a≤2时，t＝2a，取最大值： 。

2?12(0?a?)?1?222? f(x)的最小值为－2a－22a－，最大值为?。

212?2?2a?22a?(a?)?22? y , , －2 2 x 【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx〃cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-2,2]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位臵关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx〒cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

4(a?1)2a(a?1)2例4. 设对所于有实数x，不等式xlog2＋2x log2＋log2>0

aa?14a22恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）

4(a?1)2a(a?1)2【分析】不等式中log2、 log2、log2三项有何联系？进行

aa?14a2对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

4(a?1)2a8(a?1)a?1【解】 设log2＝t，则log2＝log2＝3＋log2＝3－

a2aa?12a2aa?1(a?1)2log2＝3－t，log2＝2log＝－2t， 2a?12a4a2代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：

210

11

?3?t?0?t?32a，解得? ? t<0即log2<0 ?2a?1t?0或t?6??4t?8t(3?t)?0??2a0<<1，解得0

4(a?1)2a(a?1)2何设元，关键是发现已知不等式中log2、 log2、log2三项之间

aa?14a2的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算

十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

sinθxcos2θ10cosθsin2θ例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的

xyx2y3(x2?y2)y2值。

【解】 设

222sinθcosθ22＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝xyx2y210k2k2x2k2y210k(x+y)＝1,代入②式得： ＋＝＝ 即：2＋23xx23(x2?y2)y2y10＝ 31x3x21设2＝t，则t＋＝10 , 解得：t＝3或 ?＝〒3或〒

t33y3yxsinθcos2θ【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tg

ycosθx2102104222θ的式子：1＋tgθ＝(1?tg?)?＝tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t

133(1?2)tg?＋3＝0，

?t＝3或

x31， 解得＝〒3或〒。 33ysinθcosθ【注】 第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个

xyxsinθ数。第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变

ycosθ形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。

(x?1)2(y?1)2例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。

91611

12

(x?1)2(y?1)222【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，

916于是实施三角换元。

x?1y?1(x?1)2(y?1)2【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，

34916?x?1?3cosθ即：? 代入不等式x＋y－k>0得：

y??1?4sinθ?3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ) 所以k<-5时不等式恒成立。

【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。

本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终

位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭 y 圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组 x

?16(x?1)2?9(y?1)2?144 有相等的一组实数解，消元后? x＋y－k>0

?x?y?k?0 k 平面区域 由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 已知f(x)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B. 1lg2 C. 2lg2 D. 2lg4

3333

2. 函数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是______。

A. [-2,+≦) B. [-1,+≦) D. (-≦,+≦) C. (-≦,-1]

3. 设等差数列{an}的公差d＝1，且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋……＋a99的值为

24_____。

A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。

5. 已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则a?1＋b?1的范围是____________。

22226. 不等式x>ax＋3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。

27. 函数y＝2x＋x?1的值域是________________。

8. 在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝2，a11＋a12＋…＋a30＝12，求a31＋a32＋…＋a60。

12

13

9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。

22 y D C 10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x＋y

＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、 A B y轴，求矩形ABCD的最小面积。 O x 2

三、待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)?g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)?g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ① 利用对应系数相等列方程； ② 由恒等的概念用数值代入法列方程； ③ 利用定义本身的属性列方程； ④ 利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

Ⅰ、再现性题组：

1. 设f(x)＝

x?1＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 213

14

5555 , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2 22221122. 二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。

23A.

