高中数列知识大总结(绝对全)

数列

第六章 数列

知识网络

知识要点

一、 数列的概念

1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作a1,a2,a3 an, ,简记 an .

2．数列 an 的第n项an与项数n的关系若用一个公式an f(n)给出，3．数列可以看做定义域为N（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。 二、数列的表示方法

数列的表示方法有：列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。 三、 数列的分类

1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。

2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。 3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。 四、数列通项an与前n项和Sn的关系

n

1．Sn a1 a2 a3 an

a

i 1

i

S1 2．an

Sn Sn 1

n 1n 2

课前热身

数列

1．数列1，3，6，10， 的一个通项公式为 ( C ) Ａ．an n (n 1) B．an n 1 C．an

2

2

n(n 1)

2

D．an

n(n 1)

2

2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55, 中，x的值为（ Ｄ ） A．10 B．11 C．12 D．13

3．数列 an 的通项公式为 an 3n 28n,则数列各项中最小项是( B )

2

A．第４项 B．第５项 C．第６项 D．第７项

4．已知数列 an 是递增数列，其通项公式为an n n,则实数 的取值范围是( 3, )

2

22

5．数列 an 的前n项和Sn n 4n 1,，则an

2n 5

n 1n 2

典例精析

题型一 归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，

⑵

2

3153563

⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9 解析：⑴将数列变形为

,

4

,

6

,

8

,

79

(10 1),

n 1

79

(10

2

1),

79

(10

3

1)， ,

79

(10

n

1)

⑵分开观察，正负号由( 1)3 5，5 7，确定，分子是偶数2n，分母是1 3， ,(2n 1) (2n 1)，

故数列的通项公式可写成an ( 1)

n 1

2n(2n 1)(2n 1)

⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0， 。可得数列的通项公式为

an n

1 ( 1)

2

n

点拨：联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求

解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。

S1 题型二 应用an

Sn Sn 1

(n 1)(n 2)

求数列通项

例2．已知数列 an 的前n项和Sn，分别求其通项公式.

⑴Sn 3 2 ⑵Sn

n

18

(an 2)

2

(an 0)

1

解析：⑴当n 1时,a1 S1 3 2 1，

数列

当n 2时,an Sn Sn 1 (3 2) (3

nn 1

2)

2 3

n 1

1

又a1 1不适合上式，故an n 1

2 3

(n 1)(n 2)

当n 2时,a S Snnn 1

(2)当n 1时,a1 S1

18

(a1 2)2

,解得a1 2

18

(a2

n 2)

18

(an 1 2)

2

所以(a2

n 2)2 (an 1 2)

0

所以(an an 1)(an an 1 4) 0

又an 0,所以an an 1 4，可知 an 为等差数列，公差为4 所以an a1 (n 1)d 2 (n 1) 4 4n 2

a1 2也适合上式，故 an 4n 2

点拨：本例的关键是应用a

S1(n 1)n

Sn Sn 1

(n 2)

求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足

"n 2"的一般性通项公式。

三、利用递推关系求数列的通项

【例3】根据下列各个数列 an 的首项和递推关系，求其通项公式 ⑴a1

12

,

an 1 an

14n2

1

(2)aa2

2

1 1,n 0,(n 1)an 1 nan an an 1 0， ⑶a1 1,

an 1

12an 1

解析：⑴因为a1

n 1 an

4n2

1，所以 aa1111

n 1 n 4n2

1

2(2n 1 2n 1) 所以a111

2 a1 2(1 3)

a111

3 a2 2(3 5

)

a1114 a3 2(5 7

) ， ，

数列

an an 1

1

2(

1

2n 3

12n 1

)

以上(n 1)个式相加得 an a11 2

(1

1

2n 1)

