中考数学方法技巧:专题六-中点联想训练(含答案)
更新时间:2024-01-07 05:45:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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方法技巧专题六 中点联想训练
1.与中点有关的定理
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (2)等腰三角形“三线合一”的性质. (3)三角形的中位线定理. (4)垂径定理及其推论. 2.与中点有关的辅助线
(1)构造三角形的中位线,如连结三角形两边的中点;取一边的中点,然后与另一边的中点相连结;过三角形一边的中点作另一边的平行线等等.
(2)延长角平分线的垂线,构造等腰三角形的“三线合一”. (3)把三角形的中线延长一倍,构造平行四边形. 一、选择题
1.[2017·宜昌] 如图F6-1,要测定被池塘隔开的A、B两点的距离.可以在AB外选一点C,连结AC,BC,并分别找出它们的中点D、E,连结DE.现测得AC=30 m,BC=40 m,DE=24 m,则AB=( )
A.50 m B.48 m C.45 m D.35 m
图F6-1
2.[2017·株洲] 如图F6-2,点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点,则关于四边形
EFGH,下列说法正确的是( )
图F6-2
A.一定不是平行四边形 B.一定不会是中心对称图形 C.可能是轴对称图形 D.当AC=BD时,它为矩形
3.[2017·湖州] 如图F6-3,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于( )
A.1 B.2 3
C. D.2 2
图F6-3
4.如图F6-4,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是( )
图F6-4
A.2.5 B.5 3
C.2 D.2 2
5.如图F6-5,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一直线上,P是线段DF的中点,连结PG,PC.若∠ABCPG
=∠BEF=60°,则=( )
PC
图F6-5
A.2 B.3 C.
23 D. 23
二、填空题
6.[2017·巴中] 如图F6-6,在△ABC中,AD、BE是两条中线,则S△EDC∶S△ABC=________.
图F6-6
7.[2017·宁夏] 如图F6-7在△ABC中,AB=6,点D是AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,点M在DE1
上,且ME=DM.当AM⊥BM时,BC的长为________.
3
图F6-7
8.[2017·天津] 如图F6-8,正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1,点F,G分别在边BC,CD上,P为AE的中点,连结PG,则PG的长为________.
图F6-8
1
9.如图F6-9,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ACE=∠BAC,CE交AB于点E,交
2
AD于点F.若BC=2,则EF的长为________.
图F6-9
三、解答题
10.[2017·徐州] 如图F6-10,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连结DO并延长,交AB的延长线于点E.连结BD,EC.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠A=50°,则当∠BOD=________°时,四边形BECD是矩形.
图F6-10
11.[2017·成都] 如图F6-11,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连结DE交线段OA于点F.
(1)求证:DH是⊙O的切线; EF
(2)若A为EH的中点,求的值;
FD
(3)若EA=EF=1,求⊙O的半径.
图F6-11
12.[2016·舟山] 如图F6-12①,已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形:
(1)如图②,将图①中的点C移动至与点E重合的位置,F,G,H仍是BC,CD,DA的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形;
(2)如图③,在边长为1的小正方形组成的5×5网格中,点A,C,B都在格点上,在格点上画出点D,使点C与
BC,CD,DA的中点F,G,H组成正方形CFGH;
(3)在(2)的条件下求出正方形CFGH的边长.
图F6-12
参考答案
1.B 2.C 3.A 4.B
5.B [解析] 延长GP交DC于点H,则△GFP≌△HDP,∴GP=HP,GF=HD.∵四边形ABCD和四边形BEFG是菱形,1PG
∴CD=CB,GF=GB,∴CG=CH,∴△CHG是等腰三角形,∴PG⊥PC.∵∠ABC=60°,∴∠GCP=∠BCD=60°.∴=3.
2PC故选B.
6.1∶4 7.8
8.5 [解析] 如图,延长GE交AB于点N,过点P作PM⊥GN于M.由正方形的性质可知AN=AB-BN=AB-EF=2,
NE=GN-GE=BC-FC=2.根据点P是AE的中点及PM∥AN,可得PM为△ANE的中位线,所以ME=NE=1,PM=AN=1,
因此MG=2.根据勾股定理可得PG=PM+MG=5.
221212
GFAF
9.3-1 [解析] 如图,BD=DC=1,AF=CF=2,FD=3.过点F作FG∥BC交AB于点G,则=,∴GF=2(2
BDADGFEF
-3).由=,得EF=3-1.
BCEC
10.解:(1)证明:∵平行四边形ABCD,∴AE∥DC, ∴∠EBO=∠DCO,∠BEO=∠CDO, ∵点O是边BC的中点,∴BO=CO, ∴△EBO≌△DCO(AAS),∴EO=DO, ∴四边形BECD是平行四边形.
(2)若四边形BECD为矩形,则BC=DE,BD⊥AE,又AD=BC,∴AD=DE.
根据等腰三角形的性质,可知∠ADB=∠EDB=40°,故∠BOD=180°-∠ADE=100°.
11.解:(1)证明:连结OD,如图,
∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB, 又∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ODB=∠ACB,∴OD∥AC,
∵DH⊥AC,∴DH⊥OD,∴DH是⊙O的切线. (2)∵∠E=∠B,∠B=∠C,∴∠E=∠C, ∴△EDC是等腰三角形, 又∵DH⊥AC,点A是EH中点,
∴设AE=x,则EC=4x,AC=3x, 连结AD,∵AB为⊙O的直径, ∴∠ADB=90°,即AD⊥BD,
又∵△ABC是等腰三角形,∴D是BC中点, ∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC,OD=13
2AC=2
x,∴∠E=∠ODF.
在△AEF和△ODF中,???∠E=∠ODF,
??
∠AFE=∠OFD,
∴△AEF∽△ODF,∴EFAE
FD=OD,
∵AEOD=x3=23,∴EFFD=2. 2
x3
(3)设⊙O的半径为r,即OD=OB=r, ∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF, 又∵OD∥EC,∴∠FOD=∠EAF, 则∠FOD=∠EFA=∠OFD,
∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1, ∴BD=CD=DE=r+1, ∵∠BDE=∠EAB,
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE, ∴BF=BD=1+r,
∴AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1.
在△BFD与△EFA中,???∠BFD=∠EFA,
??
∠B=∠E,
∴△BFD∽△EFA, ∴EFBF1r+FA=DF,∴r-1=1
r
, 解得r1+51-51=2,r2=2(舍去).
∴⊙O的半径为1+5
2.
12.
解:(1)证明:如图,连结BD,
∵C,H是AB,DA的中点, ∴CH是△ABD的中位线, ∴CH∥BD,CH=1
2BD,
同理FG∥BD,FG=1
2BD,
∴CH∥FG,CH=FG,
∴四边形CFGH是平行四边形. (2)如图所示.
(3)∵BD=5, ∴FG=12BD=52,
∴正方形CFGH的边长是5
2
.
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