A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3. 在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4. 函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为

310531，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最22小正周期是_____。

5. 与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。

2y26. 与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是

4____________。

x?1＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C； 2111122小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代

2323【简解】1小题：由f(x)＝

入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；

3小题：分析x的系数由C10与(－1)C10两项组成，相加后得x的系数，选D； 4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案

55252?； 35小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；

x2y2y26小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝

431221。

Ⅱ、示范性题组：

mx2?43x?n例1. 已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

x2?1【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

【解】 函数式变形为： (y－m)x－43x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0 ? △＝(－43)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，

2222?m?5?m?1?1?(m?n)?mn?12?0代入两根得：? 解得：?或?

n?149?7(m?n)?mn?12?0n?5???14

15

5x2?43x?1x2?43x?5? y＝或者y＝

x2?1x2?1此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较

2?m?n?6系数而得：?，解出m、n而求得函数式y。

mn?12??7?【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值

域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。

例2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程。

【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一

个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列 y B’ 出第二个方程。 x 【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a

?a2?b2?c2 A F O’ F’ A’

???a?10 ? ?a2?a2?(2b)2 解得：? ? B ??b?5?a?c?10?5x2y2 ? 所求椭圆方程是：＋＝1

105也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行

?b?c?如下列式： ?a?c?10?5 ，更容易求出a、b的值。

?222?a?b?c【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。

一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。

n(n?1)2例3. 是否存在常数a、b、c，使得等式1〃2＋2〃3＋…＋n(n＋1)＝(an

12222＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题）

15

16

【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。

【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝22＝

1(a＋b＋c)；n＝2，得61(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c。整理得： 2?a?b?c?24?a?3??4a?2b?c?44,解得??b?11， ?9a?3b?C?70?c?10??222于是对n＝1、2、3，等式1〃2＋2〃3＋…＋n(n＋1)＝

n(n?1)2(3n＋11n＋10)122成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：

假设对n＝k时等式成立，即1〃2＋2〃3＋…＋k(k＋1)＝10)；

22k(k?1)2(3k＋11k＋12k(k?1)2当n＝k＋1时，1〃2＋2〃3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k

12k(k?1)(k?1)(k?2)22＋10) ＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝

1212(k?1)(k?2)22（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，

122222也就是说，等式对n＝k＋1也成立。

综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。

【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝3222233322n＋2n＋n得Sn＝1〃2＋2〃3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…

2233322n(n?1)(2n?1)n(n?1)n(n?1)n2(n?1)22＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2〓＋＝(3n

122642＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。

例4. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？

【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。

【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm。 ? 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 显然:15－x>0，7－x>0，x>0。

16

17

4(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） ab??a?b?1?0要使用均值不等式，则?

15a?ax?7b?bx?x?31解得：a＝， b＝ ， x＝3 。

4415216415x213644?4364从而V＝(－)(－x)x≤()＝〓27＝576。

34443343设V＝

所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。

【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求。本题解答中也可以令V＝

344(15a－ax)(7－x)bx 或 (15－x)(7aabab－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，

本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 函数y＝logax的x∈[2,+≦)上恒有|y|>1，则a的取值范围是_____。

A. 2>a>1且a≠1 B. 02或

220

22. 方程x＋px＋q＝0与x＋qx＋p＝0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_____。

A. 1 B. －1 C. p＋q D. 无法确定 3. 如果函数y＝sin2x＋a〃cos2x的图像关于直线x＝－π对称，那么a＝_____。

822A. 2 B. －2 C. 1 D. －1

012n4. 满足Cn＋1〃Cn＋2〃Cn＋…＋n〃Cn<500的最大正整数是_____。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 无穷等比数列{an}的前n项和为Sn＝a－1n , 则所有项的和等于_____。

2A. －1 B. 1 C. 1 D.与a有关

226. (1＋kx)＝b0＋b1x＋b2x＋…＋b9x，若b0＋b1＋b2＋…＋b9＝－1，则k＝______。

7. 经过两直线11x－3y－9＝0与12x＋y－19＝0的交点，且过点(3,-2)的直线方程为_____________。

8. 正三棱锥底面边长为2，侧棱和底面所成角为60°，过底面一边作截面，使其与底面成30°角，则截面面积为______________。

9. 设y＝f(x)是一次函数，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。

92917

18

10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是410, 求抛物线的方程。

四、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。

Ⅰ、再现性题组：

1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7

2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MP3. 复数z1＝a＋2ｉ，z2＝－2＋ｉ，如果|z1|< |z2|，则实数a的取值范围是_____。 A. －11 C. a>0 D. a<－1或a>1

5x2y24. 椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离

2259为_____。

75 D. 3 4T5. 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____。

2TA. T B. 0 C. D. 不能确定

2A. 8 C. 7.5 C.