即：an

1 14n 2

4n 3

4n 2

⑵由(n 1)a2

2

n 1 an an 1 n an

0

有 (n 1)an 1 nan (an 1 an) 0 an 0,

an 1 an 0

(n 1)an 1 nan 0即:

an 1a

nn

n 1

aan

an 1

n

a

a2n 1an 2

a a1

1

n 1n n 2n 1 12 1 1n a1

n n

⑶方法一、设a1n 1 m

2

(an m) a1a1n 1 2

an

12

m,又n 1

2an 1

令

1m 1, m 2,于是a12

n 1

2an 1

可化为

a1n 1 2 2

(an 2)

a1

n 1

n 2 (a1 2) (2

)

a1n 2

2

n 1

方法二：∵an 1

12

an 1

a11n

2

an 1 1

2(1

2

an 2 1) 1 (12

)2

an 2

12 1 (1211

2)(2an 3 1) 2

1 (12)3 a121

n 3 (2) 2

1 =

数列

1n 11n 21 ()a1 () 1 222

1n 1

1 ()

1n 1

() 12

1

2

1n 11

2 () 2 n 1

22

1

方法三： an 1 an

2

1n 11n 1() 2 2 () 22

1,12

an 2

12

an 1 1

两式相减，an 2 an 1 (an 1 an)

1n 11n

an 1 an (a2 a1) () ()

22即：a2 a1

12,

12

a3 a2 (),

2

1n 1

an an 1 ()

2相加得：an a1

1

121n 1 () () 222

1 1n 1

1 ()

1n 12 2

1 ()

121

2

an 2

12

n 1

点拨：在递推关系中若an 1 an f(n),求an用累加法，若

an 1an

f(n),求an用累乘法，若an 1 pan q，

求an用待定系数法或迭代法。

数学门诊

已知Sn是数列 an 的前n项和，且满足Sn列 an 的通项公式。

错解：当n 2时，由已知得Sn Sn 1 3nan, 又an Sn Sn 1 0，所以Sn Sn 1 3n 于是Sn 2 Sn 1 3(n 1)两式相减得，

2

2

2

3nan Sn 1，其中an 0,n 2,3,4 ，又a1 2，求数

22

222

数列

Sn 1 Sn 1 6n 3，即 an 1 an 6n 3

于是an 2 an 1 6n 9 所以两式相减得 an 2 an 6

所以a1,a3,a5, 成等差数列，公差为6， a2,a4,a6, ,也成等差数列，公差为6，从而

a1,a2,a3,a4,a5,a6, 成等差数列，公差为6， 所以，an 2 (n 1) 6 6n 4

正解：当n 2时，由已知得Sn Sn 1 3nan, 又an Sn Sn 1 0， 所以Sn Sn 1 3n

于是Sn 1 Sn 3(n 1)，两式相减得：Sn 1 Sn 1 6n 3，即an 1 an 6n 3 于是an 2 an 1 6n 9，所以an 2 an 6，又S2 S1 12，所以a2 8 又a3 a2 15，所以a3 7 则n 2k时

2

2

222

an a2k a2 (k 1) 6 6k 2 6

n2

2 3n 2

n 2k 1时，an a2k 1 a3 （k 1） 6

6k 1 6 3n 2

n 12

1

2

an 3n 2

3n 2

（n 1）（n为偶数）（n为大于1的奇数）

总结提高

1． 给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一 2． 由Sn求an时，要分n=1和n 2两种情况

3． 数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最

小”等问题十分有效。

4． 给出Sn与an的递推关系，要求an，常用思路是：一是利用Sn Sn 1 an （n 2）转化为an的

递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an。

数列

课堂演练

1． 若数列 an 的前n项的Sn A．an 2 3

n 1

32

an 3，那么这个数列的通项公式为（ D ）

n

n

B．an 3 2 Ｃ．an 3n 3 Ｄ．an 2 3

解：n=1时，a1 S1

32

a1 3a1=6

32

an 3) (

32

an 1 3)

"n 2"时，an Sn Sn 1 (

an 3an 1 an a1 3

n 1

2 3

n

2．已知数列 an 满足a1 0，an 1

an

3

3an 1

（n N），则a20 （ B ）

Ａ．0 Ｂ． 3 Ｃ．3 Ｄ．

32

解：a1 0，a2

0 3

3 0 1

3，

a3

3 3

3 ( 3) 1

0

3

3，a4 0，

a5

3 0 1

3 ， ， 所以

an 3 an

a20 a3 6 2 a2 3

3.定义一种运算“﹡”，对于n N满足以下运算性质：1 1=1，(n 1) 1 3(n 1)，则，n 1用含n的代数式表示为：3

n 1

4.设a1,a2, ,a50从 1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1 a2 a50 9且(a1 1) (a2 1) (a50 1)

2

2

2

107则a1,a2, ,a50中有0的个数为11

解

2

：

2

设有n

2

个0，则由

(a1 1) (a2 1) (a50 1)

222

10

有

(a1 a2 a50)+2(a1 a2+ + a50+50=107, a1 a2 a50 39.

