安徽理工大学高数试卷8套

安徽理工大学

高等数学（1）

一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数y?y(x)由方程?x?y1e?t2dt?x确定，则

dydxx?0? (C)

(A)e?1; (B)1-e ; (C)e-1 ; (D)2e.

2．曲线y?2x?lnxx?1?4的渐近线的条数为（D ）

(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 0 .

3．设函数f(x)在定义域内可导，y?f(x)的图形如右图所示， 则导函数y?f?(x)的图形为（ C）

4．微分方程y???4y?3cos2x的特解形式为（C ）

(A) y?Acos2x; (B) y?Axcos2x;(C) y?Axcos2x?Bxsin2x; (D) y?Asin2x.****

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．lim(e?x)x?_____________________

x?0x22．若y?arctan1x?ef2(cosx)，其中f可导，则

dydx?_______________

1???xsin,3．设f(x)??x?0,?x?0x?0,若导函数f?(x)在x?0处连续，则?的取值范围是

__________。

高等数学习题

安徽理工大学

4．若f(x)??x2t?4t?230则f(x)的单增区间为__________dt，

,单减区间为__________.

5．曲线y?xe?x的拐点是__________6．微分方程y????4y???4y??0的通解为y?__________________________

三、计算下列各题（每小题6分，共36分）

1．计算积分?arctanx3dx 2．计算积分?xsinxcos?5(1?x)22xdx

3. 计算积分?

2xe3?x20dx 4. 计算积分?dx2?cosxx0

05.设f(x)连续，在x?0处可导，且f(0)?0,f?(0)?4，求lim

6.求微分方程2xydy?(x2?2y2)dx?0的通解

四.（8分）求微分方程y???3y??2y??2xex满足条件y

x?0?(t?0tf(u)du)dt3x?0xsinx

?0,y?x?0?0的特解

22五.（8分）设平面图形D由x?y?2x与y?x所确定，试求D绕直线x?2旋转一周所

生成的旋转体的体积。

?x?5t2?t六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:?与x轴所围成，试求其质量m 2y?t?2t?

七.（7分）设函数f(x)在[?a,a]上有连续的二阶导数，且f(0)?0，证明：至少存在一

a点??[?a,a]，使得??af(x)dx?a33f??(?) 高等数学习题

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高等数学（2）

一. 填空题（每小题4分，共20分）

?1?1．函数f?x????的间断点 是第 类间断点.

1?x????2. 已知F?x?是f?x?的一个原函数,且f?x??3. ?x?1?x2005?11xF?x?1?x2,则f?x?? . ??ex?e?x?dx? .

4. 设f?x???sint1?u4du?dt,则f???0?? . ??0???1?x5. 设函数f?x???2xxdt1?t3?x?0?,则当x? 时,取得最大值.

二. 单项选择题(每小题4分,共16分)

1. 设当x?x0时,??x?,??x?都是无穷小???x??0?,则当x?x0时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]

(A)

??x?2 (B)??x????x?2?2?x?sin1x (C)ln?1???x????x?? (D)??x????x?

12. 曲线y?exarctan2x?x?12?x?1??x?2?的渐近线共有 [ ]

(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

2x?3. 微分方程y???y??2y?xe的一个特解形式为y? [ ]

(A) ?ax?b?xe22x (B) axe2x (C) ?ax?b?e2x (D) ?ax?b?xe2x

4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若?c,d???a,b?,则必有?dcf?x?dx??f?x?dx.

ab(B) 若f?x?在区间?a,b?上可积,则f?x?在区间?a,b?上可积. (C) 若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有?a?Taf?x?dx??T0f?x?dx.

(D) 若f?x?在区间?a,b?上可积,则f?x?在?a,b?内必有原函数.

高等数学习题

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三. (每小题7分,共35分)

1. lim

??ln?cost??t?dt20xx?0x3

2. 设函数y?y?x?是由方程x2?y2?yexy?2所确定的隐函数,求曲线y?y?x?在点

?0,2?处的切线方程.

3. ?xcos2x?cos4xdx 4. ?0???1arctanxx3dx

?y???y?x?sinx?5. 求初值问题 ?1 的解.

?????y0?1,y0???2?

四.(8分) 在区间?1,e?上求一点?,使得图中所示阴影部分绕x轴

Yy?lnx1旋转所得旋转体的体积最小.

五.(7分) 设 0?a?b,求证 ln

ba?2?b?a?a?bO1?eX.