18

19

6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1小题：利用并集定义，选B；

2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B； 3小题：利用复数模的定义得a2?22<5，选A；

|PF左|44小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A；

552TTT5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－)，选B；

2226小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z＋3z－4，求w的三角形式； ② 如果

2z2?az?b＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理） 2z?z?1【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3z－4＝(1＋ｉ)＋3(1?i)－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是2（cos

225?5?＋ｉsin）； 44z2?az?b(1?i)2?a(1?i)?b(a?b)?(a?2)i由z＝1＋ｉ，有2＝＝＝(a＋2)

iz?z?1(1?i)2?(1?i)?1－(a＋b)ｉ。

由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；

?a?2?1根据复数相等的定义，得：?，

?(a?b)??1??a??1解得?。

b?2?【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的

定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。

例2. 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log

3n22f(x)的定义域，

判定在(

2,1)上的单调性。 2【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。

n??n?4?f(2)??2?2c??14【解】 ? 解得：? nc?1?f(4)??4?4c??252?? ? f(x)＝－x＋x 解f(x)>0得：0

419

20

3设

2

221)－f(x

2)＝－x

41+x

1-（-x

42+x

2）

=(x1-x2)[1-(x1+x2)( x1+x2)],

34422≧ x1+x2>32， x1+x2> ? (x1+x2)( x1+x2)〉32〓＝1

2232? f(x1)－f(x2)>0即f(x)在(,1)上是减函数

2322≧ <1 ? y＝log2f(x) 在(,1)上是增函数。

222232【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，

A’ A 一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运

D 用了待定系数法和换元法。

例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。 C’ C

O H ① 证明：AB’∥平面DBC’；

② 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全 B’ B 国理）

【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行

平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。

【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ≧ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ? 四边形B’BCC’是矩形 ? O是B’C中点

△AB’C中， D是AC中点 ? AB’∥OD ? AB’∥平面DBC’

② 作DH⊥BC于H，连接OH ? DH⊥平面BC’C ≧ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ? BC’⊥OD

? BC’⊥OH 即∠DOH为所求二面角的平面角。

3113设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝ ；

244432Rt△BOH中，OH＝BH〓EH＝，

163? OH＝＝DH ?∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。

4【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。

此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。

20

21

EFOE1＝＝，BFB'B21122EF＝B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E〓EF＝BE即B’E＝1，

33所以B’E＝3。

1 y 例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点

2 M F 其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以

的轨迹方程。 A x 【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到

|AF|1＝建立一个方程，再由离心率的定22义建立一个方程。

【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：

1?4222(x?1)?(m?2)?×2(y?)?2?32 ，消m得：（x－1）＋＝1， ?m?y122??()?23?y4(y?)23＝1。 2所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋

2()23【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。

Ⅲ、巩固性题组： 1． 函数y＝f(x)＝a＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)

的表达式是___。 2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1,则∠A1FB1等于_____。

A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|x?A}，则下列关系正确的是_____。 A. A?B B. A?B C. A∈B D. A?B

4. 双曲线3x－y＝3的渐近线方程是_____。

A. y＝〒3x B. y＝〒1x C. y＝〒3x D. y＝〒3x

322x35. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数

21

22

?n3n6. C383n＋C21?n＝________。

7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数12的辐角主值是__________。

z8. 不等式ax＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx＋cx＋a<0解集是__________。 9. 已知数列{an}是等差数列，求证数列{bn}也是等差数列，其中bn＝1(a1＋a2n22＋…＋an)。