2

2

2

数列

所以在a1,a2, ,a50中有39个1或-1， 所以在a1,a2, ,a50有11个0。 5.已知数列 an 满足a1 1, a 1

n 3

n an 1,

(n 2)，

⑴求a2和a3

n

⑵证明：a3 1n

2

解：(1)∵a1 1, ∴a2

2 3 a1 4 a3 3 a2 13. ⑵证明：由已知an an 1

n 1 3

有

an

n （an an 1） （an 1 an 2） n 1

（a 3

n 2

3 1

3 12 a1） a 3

1

2

6.已知数列 an 中，an

（n 2）（ 9）n

10

试问n 取何值时，an取最大值？并求此最大值．（n 3）（ 9）

n 1

解：因为

an 1a 10

9n 3n

（n 2）（ 9 n 2

n1010

）

当且仅当n 7时，

an 1a １，即a8 a7

n

所以当n 7时

an 1a＞１，即

n

an 1 an 即a7 a6 a5 a1

当n 8时，

an 1a 1 an an 1

n

即a8 a9 a10 故当n 7或8时，an最大，

8(an)max a7 a8

910

7

课外练习

数列

一、选择题

１.数列3，-5，7，-9，11， 的一个通项公式是（ D ）

A．an ( 1)n

(2n 1)B．an 1n ( 1)

(2n 1)

n

C．an ( 1) (2n 1)D．an 1

n ( 1)

(2n 1)

２.已知数列 an 中a1 2，

an 1 3an 1，（n N ）则a4的值为（ A ） A．67 B．22 C．202 D．201 3设a1n

1n 1

n 2

12n 1

，(n N

)，则an 1与an的大小关系是( C )

A．an 1 an B．an 1 an C．an 1 an D．不能确定 解：因为

a111n 1 an 2n 2

2n 3

n 1

12n 3

12n 2

0

所以an 1 an，选Ｃ．

2a1

n,(0 an

1． 若数列 an 满足：a n 1

2)，

2an 1,

(1

2

an 1)a1

67

，则a20的值为（ Ｂ ）

1

解：a 2an,(0 an

2)

n 1

，a 1 1，１

2an 1,

(112

a)

7 n 1 2 a5

2 2a1 1

7 1 ，1 2

数列

a3 2a2 1 a4 2a3

6

1 0 7 2

3

1 ，1 7 2

57，

a5 2a4 1

由此猜想：an 3 an 所以a20 a3 6 2 a2 二、填空题

57

，选Ｂ

22

5．已知数列 an 的前n项和Sn n 4n 1，则an

2n 5

,,

(n 1)(n 2)

6．已知数列 an 中，a1 2，a2 3，an 2 3an 1 2an,a7 解:

an 2 an 1 2(an 1 an)a2 a1 1

a3 a2 2(a2 a1) 2a4 a3 2(a3 a2) 4a5 a4 2(a4 a3) 8a6 a5 2(a5 a4) 16a7 a6 2(a6 a5) 32 a7 a1 1 2 4 8 16 32 a7 65

