2013年全国高校自主招生数学模拟试卷10

张喜林制

[选取日期]

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十

一、选择题（36分）

1．给定公比为 q ( q≠ 1)的等比数列{ a n }，设 b 1 = a 1 + a 2 + a 3 , b 2 = a 4 + a 5

+ a 6 ,…, b n = a 3 n -2 + a 3 n -1 + a 3 n ,…，则数列{ b n }( )

( A )是等差数列 ( B )是公比为 q 的等比数列 ( C )是公比为 q 3 的等比数列 ( D )既非等差数列也非等比数列

解析：(C). 由题设，an=a1q

n-1

，则

因此，｛bn｝是公比为q的等比数列．

3

2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式 (| x |-1) 2 +(| y |-1) 2 ＜2的整点( x , y )的个数是( ) ( A )16 ( B )17 ( C )18 ( D )25

解析：

(A)

2

2

由(|x|-1)+(|y|-1)<2,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个． 3．若(log23)

x

-(log53)≥(log23)-(log53)

x -y-y

，则( )

( A ) x - y ≥0 ( B ) x + y ≥0 ( C ) x - y ≤0 ( D ) x + y ≤0

解析：

(B)

t

t

记f(t)=(log23)-(log53)，则f(t)在R上是严格增函数．原不等式即f(x)≥f(-y)．

故x≥-y，即x+y≥0． 4．给定下列两个关于异面直线的命题：

命题Ⅰ：若平面 α 上的直线 a 与平面 β 上的直线 b 为异面直线，直线 c 是 α 与β 的交线，那么， c 至多与 a , b 中的一条相交；

命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。 那么，( )

( A )命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 ( B )命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确

1 / 6

( C )两个命题都正确 ( D )两个命题都不正确

解析：

(D)．

行平面，在每个平面上是异面直线，从而命题

如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这些直线中的任意两条都Ⅱ也不正确．

5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( ) ( A )0 ( B )1 ( C )2 ( D )3

解析：

(B)

设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛．由题意，可得

，即

n=13为正整数．

6．已知点 A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线 y 2 =4 x 交于另外两点 B , C ，那么，△ ABC 是( )

( A )锐角三角形 ( B )钝角三角形 ( C )直角三角形 ( D )答案不确定

解析：

=44+r．由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，

(C)

，化得

设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为 2x-(s+t)y+2st=0．

由于直线BC过点(5，-2)，故 2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即 (s+1)(t+1)=-4． 因此，

所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形． 二、填空题（54分）

7．已知正整数 n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的 n 的个数是___________.

解析：

.

6．

首项为a为的连续k个正整数之和为

．

由Sk≤2000，可得60≤k≤62．

当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2000，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950； 当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2000，可得a≤2，故Sk=1891，1952； 当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2000，可得a≤1，故Sk=1953． 于是，题中的n有6个．

8．复数(12+5i)2(239-i)的辐角主值是_________.

解析：

．

2 / 6

z的辐角主值

argz=arg［(12+5i)2(239-i)］ =arg［(119+120i)(239-i)］ =arg［28561+28561i］=．

2 2 2

8．在△ ABC 中，记 BC = a ， CA = b ， AB = c ，若9 a +9 b -19 c =0，则

cgtCcgtA?cgtB =__________.

解析：

．

x2y2??1上，并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线10．已知点 P 在双曲线

169的两个焦点的距离的等差中项，那么， P 的横坐标是_____.

解析：

．

记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4, b=3, c=5, 如果P在双曲线右支，则 |PF1|=|PF2|+2a=ed+2a． 从而，

|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d， 这不可能；故P在双曲线的左支，则 |PF2|-|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d． 两式相加得2|PF2|=2a+2d． 又|PF2|=ed,从而ed=a+d．

, 右准线l为

.

故 .

．

因此，P的横坐标为

11．已知直线ax?by?c?0中的 a , b , c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______.

3 / 6

解析：

43

设倾斜角为θ，则tgθ=->0．不妨设a>0，则b<0．

(1)c=0,a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0与x-y=0为同一直线)，故这样的直线有3×3-2=7条；

(2)c≠0，则a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36条． 从而，符合要求的直线有7+36=43条．

12．已知三棱锥 S - ABC 的底面是正三角形， A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△ SBC 的垂心，二面角 H - AB - C 的平面角等于30°, SA =2

解析：

。那么三棱锥 S - ABC 的体积为__________.

．

由题设，AH⊥面SBC．作BH⊥SC于E．由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB．故SC⊥面ABE．设S在面ABC内射影为O，则SO⊥面ABC．由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．同理，BO⊥AC．故O为△ABC的垂心．

又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=

．

因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线定理，EF⊥AB． 所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角．故∠EFC=30°，

OC=SCcos60°= SO= 又 OC=

tg60°=

， ×OC=

=3． ×

=3． ．

AB，故AB=

所以，VS-ABC=

三、解答题(满分60分，每小题20分) 13.已知当 x ∈[0,1]时，不等式

x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0， 恒成立，试求θ的取值范围。

解析：

若对一切x∈［0，1］，恒有 f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0，

则

cosθ=f(1)>0,sinθ=f(0)>0. (1)

取 x0= 由于

所以，0

∈(0，1)，则

+2

x(1-x)，

x0(1-x0) ．

4 / 6

．

故 -+>0 (2)

反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sinθ>0，f(1)=cosθ>0，且x∈(0，1)时，f(x)≥2

x(1-x)>0．

先在［0,2π］中解(1)与(2)： 由cosθ>0,sinθ>0，可得0<θ< 又-+

>0,

.

> ,

sin2θ>, sin2θ>,

<2θ<

,

注意到 0<2θ<π，故有 所以，

<θ<

.

因此，原题中θ的取值范围是 2kπ+<θ<2kπ+ ,k∈Z．

5x2y2??1上的动点， F 是左焦点，当| AB |+ | BF |取最小14.给定 A (-2,2)，已知 B 是椭圆

32516值时，求 B 的坐标。

解析：记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，离心率为e．则a=5,b=4,c=

左准线为x=-．

的垂线，垂足为N，过A作此准线的垂线，垂足为M．由椭圆定义，

=

=3,e==，

过点B作左准线x=- |BN|=

=|BF| .

，

于是， |AB|+|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|(定值)，等号成立当且仅当B是AM与椭圆的交点时，此时B(2)

所以，当|AB|+|BF|取最小值时，B的坐标为(

2，2)．

215. 给定正整数 n 和正数 M ，对于满足条件a1?an?1≤ M 的所有等差数列 a 1 , a 2 , a 3 ,….，试求 S = a n +1 + a n +2 +…+ a 2 n +1 的最大值。

解析：

设公差为d,an+1=α,则

d．

S=an+1+an+2+…a2n+1=(n+1)α+ 故

.

5 / 6

则

因此 |S|≤ 且当 α= S=(n+1)〔

(n+1)

,d=+〃，

〃〃

时， 〕

=(n+1) =(n+1)

．

由于此时4α=3nd,故

所以，S的最大值为

(n+1)．

6 / 6

则

因此 |S|≤ 且当 α= S=(n+1)〔

(n+1)

,d=+〃，

〃〃

时， 〕

=(n+1) =(n+1)

．

由于此时4α=3nd,故

所以，S的最大值为

(n+1)．

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