22210. 已知F1、F2是椭圆x2＋y2＝1 (a>b>0)的两个焦点，其中F2与抛物线y＝12x

ab7的焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠M F1F2〃cos∠MF2F1＝23，求椭圆方程。

五、数学归纳法

归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n0)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n0且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。

运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。

运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

Ⅰ、再现性题组：

1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2〃1〃2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。

n2k?12k?3 A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C. D.

k?1k?122

23

2. 用数学归纳法证明1＋

k?1111＋＋…＋n1)时，由n＝k (k>1)不等式成232?1kkk立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。

A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1

3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)

A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立 C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立

4. 数列{a}中，已知a1＝1，当n≥2时an＝an?1＋2n－1，依次计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是_____。

A. 3n－2 B. n C. 35. 用数学归纳法证明33

4(k?1)?22(k?1)?14n?2n2n?1 D. 4n－3

＋5

2n?1 (n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子

＋5应变形为_______________________。 6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。 【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端

的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为B；

k?1

kk(2k?1)(2k?2)，选

k?12小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C；

3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。

4小题：计算出a1＝1、a2＝4、a3＝9、a4＝16再猜想an，选B；

5小题：答案（3＋56小题：答案k－1。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知数列

4k?22k?1）3＋5

k2k?1（5－3）；

248·n8·1，得，…，2222，…。Sn为其前n项和，求1·3(2n?1)·(2n?1)S1、S2、S3、S4，推测Sn公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）

8024488，S2＝，S3＝，S4＝ ，

2549819(2n?1)2?1猜测Sn＝ (n∈N)。

(2n?1)2【解】 计算得S1＝

当n＝1时，等式显然成立；

(2k?1)2?1假设当n＝k时等式成立，即：Sk＝， 2(2k?1)8·(k?1)当n＝k＋1时，Sk?1＝Sk＋

(2k?1)2·(2k?3)223

24

8·(k?1)(2k?1)2?1＝＋

(2k?1)2·(2k?3)2(2k?1)2(2k?1)2?(2k?3)2?(2k?3)2?8·(k?1)＝

(2k?1)2·(2k?3)2(2k?1)2?(2k?3)2?(2k?1)2(2k?3)2?1＝＝, 222(2k?3)(2k?1)·(2k?3)由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。

综上所述，等式对任何n∈N都成立。

(2k?3)2?12【注】 把要证的等式Sk?1＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，2(2k?3)再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1。这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进行三步：试值 → 猜想 → 证明。

【另解】 用裂项相消法求和：

2118·n＝－得，

(2n?1)2(2n?1)2·(2n?1)2(2n?1)2111111Sn＝（1－2）＋（2－2）＋……＋－＝1－222 335(2n?1)(2n?1)(2n?1)由an＝

(2n?1)2?1＝。 2(2n?1)此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现

8·n＝

(2n?1)2·(2n?1)211－的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。

(2n?1)2(2n?1)211例2. 设an＝1×2＋2×3＋…＋n(n?1) (n∈N),证明：n(n＋1)

22(n＋1) 。

【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为ak?1＝ak＋(k?1)(k?2),所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上

2(k?1)(k?2)，再与目标比较而进行适当的放缩求解。

1112【解】 当n＝1时，an＝2，n(n+1)＝， (n+1)＝2 ，

222? n＝1时不等式成立。

112假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)

2224

25

112k(k＋1)＋(k?1)(k?2)k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)， 222211132222(k＋1)＋(k?1)(k?2)＝(k＋1)＋k?3k?2<(k＋1)＋(k＋)＝222212(k＋2)， 2112所以(k＋1)(k＋2)

22112综上所述，对所有的n∈N，不等式n(n＋1)

22当n＝k＋1时，

【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别将(k?1)(k?2)缩小成(k＋1)、将(k?1)(k?2)放大成(k＋

3)的两步放缩是证2n＝k＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。

本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对n(n?1)的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由n(n?1)>n可得，an>1＋2

1111n(n＋1)；由n(n?1)22222n(a1?an)例3. 设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Sn＝，

