2015自主招生辅导（运动学与力学综合）答案

10自主招生 力学训练

一．运动学

1．如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D。BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v

解法一：应用微元法

设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BB’，如图所示。 过B’点作B’E⊥BD。

当Δt→0时，∠BDB’极小，在△BDB’中，可以认为DE=B’D。 在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BB’+BE，即为在Δt时间内绳子收缩的长度。

由图可知：BE=

BB' cos? ①

?s1BB'= ② ?t?t?s2BB'+BEBB'(1+cos?)==人拉绳子的速度v0= ③ ?t?t?tv0由①②③解之：v物=

1+cos?由速度的定义：物体移动的速度为v物=

解法二：应用合运动与分运动的关系

物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同，设为v物。

根据合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动。 也就是说“物体”的方向（更直接点是滑轮的方向）是合速度方向，与物体连接的BD绳上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v物cosa

v0因此绳子上总的速度为v物+v物cos?=v0，得到v物=

1+cos?解法三：应用能量转化及守恒定律

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功

设该时刻人对绳子的拉力为F，则人对绳子做功的功率为P1=Fv。

绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为分为2部分，BD绳对物体做功的功率为P2=Fv0cos?，BC绳对物体做功的功率为P2’=Fv0

由P1=P2+P2’得到v物=

v0

1+cos?2.如图所示，一个半径为R的轴环O1立在水平面上，另一个同样的轴O2以速度v从这个轴环旁边滑过，试求两轴环上部交叉点A的速度VA与两轴环中心之距离d的关系，轴环很薄，且第二个轴环紧靠第一个轴环滑过．

[解析]对本题而言，分解时可以引入圆心O2交点对参照系，A相对圆环

O1的运动方向VA可分解为A相对圆心O2的速度V′和圆心O2相对于圆心O1的速度V

???????? 即有VA?V?V?

［解］由于两圆环是相同的圆环，所以交点相对两环的速度大小相等。即由V、V′和VA构成的三角形为等腰三角形。由几何关系可以得出：VA与竖直方向

d的夹角?等于?AO2O1。 cos?? ①

2RVVA? ②

2sin?由①②两式可以得出VA?VR4R?d22

3．如图所示，一串相同汽车以等速v沿宽度为c的直线公路行驶，每车宽均为b，头尾间距均为a，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用时间为 。

c(a2+b2)t=

abν

4．半径为R的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速度v1，v2反向运动，圆柱与板无相对滑动。问圆柱于速度为v1的接触点A的加速度是多少？

二．力与运动 （一）物体的平衡

1.如图所示，一长L、质量均匀为M的链条套在一表面光滑、顶角为a的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少?

2．半径为R的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR，且弹性绳圈的劲度系数为k，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图所示，若平衡时弹性绳圈长为2?R，求弹性绳圈的劲度系数k

解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中

每一小段△m两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m作为研究对象，进行受力分析.但是△m受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙.

先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m所对的圆心角是△θ，则每一

??M △m在该平面上受拉力F的作用，合力为 2???????T?2Fcos()?2Fsin

22???F?? 因为当θ很小时，sin??? 所以T?2F2小段的质量 ?m?再看正视图3—5—乙，△m受重力△mg，支持力N， 二力的合力与T平衡.即 T??mg?tan? 现在弹性绳圈的半径为 r?所以 sin??2?R2?R 2?2r2???45? tan??1 R2????Mg ①、②联立，Mg?F??， 因此T=?mg?2?2?Mg解得弹性绳圈的张力为： F?