7．已知数列 an 的通项

n n 9899

9899

（n N），则数列 an 的前30项中最大项和最小项分别是a10，a9

解：构造函数y

x x

1

99 x

9899

由函数性质可知，函数在( )上递减，且y 1 函数在(99，＋ ）上递增且y 1

又99 (9，10）

a10 a11 a12 a30 1 a1 a2 a9

a10最大，a9最小

8．已知 an 中，a1

三、解答题

13

，前n项和Sn与an的关系是Sn n(2n 1)an，求an

数列

解：由Sn n(2n 1)an得

Sn 1 (n 1)(2n 1)an 1 an 1 Sn 1 Sn

an 1 (n 1)(2n 1)an 1 n(2n 1)an (2n 3n)an 1 n(2n 1)an an 1an

2n 12n 3 an 1an 2

an 2an 3

a2a1

a1

2

an

anan 1

2n 32n 52n 75311

2n 12n 12n 39753

1

(2n 1)(2n 1)14n 1

12

，an 1

1an 1

（n N ）Sn为前n项和.⑴求证： an 是以3为周期

2

9．在数列 an 中，an 的周期函数 ⑵求S2010

an 3 1 1

1

1

1an 21

1

1

111

1

1an

an 11

1

1

an 1(an 1) an

anan 1

1 an 1 an

a1

12

，a2 1，a3 2

S2010 （a1 a2 a3） （a4 a5 a6） （a2005 a2006 a2007） （a2008 a2009 a2010） 670（a1 a2 a3） 1005

S

10．设数列 an 的前n项和为Sn，点(nn)，

n

数列

（n N ）均在函数y 3x 2的图像上，⑴求数列 an 的通项公式

⑵设bn

3,Tn是数列 bn 的前前n项和，求使得Tn

m 对所有n N都成立的最小正整数m。

anan 1

20

解：⑴依题意得：

Snn

3n 2，即Sn 3n2

2n

当n 2时，an Sn Sn 1

（3n2

2n） [（3n 1）2

（2n 1）] 6n 5

当n 1时，a1 S1 1 6 1 5

故a

n 6n 5，（n N）

⑵由⑴得：

b3

n

（6n 5）（6n 1）

11126n 5 6n 1

）n

Tn

b

i

i 1

11 1）〈m 1成立， 2（ 1 1） （1 1）

26n 120 76n 56n 1

当且仅当

1m2

20

， m 10

故满足要求的

6.2等差数列

知识要点

2．递推关系与通项公式

1． 等差数列的概念

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用d表示。

数列

递推关系：an 1 an d通项公式：an a1 (n 1)d推广：an am (n m)d变式：a1 an (n 1)d;

d

an a1n 1d an

am

n m

由此联想到点(n,an)所在直线的斜率。

特征：an dn (a1 d),即：an f(n) kn m,

(k,m为常数）

an kn m，（k,m为常数)是数列 an 成等差数列的充要条件。 ３．等差中项：

若a,b,c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b

a c

2；a,b,c成等差数列是2b a c的充

要条件。

４．前n项和公式 Sa1 an)n

； Sn(n 1)d

n

(2

n na1

2

变式：

a1 an

a1 a2 an

2

Snn

n

ad1 (n 1)2

an (n 1) (

d2);

aS2n 1n

2n 1

特征：Sd2

dn

2

n (a1

2

)n,

即SAn2

n f(n) Bn

S2

n An

Bn(A,B为常数)

是数列 an 成等差数列的充要条件。

5．等差数列 an 的基本性质(其中m,n,p,q N

)⑴若m n p q，则am an ap aq反之，不成立。

⑵an am (n m)d ⑶2an an m an m

⑷Sn,S2n Sn,S3n S2n仍成等差数列。 ６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

a

n 1 an d(常数）（n N） an 是等

差数列

②中项法： 2a

n 1 an an 2

（n N) an 是等差数

列

③通项公式法：

an kn b(k,b为常数) an 是等差数

列

④前n项和公式法： Sn An

2

Bn

(A,B为常数) an 是等

差数列

课前热身：

1．等差数列 an 中，a1 a4 a7 39,

a2 a5 a8 33,则a3 a6 a9 （ B ）

A．30 B．27 C．24 D．21 2．等差数列 an 中，

a4 a6 a8 a10 a12 120,则a9

13

a11的值为(

C)

A．14 B．15 C．16 D．17

解 a119

3

a11 a9

3

(a9 2d)