2＋3＋…＋n＝

证明{an}是等差数列。 （94年全国文）

【分析】 要证明{an}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：an＝a1＋(n－1)d 。命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。

【解】 设a2－a1＝d，猜测an＝a1＋(n－1)d 当n＝1时，an＝a1， ? 当n＝1时猜测正确。

当n＝2时，a1＋(2－1)d＝a1＋d＝a2， ?当n＝2时猜测正确。 假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：ak＝a1＋(k－1)d ， 当n＝k＋1时，ak?1＝Sk?1－Sk＝

(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)－，

22将ak＝a1＋(k－1)d代入上式， 得到2ak?1＝(k＋1)(a1＋ak?1)－2ka1－k(k－1)d， 整理得(k－1)ak?1＝(k－1)a1＋k(k－1)d，

因为k≥2,所以ak?1＝a1＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。

综上所述，对所有的自然数n，都有an＝a1＋(n－1)d，从而{an}是等差数列。

25

26

【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。在证

n(a1?an)明过程中ak?1的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式Sn＝、数列中通

2项与前n项和的关系ak?1＝Sk?1－Sk建立含ak?1的方程，代入假设成立的式子ak＝a1＋(k－1)d解出来ak?1。另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)ak?1＝(k－1)a1＋k(k－1)d得到ak?1＝a1＋kd的条件是k≥2。

【另解】 可证an?1 －an＝ an－ an?1对于任意n≥2都成立：当n≥2时，an＝Sn－Sn?1＝

n(a1?an)(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)－；同理有an?1＝Sn?1－Sn＝－222n(a1?an)(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)；从而an?1－an＝－n(a1＋an)＋，整222一般地，在数列问题中含有an与Sn时，我们可以考虑运用an＝Sn－Sn?1的关系，

理得an?1 －an＝ an－ an?1，从而{an}是等差数列。

并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的Sn求an一类型题应用此关系最多。 Ⅲ、巩固性题组：

1. 用数学归纳法证明：6

n2n?1＋1 (n∈N)能被7整除。

222. 用数学归纳法证明： 1〓4＋2〓7＋3〓10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。 3. n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。 4.

用数学归纳法证明等式：cosx〃cosx2〃cosx3〃…〃cosxn＝

2222sinx2n·sinx2n (81

年全国高考)

5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考）

6. 数列{an}的通项公式an＝

1 (n∈N)，设f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－2(n?1)an)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。 7. 已知数列{an}满足a1＝1，an＝an?1cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。

①．求a2和a3； ②.猜测an，并用数学归纳法证明你的猜测。

8. 设f(logax)＝a(x2?1) , ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存

x(a?1)2在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)

26

27

六、参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

Ⅰ、再现性题组：

1. 设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。

xyz??x??2?2t2. （理）直线?上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。

??y?3?2t （文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。

2227

28

3. 点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。

4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。 5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”)

2x2y26. 椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是_____。

164 A. 3 B. 11 C. 10 D. 22

【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；

2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝〒2时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝1?xyz11，所以e＝－

kk2k2?k；

3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的

射线；

4小题：设三条侧棱x、y、z，则

111xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为2224。

5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；

6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝Ⅱ、示范性题组：

例1. 实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。

【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝b＝

222|4sin??4cos??2|的最大值，选C。

51＋t1，311222＋t2，c＝＋t3，代入a＋b＋c可求。 33111【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t1，b＝＋t2，c＝＋t3，其中t1＋t2＋t3＝

3330，

? a＋b＋c＝（

22211112222＋t1）＋（＋t2）＋(＋t3)＝＋(t1＋t2＋t3)3333311222222＋t1＋t2＋t3＝＋t1＋t2＋t3≥

331222所以a＋b＋c的最小值是。

3【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。

28

29

本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥

22222222221。 3两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。

1x2y2例2. 椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点。连OP、OQ，若kOP〃kOQ＝－ ，

4164 ①．求证：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求线段PQ中点M的轨迹方程。

22?x?4cosθ【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设?（椭圆参数方程），参数

y?2sinθ?θ1、θ2为P、Q两点，先计算kOP〃kOQ得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得。

22?x?4cosθx2y2【解】由＋＝1，设?，P(4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ2,2sin

164?y?2sinθθ2),

则kOP〃kOQ＝

12sin?12sin?2＝－，整理得到： ?