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六.(7分) 设当x??1时,可微函数f?x?满足条件

f??x??f?x??1x?1?f?t?dt?0

0x且f?0??1,试证: 当x?0时,有 e?x?f?x??1 成立.

七.(7分) 设f?x?在区间??1,1?上连续,且?1?1f?x?dx??1?1f?x?tanxdx?0,

证明在区间??1,1?内至少存在互异的两点?1,?2,使f??1??f??2??0.

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高等数学（3）

一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）

1． lim?x02sintdtx62x?0? ；

2．曲线y?x322(1?x)的斜渐近线方程是 ；

dydx3．设y?y(x)是由方程ylny?lnx所确定的隐函数，则4．设f在区间[0,?]上连续，且f(x)?sinx?? ；

??0f(x)dx，则f(x)? ；

2?3?1?x,x?05．设f(x)??，则?f(x?2)dx? ；

x1x?0??e,6．????2sinxx?cosxdx? ；

7．曲线y?lnx相应于1?x?3的一段弧长可用积分 表示；

?x2x8．已知y1?e与y2?e分别是微分方程y???ay??by?0的两个特解，则常数

a? ，常数b? ；

9．f??(x0)?0是曲线y?f(x)以点(x0,f(x0))为拐点的 条件。 二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1．设f(x)?x?x0tsin22x?tdt，求f?(x)

2．

?e??e?12x?4dx 3．

??0xsinx?sinxdx

244．?

dx2 1x2x?2x?1a、b的值，)三．（本题满分9分）设有抛物线?:y?a?bx(a?0,b?0，试确定常数

2使得（1）?与直线y??x?1相切；（2）?与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积最大。

高等数学习题

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四．（本题共2小题，满分14分） 1．（本题满分6分）求微分方程2xye?x2?1dx?edy?0的通解。

94?x22．（本题满分8分）求微分方程y???2y??x?e2x满足初始条件y(0)?2,y?(0)?

的特解。

五．（本题满分7分） 第4页 试证：（1）设u?e，方程xlnx?u在x?e时存在唯一的实根x(u)；

（2）当u???时，

六．（本题满分6分）证明不等式：ln其中n是大于1的正整数。

2n?1?1?13?15???12n?1?1?ln2n?1，

1x(u)是无穷小量，且是与

lnuu等价的无穷小量。

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高等数学（4）

一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）

x?1．lim?x0edt? ；

t2x?0x(cosx?1)2??x?1?t2．曲线?在t?2对应的点处的切线方程为 ；

3??y?t3．函数f(x)?x?ln(? 内严格单调递减； 1x在区间)4．设y?y(x)是由方程xy?lny?1所确定的隐函数，则y?(0)? ；

5?x22??x1?x?1?x?dx? ； 5． ???11?x2?x4??1x6．设f(x)连续，且?tf(2x?0t)d?t12arcta，已知xnf(1)?1,则?y?x1?x2221f(x)dx? ；

7．已知y?y(x)在任意点x处的增量?y???，当?x?0时，?是?x的

高阶无穷小，已知y(0)??，则y(1)?_____； 8．曲线y?xln?e???1??的斜渐近线方程是 ； x?3xx9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解y1?e,y2?e，则该方程为

.

二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）

arccosx?x21．计算不定积分

3．计算反常积分

?xdx 2．计算定积分

?2?0xsinxdx

???1x?x?1?21dx 4．设 G(x)??x1t1?t3dt，求

?10G(x)dx

?x?lncost??三．（本题满分7分）求曲线?自t?0到t?一段弧的长度。 （第3页） 14?y?sint?2 高等数学习题

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四．（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分） 1．求微分方程yy???sinx?y2?cotx的通解。

2．求微分方程y???y?x?sinx的特解，使得该特解在原点处与直线y?

五．（本题满分7分）设a?1，求积分I(a)?

六．（本题满分6分）设函数f(x)在[2,4]上存在二阶连续导数，且f(3)?0，证明：至少存在一点??[2,4]，使得 f??(?)?3?4232x相切。

?1?12xx?aedx的最大值。 （第4页）

。f(x)dx

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高等数学（5）

一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．lim?e?x?x?；

x21x?02．设y?x1sinx，则dy?；

f(3?h)?sinh2f(3)?；

3．已知f?(3)?，则lim2h?04．对数螺线??e?在??????2对应的点处的切线方程是；

y25??t是由方程edt????02?x05．设y?y(x)??2?x??2则y(x)costdt?0确定的隐函数，

的单调增加区间是，单调减少区间是；

6．曲线y?xe?2x的拐点坐标是，渐进线方程是；

?27．lim?n??n?n?3?nn?122?????； 22?n?3n?3n8．

?????1?cos2x?cosxsinxdx?2?；

9．二阶常系数线性非齐次微分方程y???y?2sinx的特解形式为 y*?.