2

3(a d) 2

3a 2120

983 5

163．等差数列 an 的前n项和为Sn，当a1，d变化时，若 a2 a8 a11是一个定值，那么下列各数中也是定值的是（ A ）

数列

A．S13B．S20解：

B．S15C．S8

例1：⑴已知数列 an 前n项和Sn n 9n

2

①求证： an 为等差数列；②记数列 an 的前n项和为Tn，求 Tn的表达式。

⑵数列 an 中，Sn是前n项和，当n 2时，

a2 a8 a11 3(a1 6d) 32 2a7

32

(a1 a13)

为定值，∴a1 a13为定值，

Sn

2

an(Sn

1

1

)①求证： 是等差数列， S a13) 13

13

(a12

，选A

4．计算机执行以下程序：

⑴初始值x 3，S 0 ⑵x x 2 ⑶S S x

⑷S 2010，则进行⑸，否则从⑵继续进行 ⑸打印x ⑹停止

那么，语句⑸打印出的数值为89

解：由题意知，程序每执行一次所得x的值形成一个数列 xn 是等差数列，且首项为5，公差为2，相

应S的值Sn恰为该数列的前n项和，根据题意得：S 5n

n(n 1) 2

2

2010解得 n 43

所以x43 5 (43 1) 2 89

5．设Sn，

Tn分别为等差数列 an 与 bn 的前n 项和

anb

4n 2S19n

2n 5

，则

T

1419

5

解：

(a1 a19) 19

S19 2a a19

T19

(b 1

1 b19) 19b1 b19

2

2a10104 10 2142b a10

b

10

2 10 5

5

典例精析

一、等差数列的判定与基本运算

2 Sn

②设bnn

S，求2n 1

bn 的前n项和Tn

解：⑴：①证明：n=1时，a1 S1 8，

当n 2时，

an Sn Sn 1

n2

9n

(n 1)2

9(n 1)

2n 10

也适合该式，∴an 2n 10 （n N

） ②Tn的表达式为：

n 5时，an 0,n 6时，an 0

当n 5时，T2

n Sn 9n n当n 6时，

Tn a1 a2 a5 a6 an a1 a2 a5 a6 a7 an Sn 2S5

n2

9n 2 ( 20) n2 9n 40

9n n2

T(n 5)n n2

9n 40

(n 6)

⑵： ①证明：当n 2时，

S2

n

an(Sn

12

) (Sn Sn 1)(Sn

12

)

数列

所以S1n Sn 1 2

(Sn 1 Sn)

即

11S

2

n

Sn 1

所以 1 1 S 是以

1为首项，2为公差的等差数列。 n

S1

②：由①得

1S

1 (n 1) d 1 (n 1) 2

n

S1

2n 1

所以S1n 2n 1

所以

bSnn 2n 1 1

(2n 1)(2n 1)

1(

1

122n 1

2n 1

)

Tn b1 b2 bn 1 12 (1 ) (1 1) (1 1)

3352n 12n 1

12(1

12n 1

)

n2n 1

点拨：根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式。 二、公式的应用

例2：设等差数列 an 的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn

①若a11 0，S14 98，求数列 an 的通项公式 ②若a1 6，a11 0，S14 77，求所有可能的数列 an 的通项公式

解：①

由S14 98，得2a1 13d 14又a11 a1 10d 0

解得d 2，a1 20

所以数列 an 的通项公式是： a

n 22 2n

(n N)

②

S14 77 2a1 13d 11由

a11 0有

a1 10d 0 a 6 1

a1 6 2a1 13d 11

○1

即

2a1 20d 0○

2

2a1 12

○

3 由①+②得 7d 1，即d

117

d

113

117

d

113

，又d Z，

10 a1 12，a1 Z

所以a1=11或a1=12

故所有可能的数 an 的通项公式是：

a

n 12 n和an 13 n（n N） 点拨：准确灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式，提高运算能力。 三、性质的应用