44cos?14cos?2222222cosθ1 cosθ2＋sinθ1 sinθ2＝0,即cos（θ1－θ2）＝0。

? |OP|＋|OQ|＝16cosθ1＋4sinθ1＋16cosθ2＋4sinθ2＝8＋12(cos

22θ1＋cosθ2)＝20＋6（cos2θ1＋cos2θ2)＝20＋12cos（θ1＋θ2）cos（θ1－θ2）

＝20，

即|OP|＋|OQ|等于定值20。

由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为?所以有(

22?xM?2(cos?1?cos?2)，

y?sin??sin?12?Mx22)＋y＝2＋2(cosθ1 cosθ2＋sinθ1 sinθ2)＝2, 2x2y2即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1。

82【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参

数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ1＋ cosθ2）＋（sinθ1＋sinθ2），这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。

本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：

22221设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：

4k29

30

?x2?4y2?16?0422，消y得(1＋4k)x＝16,即|xP|＝； ?2y?kx1?4k??x2?4y2?16?01|8k|?2，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝； ?12Q24k1?4k?y??4kx?4|8k|12222所以|OP|＋|OQ|＝(1?k2?)＋（1?） ?216k1?4k21?4k220?80k222＝＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。 21?4k2在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝1?kAB?|xA－xB|求|OP|

和|OQ|的长。

例3.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面的夹角为β，相 S 2邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cosβ。

2【分析】要证明cosα=-cosβ，考虑求出α、β的余弦， E 则在α和β所在的三角形中利用有关定理求解。 【解】连AC、BD交于O，连SO；取BC中点F，连SF、OF；

D C

作BE⊥SC于E，连DE。则∠SFO＝β，∠DEB＝α。

O F OFa 设BC＝a (为参数)， 则SF＝＝, A B

cosβ2cosβSC＝SF2?FC2＝(＝

aa22)?()

2cosβ2a2cosβ1?cos2β

1a1?cos2?2cos?＝

SF·BCa2又 ≧BE＝＝?

SC2cosβa1?cos?2

a222??2a2BE2?BD21?cos2?2在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cos222BEa2?1?cos2?β。

所以cosα＝－cosβ。

【注】 设参数a而不求参数a，只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。

Ⅲ、巩固性题组：

230

31

1. 已知复数z满足|z|≤1，则复数z＋2ｉ在复平面上表示的点的轨迹是________________。

2. 函数y＝x＋2＋1?4x?x2的值域是________________。

3. 抛物线y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ与x轴两个交点距离的最大值为_____

A. 5 B. 10 C. 23 D. 3

4. 过点M(0,1)作直线L，使它与两已知直线L1：x－3y＋10＝0及L2：2x＋y－8＝0所截得的线段被点P平分，求直线L方程。 5. 求半径为R的球的内接圆锥的最大体积。

6. f(x)＝(1－acosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的实数a的取值范围。

2222232

2a?12a(a?1)7. 若关于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg2＝0有模为1的虚根，3a?12a8a2求实数a的值及方程的根。

8. 给定的抛物线y＝2px (p>0)，证明：在x轴的正向上一定存在一点M，使得对于抛物线的任意一条过点M的弦PQ，有

七、反证法

与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；

31

21＋1为定值。

|MP|2|MQ|2 32

两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

Ⅰ、再现性题组：

1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。 A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根

2. 已知a<0,－1

A. a>ab> ab B. ab>ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab>a 3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。

A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交 C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交

4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。(97年全国理)

A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种

【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；

2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D； 3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；