2?设弹性绳圈的伸长量为x 则 x?2?R??R?(2?1)?R

所以绳圈的劲度系数为：k?FMg(2?1)Mg ??22x2(2?1)?R2?RA

3．如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C柱体放上

B C 去之前，A、B两柱体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？

分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A、B、C之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。 设每个圆柱的重力均为G，首先隔离C球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fcy＝0可得

2(31N1?f1)?G ① 22再隔留A球，受力分析如图1一8所示，由∑FAy=0得 31N1?f1?N2?G?0 ② 22由∑FAx=0得 f2?31N1?N1?0 ③ 22由∑EA＝0得

f1R?f2R ④ 由以上四式可得

N12?3?G

22?313N1?G，N2?G

22f1?f2?而f2??0N2，f1??N1

?0?2?3，??2?3 3（备用）．如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A端受的拉力T.

解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：

T???T???Gcos??T? ?T???Gcos????Lgcos?

由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 △Tθ，所以整个铁链对A端的拉力是各段上△Tθ的和， 即 T???T?????Lgcos???g??Lcos?

??Lco??sR 可得铁链

A

端受的拉力

观察 ?Lcos?的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，

所以CD⊥OC，∠OCE=θ△Lcosθ表示△L在竖直方向上的投影△R， 所以

T??g??Lcos???gR

（二）力与运动

1．质量为M的光滑圆形滑块平放在桌面上，一细绳跨过此滑块后，两端各挂一个物体，质量分别为m1和m2，绳子跨过桌边竖直向下，所有摩擦均不计，求滑块加速度。

2．如图所示装置中已知m1,m2,m3且m3向上运动，一切阻力忽略．滑轮质量不计．求m3的加速度．

[解]设m3向上的加速度为a3,则滑轮P的加速度为a3方向向上;滑轮Q的加速度为2a3,方向向下.设m1相对滑轮Q的加速度为a1, m2相对滑轮Q的加速度为a2, 由于Q有加速度,所以当以Q为参照系对m1,m2受力分析时,需加惯性力.设图中所示的绳中的张力为

T,分别对m1,m2,m3列方程(注意,由于滑轮质量不计,所以与m1,m2相连细绳的张力为

T) 2?m3:2T?m3g?m3a3??m2:m2g?T?2m2a3?m2a2?2 ??m:T?2ma?mg?ma13111?12?a?a?12解得:a3?8m1m2?m2m3?m1m3

16m1m2?m2m3?m1m3

3．质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.

2

解析：因为向心力F=mrω，当ω一定时，r越大，向心力越大，所以要想求最大张力T所对应的角速度ω，r应取最大值.

如图3—6所示，在圆环上取一小段△L，对应的圆心角

??M，受圆环对它的张 2?????mr?2 力为T，则同上例分析可得 2Tsin2?????因为△θ很小，所以sin，即 22????2?T2T??Mr?2 解得最大角速度 ??

22?Mr为△θ，其质量可表示为?m?

三．曲线运动与天体运行

1．如图中，是一带有竖直立柱的木块，总质量为M，位于水平地面上，B是一质量为m的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端，现拉动小球使绳伸直并处于水平位置，然后让小球从静止状态下摆，如在小球与立柱发生碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？（设A不会发生转动）

glsin??m? 解：设当小球摆至与水平方向的夹角为θ时小球的速度为?，则m此时小球受到绳的拉力为T，由于小球做圆周运动，有

122m?2T?mglsin??

l对于木块，设地面对木块的支持力为N，摩擦力为f，故有

Tsin??Mg?N?0 Tcos??f?0

设地面的静摩擦因数为μ，则有：f??N

3msin??cos?2sin??cos?? 223msin??Ma?2sin?2M2sin??cos?式中已令a?，又令F(?)?

3ma?2sin2?于是??F(?)，即关于θ的函数，现要求不论θ取何值，不块均不发生移动，这就要求静摩擦因数μ的最小值?min等于F（θ）的最大值F(?)max，而F(?)max可通过下述方法 求得：

2sin??cos?2sin??cos?2 F(?)???22222aa(cos??sin?)?2sin?acos??(a?2)sin??(a?2)tan?tan?2? 2??a?(a?2)tan????2a(a?2)?tan??联立以上各式解得：??

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