例3：已知等差数列 an 中，公差d>0前n项和为

Sn，且满足：a2a3 45，a1 a4 14，

①求数列的通项公式； ②设bSnn

n c

，一个新数列 bn ，若 bn 也

是等差数列，求非零常数c； ③求f(n) bn

(n 25)b （n N

）的最大

n 1

值

解： an 为等差数列， a1 a4 a2 a3=14

又a2 a3 45，由d 0，a2 a3

数列

a2 5，a3 9， d 4，a1 1 an 1 (n 1)4 4n 3 ∴数列 an 的通项公式为an 4n 3 ②由①知：

S2

n n 1 n(n 1) 4

2 2n n

所以bS2n2

n

n

n

n cn c

所以b11

，b62

，151 c

2 c

b3

3 c

因为 bn 为等差数列，所以b1，b2，b3成等差数列，所以

2b2 b1 b3所以

122 c

11 c

153 c

所以c 12

，c 0

（舍去）故所求非零常数c

12

，且bn 2n

③f(n)

bn

(n 25)b的最大值：

n 1

n N

，f(n) bn

(n 25)bn 1

2n

(n 25) 2(n 1)

nn2

26n 25

1n

25 136

n 26

n

25n

n 5 f(n)1max

36

点拨：①利用等差数列的“等和性”求出a2，a3，

从而求出a1，d及通项公式；

②先求出bn的表达式，再由 bn 是等差数列列出关于c的方程，解出c

③可利用函数思想，求出f(n)的最大值。 数学门诊

若数列 an 是等差数列，数列 bn 满足

b N

n an an 1 an 2（n）

， bn 的前n项和为Sn，已知3a5 8a12 0，试问n为何值时，Sn取得最大值？并证明你的结论。 错解：因为3a5 8a12 0，

所以3a5 8(a5 7d)，a565 5

d 0

所以d 0,，所以a1

765

d 0

可知 an 是首项为正数的递减数列。

由 76

a （n 1）d ０n 0

即

5d an 1 0， 76

5d nd 0 76，又5 n

815

n N

n 16，所以S16最大．

正解：当n 16时，a16 0，a17 0

所以a1 a2 a16 0 a17 a18

而b15 a15 a16 a17 0，b16 a16 a17 a18 0所以S14 S13 S1，S14 S15，S15 S16又a15

65

d 0，a18

95d 0，

且a15 a18

所以b15 b16，即b15 b16 0， S16 S14故Sn中S16最大。

总结提高

．在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公 式，如在等差数列中，am an (m n)d

２．在五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其

1

数列

余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。

33．已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，

目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了

设

a，a d，a 2d外，还可设

a d，a，a d；四个数成等差数列时，可设为a 3m，a m，a＋m，a 3m

4．在求解数列问题时，要注意函数思想，方程思想，消元及整体消元的方法的应用。

课堂演练

1．设Sn是等差数列 an 的前n项和，若

S3S6S

16

3

，则

S （ A ）

12

A．

310

Ｂ．1 Ｃ．1 Ｄ．13

8

9

解：

S33a1 3d1S

6

6a1 15d

3

a1 2d且d 0 S66a1 15ddS

12

12a1 66d

2790d

310

２．在等差数列 an 中a1 2，a2 a3 13， 则

a4 a5 a6等于（ B ） A．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．45 解：a2 a3 2a1 3d 4 3d 13

d 3，a5 2 4 3 14a4 a5 a6 3a5 42

3．等差数列 an 中，a1 0，S9 S12，则前或11项的和最大。

解： S9 S12，S12 S9 0

a10 a11 a12 0， 3a11 0，

a

11 0，又a1 0

∴ an 为递减等差数列∴S10 S11为最大。

4．已知等差数列 an 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵

S10，S20 S10，S30 S20， ，S110 S100，

成等差数列，公差为D其首项为

S10 100，前10项的和为S100 10

100 10

10 92

D 10， D 22

又S110 S100 S10 10D

S110 100 10 10（ 22） 110

５．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕

捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元，问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？

解：设捕捞n年后的总盈利为万元，则

y 50n 98 n(n 1)

12n 2 4

2n2

40n 98

2(n 10)2

102

所以当n 10时，ymax 102

答：捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元。

６．设等差数列 an 的前n项和为Sn，已知

a3 12，S12 0，S13 0 ①求出公差d的范围，

②指出S1，S2， ，S12中哪一个值最大，并说明理由。

dan f(n)nanSn an "n 2" 解：①S12 6(a1 a12) 6(a3 a10)