二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分）

10. ?x22x?x2dx 11．?arctan?1x02??x d 12。

????2e?x coxsxdx??xe,三（13）．（本题满分8分）设f(x)????x,2?1x2e,?x?0?2，F(x)??x?0?1x2,??2x?0x?0??

高等数学习题

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m2m3(x?3)??2f??(?)2(x?3)?42M2(x?3)，从而

12?42f(x)dx?f?(3)?(x?3)dx?2?2422f??(?)(x?3)dx?M3,

4即m?3?f(x)dx?M，由介值定理知至少存在一点??[2,4]，使得f??(?)?3?f(x)dx

224Note：还有别的解法。参见03年的第七题。

高等数学（5）

?x?y?e2；

5． ????3?2,5???， ???2????2,3?3??； 6． ?1,e?2?， y?0； 7．； 8． 42； ??92?9. Axcosx?Bxsinx 二. 10.

5?8； 11．xarctan1??x??x?lnx?2x?2?C； 12。?12??12e??2

三 (1) F(x)不是f(x)在(??,??)内的一个原函数，因为F(0)??F(0?0)?0，

F(x)在(??,??)内不连续. (2) ??1x2e?C,x?0??2 f(x)dx????11?x2??C,x?0??22四．limf(x)x2x?0?1 五．y?Cesixn?2(1?sixn )xx六．由已知条件知f??(x)?f(x)?2e，解出f(x)?sinx?cosx?e，

从而可求出??0?g(x)f(x)?1?e?dx?. ?2?1?x(1?x)1?????Note：求积分时，可采取保持一个不动（比如

g(x)1?x不动），然后让另一个等价变形（朝着

保持不动的那一项方向等价变形）。当然还有别的方法，如凑微分等。

a 0 1 a七．(1) S(a)?S1(a)?S2(a)??(ax?x)dx?2?(x?ax)dx?2a33?a2?13

高等数学习题

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?1?2?2是最小值?? (2) Vx?S???6?2?22?130?

221?cosxcos(x?1)?1八．提示：令u?t，则f(x)?????2?xx?1?4?(x?1)x22cosuu3du

1?11?1f(x)?????2?xx?1?4?(x?1)x221u3du?1x

高等数学（6）

??14231?2x3； 2．； 3．； 4．； 5．；6．； 7. y?x?? ；Axe(2,?5)?33e44?一. 1． ?0,8． 二. 10.

21??23； 9. ?12sin1

； 11.? 12.sinx?(xcosx?1?sinx)lnx?C

32 13. a?, b?0, c?2 14.

12sinx?1xx2cosx?e

x12ln2

三． y??四．由题意得

?x0f(t)dt?f(0)f(x)，x?0，?x0f(t)dt?x3f(0)f(x)，

f(0)记f(x)?y，则两端对x求导知y??2xy?2xf(0)4kn2y2，解得f(x)??1?Cf(0)x?2。

五.(1) 设Qk(xk,yk)，则由题意得xk?1n?12kn22,yk?1?k?k?k?,Sk??1??yk?2?1??2

2?n?n?n?21k?k1?2(2) lim?Sk?2lim??1??2?2?(1?x)xdx?

0n???nn???nn?n6k?1k?1?1n?1六. 设f(x)?ln(?1x?)x?2?1?ln1?122x （或f(x)?ln(?， 由函数单调性可得 1x?)x?）

? Note：也有别的解法，而且解法很多 ?2七．法1：

??20f(x)dx??20f(x)d(x?1)?(x?1)f(x)20??20(x?1)f?(x)dx

?20x?1dxmaxf?(x)?maxf?(x)

0?x?20?x?2法2:

1?20f(x)dx??10f(x)dx??21f(x)dx

对?f(x)dx,f(x)?f(0)?f?(?)x，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。

0 高等数学习题

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对?f(x)dx,f(x)?f(2)?f?(?)(x?2)，再用积分的单调性及绝对值不等式的性质放缩。

12法3:（函数的观点，将F(x)??20f(x)dx是某个函数在一些定点处的取值,比如令

?x1f(t)dt，将F(x)分别在x0?1和x0?2处一阶Taylor展开（带Lagrange余

F??(?)2项，即F(x)?F(x0)?F?(x0)(x?x0)?式中都取x?1，再做相应的运算。 Note：构造函数的方法也不是唯一的。

，然后在所得两(x?x0),?介于x和x0间）

2高等数学（7

一. 1．R\\Z，(1,??)； 2． ?1 3．y?6． 2arcsin12x?12 4． 2； 5． 0；

2x?C； 7． e?1； 8． xy???2y??xy?0； 9．

?.