4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C10－C6〓4－3－6,选D。

442222232

33

Ⅱ、示范性题组：

例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心， S C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法， C 即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。

【证明】 假设AC⊥平面SOB， A O ≧ 直线SO在平面SOB内， ? AC⊥SO， B ≧ SO⊥底面圆O， ? SO⊥AB，

? SO⊥平面SAB， ?平面SAB∥底面圆O， 这显然出现矛盾，所以假设不成立。 即AC与平面SOB不垂直。

【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。

例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。

【解】 设三个方程均无实根，则有：

22221?3??a??22?△1?16a2?4(?4a?3)?0??13?22,解得?a??1或a?,即－

2【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。

例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝

1x?1 (其中x∈R且x≠)，证明：ax?1a①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于

直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。

【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。 【证明】 ① 设M1(x1,y1)、M2(x2,y2)是函数图像上任意两个不同的点，则x1≠x2,

假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1＝y2，即＝x1－x2

≧x1≠x2 ? a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾， 因此假设不对，即直线M1M2不平行于x轴。

x1?1x2?1＝，整理得a(x1－x2)

ax1?1ax2?133

34

x?1y?1得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝， ax?1ay?1x?1x?1即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。

ax?1ax?1x?1由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直

ax?1② 由y＝

线y＝x成轴对称图像。

【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。

Ⅲ、巩固性题组：

1. 已知f(x)＝x，求证：当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)。

1?|x|2. 已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，求证：1、1、1不可能成等差数列。

abc3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1 。

224. 求证：抛物线y＝x－1上不存在关于直线x＋y＝0对称的两点。

225. 已知a、b∈R，且|a|＋|b|<1，求证：方程x＋ax＋b＝0的两个根的绝对值均小于1。

A 6. 两个互相垂直的正方形如图所示，M、N在相应对

角线上，且有EM＝CN，求证：MN不可能垂直CF。

F D

B M N E C 2

第二章 高中数学常用的数学思想

一、数形结合思想方法

34

35

中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

Ⅰ、再现性题组：

5. 设命题甲：0

6. 若loga2

A. 0b>1 D. b>a>1

7. 如果|x|≤

π2,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 (89年全国文) 42?12?11?2A. B. － C. －1 D.

2228. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是

____。(91年全国)

A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5

y?39. 设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| ＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，

x?2那么M∪N等于_____。 (90年全国)

A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1

35

36

10. 如果θ是第二象限的角，且满足cos

θθθ－sin＝1?sinθ,那么是222_____。

A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角

11. 已知集合E＝{θ|cosθ

3π3π5πππ3πA. (,π) B. (,) C. (π, ) D. (,)

4424245π12. 若复数z的辐角为，实部为－23，则z＝_____。

6A. －23－2ｉ B. －23＋2ｉ C. －23＋23ｉ D. －23－23ｉ

y13. 如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。 (90年

x22全国理)

133 B. C. D. 3 23214. 满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。

A.

【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A; 2小题：由已知画出对数曲线，选B；

3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D； 4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B； 5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B； 6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B； 7小题：利用单位圆，选A；

8小题：将复数表示在复平面上，选B；

9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D； 10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－

33＋ｉ。 22【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，

即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。

Ⅱ、示范性题组：

2例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一 y 4 y=1-m 解，求实数m的取值范围。

【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个 1 范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。 O 2 3 x ?3?x?0【解】 原方程变形为 ? 2?x?3x?m?3?x?36

37

?3?x?0即：? 2(x?2)?1?m?设曲线y1＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示。由图可知： ① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

例2. 设|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求

22z1 y A 的z2 D 值。 O B x 【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题 用几何图形帮助求解。 C 【解】 如图，设z1＝OA、z2＝OB后，则z1＝OC、z2＝

OD如图所示。

由图可知，|

5z1|＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：

2z2452?22?(13)2cos∠AOD＝＝

52×5×2?