数列

6(2a3 7d) 0 24 7d 0 d

247又S13(a1 a13)

13

2 132(a3 a11)

13

2

(2a3 8d) 0

24 8d 0 d 3

从而

247

d 3

②

S12 6(a6 a7) 0

S13 13a7 0

a7 0，a6 0

S6最大。

课外练习 一、 选择题

1． 已知 an 数列是等差数列，a10 10，其前10

项的和S10 70，则其公差d等于( D )

A． 23

B．

13

C13

D23

2． 已知等差数列 an 的前n项和为Sn，等差数列

的前n项和为Tn，且

Sn3n 39

T

n

n 5

(n N)，则使

anb为整数的所

n

有n的值的个数有（ C ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：

anb=

n

2ana1 a2n 1S2n 12b b n

1 b2n 1

T2n 1

3(2n 1) 396n 362n 1 5

2n 4

3

12n 2

要使

anb为整数只需12能被n+2整除，

n

故n=1，2，4，10，选C

3． 设等差数列 an 的前n项和为Sn，若

S3 9，S6 36，则a7 a8 a9等于( B )

A．63 B．45 C．36 D．27 解：S3，S6 S3，S9 S6成等差数列

2(S6 S3) S3 S9 S6S3 9

S6 S3 27 S9 S6 2(S6 S3) S3 54 9

45

选B

4． 已

知

等

差

数

列

an

中，

a7 a9 16，a4 1，则a12等于（ A ） A．15 B．30 C．31 D．64

解： a7 a9 a4 a12

a

12 15

二、填空题

5． 设Sn为等差数列 an 的前n项和，

S4 14，S10 S7 30，则S9=54

6． 已知等差数列 an 的前n项和为Sn，若

S12 21，则a2 a5 a8 a11

7． 设F是椭圆

x

2

7

y

2

6

1的右焦点，且椭圆上至

少有21个不同点

Pi(i 1,2, )使

P1FP2FP3F,

组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为

1

1，0 10 0 10

解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别

数列

为(7 1)和（7 1）

，由题意得： （7 1） （n 1)d 7 1

d 2n 1 n 1 20

d 1

10

，又d 0

110

d 0或0 d

110

三、解答题

8． 等差数列 an 的前n项和记为Sn，已知

a10 30，a20 50

①求通项an；②若Sn=242，求n 解：an a1 (n 1)d

a10 30，a20 50解方程组 a1 9d 30

a1 19d 50 a

1 12 an 10

d 2

n 2由Sn(n 1)d

n na1

2

，Sn=242 12n

n(n 1)2

2 242

解得n 11或n 22(舍去）

9． 甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运

动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多走1m，乙每分钟走5m，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？ 解：①设n分钟后第一次相遇，依题意有：

2n

n(n 1)2

5n 70

解得n 7，n 20(舍去）

故第一次相遇是在开始运动后7分钟。 ②设n分钟后第二次相遇，则：

2n

n(n 1)2

5n 3 70

解得n 15，n 28(舍去）

故第二次相遇是在开始运动后15分钟

10．已知数列

an

中，a1 3，前n和

S1n

2

(n 1)(an 1) 1

①求证：数列 an 是等差数列 ②求数列 an 的通项公式

③设数列 1

的前n项和为T a

n，是否存在实

nan 1数M，使得Tn M对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。 解：①∵S1n

2

(n 1)(an 1) 1

Sn 1

12

(n 2)(an 1 1) 1

an 1 Sn 1 Sn 12

(n 2)(an 1 1) (n 1)(an

1)

整理得，nan 1 (n 1)an 1

(n 1)an 2 (n 2)an 1 1

(n 1)an 2 nan 1 (n 2)an 1 (n 1)an 2(n 1)an 1 (n 1)(an 2 an) 2a

n 1 an 2 an

∴数列 an 为等差数列。 ②a1 3，nan 1 (n 1)an 1

a2 2a1 1 5 a2 a1 2即等差数列

an 的公差为

2

an a1 (n 1)d 3 (n 1) 2 2n 1③

11

a

nan 1

(2n 1)(2n 3)