?412二. 10．?cotxlnsinx?cotx?x?C； 11.

121412?3； 12.

13； 13. 10?32； 14. ?

三．y??(x?x)?2(1?x)e2xV?2?四．f(x)?2x?3x2，

??2x?3x3?dx?176?

五．设f(x)?x2212?ln(1?x)?a, 则fmax?f(0)??a?0，

?ln2?a?0，故常数a的取值范围是：

12?ln2?a?0。

2fmin?f(?1)?六．令F(x)??x0f(t)dtx0F?(x)?则1?2F(x)?1,不等式两边对x积分,得1?2F(x)?1?x,

即f(x)?1?2?f(t)dt?1?2F(x)?1?x?

七．(1) 记F(x)??x0f(t)dt???x0f(t)dt，用Lagrange中值定理

(2) 由(1)得

?x0f(t)dt?x?2?x0f(t)dtf(??x)?f(0)??f(?x)?f(0)?????，

?x??x??因此2f?(0)lim??limx?0??x0f(t)dt?x?2?x0f(t)dt?lim?x?0f(x)?f(?x)2xx?0?

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?11f(?x)?f(0)??f(x)?f(0)?. 由于，所以。 ?lim??lim????f(0)f(0)?0??x?0x?022x?x??

高等数学（8）

一。填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)

1．ea?b；2．y?x?1；3．y?2x；4．6；5． ?2n?(n?1)!；6．?1；7．?4?； 8．?2；9．xy?1.

3二．(本题共4小题，每小题7分,满分28分)

(sinx?sin(sinx))sinx1?cosx1x(1?x)e10．解 limx?02?2limsinx?sin(sinx)(sinx)3x?0?2limt?0t?sintt123?13.

11．解???12dx?t?lnx1?2?110??11?1x?12?d(x)?ln?22?21?x?21?x?x12xe(sint?cost)dx?1212t102??1?ln2.

12．解 ?sin(lnx)dx?1esintdt?1t?12(e(sin1-cos1)+1). 12secx?1cscxdx ?213．解??121sin2xcosxdx??2sinxcos122?cscxdtanx?secx?12lntanx2?C（或?secx?lncscx?cotx?C）.

三(14)．（本题满分7分） 解? 当0?x?原式?当x??2x0x?t?uf(t)g(x?t)dt??x0f(x?u)g(u)du，

时，因0?u?x，故x?u?0，于是

x0??2x0(x?u)sinudu??xcosu?(ucosu?sinu)x0?x?sinx.

时，

?x??原式??20(x?u)sinudu???(x?u)0du??xcosu20?(ucosu?sinu)20?x?1

2所以，?x0??x?sinx,0?x???2f(t)g(x?t)dt??

??x?1,x???2 高等数学习题

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?四（15）．（本题满分8分） 解 A???20?220x(1?sinx)dx??284?1，

V???20(x?xsinx)dx?222??2x(1?cos2x)dx??48??28

五（16）．（本题满分7分）解y?C1ex?C2e2x?x(x?2)ex，由y(0)?0，y?(0)?0，得

C1??2，C2?2，y??2e?2ex2x?x(x?2)e.

x六（17）．（本题满分8分）解

dydx???(t)2(1?t)，

dydx22?(1?t)???(t)???(t)4(1?t)3?34(1?t)，

(1?t)???(t)???(t)?3(1?t)，解得??(t)?C1(1?t)?3t(1?t)，由??(1)?6，得 C1?0，于是??(t)?3t(1?t)，?(t)?t?3232t?C2，由?(1)?252，得C2?0，于是

?(t)?t?332t,t??1.

2七（18）．（本题满分6分）证 设F(x)?M(x?a)?m(b?x)，则

F(a)?m(b?a),F(b)?M(b?a)，于是F(a)??baf(x)dx?F(b)，因此至少存在一点

??[a,b]，使得F(?)?

?baf(x)dx，此即?baf(x)dx?M(??a)?m(b??).

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