3z1543＝(〒ｉ)＝2〒ｉ

2z2255【另解】设z1＝OA、z2＝OD如图所示。则|

222z1z2|＝

5，且 y A 2cos∠AOD＝所以

435?2?(13)＝，sin∠AOD＝〒， 552×5×2 D O x z1z2＝

54333z1(〒ｉ)＝2〒ｉ，即＝2〒ｉ。 25522z2【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运

算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。

本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z1＝5(cosθ1＋ｉsinθ1)，z2＝＋ｉsinθ2)，则|z1－z2|＝|(5cosθ1－2cosθ2)＋(5sinθ1＋2sinθ2)ｉ|＝

4329?20cos(?1??2)＝13，所以cos(θ1＋θ2)＝,sin(θ1＋θ2)＝〒，

5537

38

543z15[cos(??1)?isin(??2)]5＝＝[cos(θ1＋θ2)＋ｉsin(θ1＋θ2)]＝(〒

22552(cos?2?isin?2)z23ｉ)＝2〒ｉ。

2本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z1－z2|＝13得：

（z1－z2）(z1－z2)＝z1z1＋z2z2－z1z2－z1z2＝25＋4－z1z2－z1z2＝13, 所以z1z2＋z1z2＝16,再同除以z2z2得

z1z2＋

3z1z1＝4，设＝z，解得z＝2〒ｉ。

2z2z2几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。

一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。

例3. 直线L的方程为：x＝－

pp (p>0),椭圆中心D(2＋,0)，焦点在x轴上，长22半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，

它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？

【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。

【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A(

p,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： 2?y2?2px?p2?2p2，消y得：x－(4－7p)x＋(2p＋)＝0 ?[x?(2?)]422??y?1?4?122所以△＝16－64p＋48p>0,即6p－8p＋2>0，解得：p<或p>1。

3ppp22结合范围(,4+)内两根，设f(x)＝x－(4－7p)x＋(2p＋)，

224p4?7pp1pp所以<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>－4＋32。

2222221结合以上，所以－4＋32

3【注】 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。

例4. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x＋y≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。(85年高考)

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222 39

【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。

【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ;

设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点， 所以圆心到直线距离d＝

22222222|3n2?15|n?12＝3(n2?1＋

4n?12)≥12

≧ n为整数 ? 上式不能取等号，故a、b不存在。

【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。

本题直接运用代数方法进行解答的思路是：

由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ,即b＝3n＋15－an （①式）； 由(a,b)∈C得，a＋b≤144 （②式）； 把①式代入②式，得关于a的不等式：

(1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0 （③式）,

它的判别式△＝4n(3n＋15)－4(1＋n)[(3n＋15)－144]＝－36(n－3) 因为n是整数，所以n－3≠0,因而△<0，又因为1＋n>0,故③式不可能有实数解。 所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立 Ⅲ、巩固性题组：

1. 已知5x＋12y＝60，则x2?y2的最小值是_____。 A. 60 B. 13 C. 13 D. 1

1322222222222222222225122. 已知集合P＝{(x,y)|y＝9?x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，则b的取值范围是____。

A. |b|<3 B. |b|≤32 C. －3≤b≤32 D. －3

5. 若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空数集，那么实数m的取值范围是_________。 6. 设z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范围是____________。

2x27. 若方程x－3ax＋2a＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a的取值范围是______。 8. sin20°＋cos80°＋3sin20°〃cos80°＝____________。 9. 解不等式： ?x2?2x>b－x

2?x?2x?a≤0的解集，试确定a、b10. 设A＝{x|<1x<3}，又设B是关于x的不等式组??2??x?2bx?5≤02222的取值范围，使得A?B。 （90年高考副题）

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11. 定义域内不等式2?x〉x＋a恒成立，求实数a的取值范围。

12. 已知函数y＝(x?1)2?1＋(x?5)2?9，求函数的最小值及此时x的值。 13. 已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14. 若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一个实数解，求常数k的取值范围。

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