数列

1 11

2 2n 12n 3

要使得Tn M对一切正整数n恒成立，只要M≥

1111111

Tn ( )

235572n 12n 3 111 ( )232n 3又当n N时，Tn

16

，所以存在实数M使得Tn M对一切正整数n

都成立，M的最小值为

16

。

16

6.3等比数列

知识要点

1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为

成等比数列。

仍 ④q 1时，Sn，S2n Sn，S3n S2n，成等比数列。

6． 等比数列与等比数列的转化 ① an 是等差数列 c等比数列；

q，（q 0)。 2． 递推关系与通项公式

an

(c 0，c 1)是

递推关系：通项公式：

an 1 qanan a1 q

n m

n 1

②

an log

c

是正项等比数列

推广：an am q

an

(c 0，c 1)是等差数列；

3． 等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为

③ an 既是等差数列又是等比数列

an 是各

a与c的等比中项，且为b ac，注：b是成等比数列的必要而不充分条件。 4． 前n项和公式

2

ac

项不为零的常数列。 7． 等比数列的判定法 ①定义法：

an 1an

2

Sn

(q 1) na1

n

a anq a1(1 q)

1

1 q1 q

q（常数） an 为等比数列；

(q 1)

②中项法：an 1 an an 2

(an 0) an 为

5． 等比数列的基本性质，(其中m,n,p,q N) ①若m n p q，则am an ap aq反之不真！ ②q

n m

等比数列；

an k q③通项公式法：

n

(k,q为常数） an

为等比数列；④前

n

n项和法：

Sn k(1 q)（k,q为常数）

an

为等比数

anam

，an an m an m

2

(n N)

列。 课前热身

1． 如果-1，a,b,c，-9成等比数列，那么（ B ）

③ an 为等比数列，则下标成等差数列的对应项

数列

Ａ．b=3，ac=9 B．b=-3，ac=-9 Ｃ． b=3，ac=-9 D．b=-3，ac=-9

2． 在等比数列 an 中，若a4 a7 a5 a6 20，则此数列的前10项之积等于（ C ）

A．50B．20

10C．10

5

D．10

10

3． 设f(n) 2 24

27

210

2

3n 10

(n N

)，则f(n)等于（D）

A27(8n

1)B2n 1

7(8 1)C27

(8n 3 1)D27

(8n 4 1)4． 已知数列

an

是等比数列，且

Sm 10，S2m 30，则S3m 5． 在

数

列

an

中，若

a1 1，an 1 2an 3

(n 1)

，则通项

an=2

n 1

3

典例精析

一、 等比数列的基本运算与判定 例1：⑴设首项为a1 a

(a 0)，公比为q的等

比数列的前n项和为80，前2n项的和为6560，求此数列的首项与公比。

⑵设数列 an 的首项a1 a

14

，且

1

n为偶数

a n 1

2an,

a1

n 4,

n为奇数

记b1n a2n 1

4,

n 1,2,3,

①求a2，a3

②判断数列 bn 是否为等比数列，并证明你的结

论。

解：⑴∵显然q≠1∴

a(1 qn

) ①

1 q

802n

a(1 q)

1 q

6560 ②

①②两式相除，得

1 q

n

82，q

n

81

又an 1

n aq

54

即aq

n

54q

81a 54q ③ 将q

n

81代入①得a=q－1 ④

由③④得a=2，q=3 ⑵①a12 a1

4

a 14 aa113

12

2

2a 8

②∵aa114 3

4

2

a

38

,

a5

12

a4

14a

3

16

，a

1 b a1

1

4

11 4 a 4

，

b12 a3 4 1(a 1

4),b1213 a5

4 4

(a

1

4

)

猜想： b1n 是等比数列，公比为

2。

证明如下：∵ba1n 1 2n 1

14

2a2n

14

1(a12n 1 ) 1

2441

2

(a2n 1

14

)

12

bn

即：

bn 1

1 b1bn 是首项为a

4

，公比

n

2

，∴为

12

的等比数列。

点拨：①运用等比数列的基本公式，将已知条件转化

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h2t1.html