概率论与数理统计知识点总结

第1章 随机事件及其概率

nPm?（1）排列组合公式 nCm?m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (m?n)!m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n!(m?n)!（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。 一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是?的子集。 ?为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：（3）一些常见排列 （4）随机试验和随机事件 （5）基本事件、样本空间和事件 A?B （6）事件的关系与运算 如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 1

?-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：i?1?A??Aii?1??i A?B?A?B，A?B?A?B （7）概率的公理化定义 设?为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，…有 ????P???Ai????P(Ai)?i?1?i?1 常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。 ?1,?2??n?， 1° ???2° P(?1)?P(?2)??P(?n)?（8）古典概型 1。 n设任一事件A，它是由?1,?2??m组成的，则有 P(A)=?(?1)?(?2)???(?m)? =P(?1)?P(?2)???P(?m) ?mA所包含的基本事件数? 基本事件总数n（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， P(A)?（10）加法公式 L(A)。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 L(?)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当AB不相容P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) 当AB独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称（11）减法公式 （12）条件概率 P(AB)为事件A发生条件下，事P(A)1

件B发生的条件概率，记为P(B/A)?P(AB)。 P(A)（13）乘法公式 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A) 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 P(A1A2…An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)……P(An|A1A2…An?1)。 ①两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)?0，则有 P(B|A)?P(AB)P(A)P(B)??P(B)P(A)P(A) （14）独立性 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件?和不可能事件?与任何事件都相互独立。 ?与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件B1,B2,?,Bn满足 1°B1,B2,?,Bn两两互不相容，P(Bi)?0(i?1,2,?,n)， 2°则有 n（15）全概公式 A??Bii?1， P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。 全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式； 设事件B1，B2，…，Bn及A满足 1° B1，B2，…，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i?1，2，…，n， 2° 则 nA??Bii?1，P(A)?0， （16）贝叶斯公式 P(Bi/A)?P(Bi)P(A/Bi)?P(B)P(A/B)jjj?1n，i=1，2，…n。 此公式即为贝叶斯公式。 P(Bi)，（i?1，2，…，n），通常叫先验概率。P(Bi/A)，（i?1，2，…，1

n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。将试验可看成分为两步做，如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。 我们作了n次试验，且满足 ? 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； ? n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； ? 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。 这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。 用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1?p?q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0?k?n)次的概率， （17）伯努利概型 Pn(k)?Cnpkqn?kk，k?0,1,2,?,n。

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第二章 随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： Xx1,x2,?,xk,?|P(X?xk)p1,p2,?,pk,?。 显然分布律应满足下列条件： （1）pk?0，k?1,2,?， （2）k?1（2）连续型随机变量的分布密度 ?p?k?1。 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有 F(x)??f(x)dx??x， 则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1、 f(x)?0。 2、 ?????f(x)dx?1。 3、P(x1?X?x2)?F(x2)?F(x1)??x2x1f(x)dx 4、P(x=a)=0,a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0 （3）离散与连续型随机变量的关系 P(X?x)?P(x?X?x?dx)?f(x)dx 积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X?xk)?pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 1

（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x)?P(X?x) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 P(a?X?b)?F(b)?F(a) 可以得到X落入区间(a,b]的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 0?F(x)?1, ???x???； 2° F(x)是单调不减的函数，即x1?x2时，有 F(x1)?F(x2)； 3° F(??)?limF(x)?0， F(??)?limF(x)?1； x???x???4° F(x?0)?F(x)，即F(x)是右连续的； 5° P(X?x)?F(x)?F(x?0)。 对于离散型随机变量，F(x)?xk?xx?pk； 对于连续型随机变量，F(x)?（5）八大分布 0-1分布 二项分布 ???f(x)dx 。 P(X=1)=p, P(X=0)=q 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,?,n。 kP(X?k)?Pn(k)?Cnpkqn?k， 其中q?1?p,0?p?1,k?0,1,2,?,n， 则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为X~B(n,p)。 当n?1时，P(X?k)?pqk1?k，k?0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 1

泊松分布 设随机变量X的分布律为 P(X?k)??kk!e??，??0，k?0,1,2?， 则称随机变量X服从参数为?的泊松分布，记为X~?(?)或者P(?)。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 几何分布 P(X?k)?qk?1p,k?1,2,3,?，其中p≥0，q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数f(x)在[a，b]上为常数 均匀分布 1，即 b?a?1a≤x≤b ,?f(x)??b?a 其他， ?0,?则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为 0， xb。 当a≤x1

指数分布 f(x)? ?e??x, x?0, 0, x?0, 其中??0，则称随机变量X服从参数为?的指数分布。 X的分布函数为 ??x1?e, x?0, F(x)? 0, x<0。 记住积分公式： ???x0ne?xdx?n! 1

正态分布 设随机变量X的密度函数为 2???其中、??0为常数，则称随机变量X服从参数为?、?的2X~N(?,?)。 正态分布或高斯（Gauss）分布，记为f(x)?1e?(x??)22?2， ???x???， f(x)具有如下性质： 1° f(x)的图形是关于x??对称的； 2° 当x??时，f(?)?? ? ) t ( 1 x ? ? dt Fe 2 ( x ) ? ? 2?? ??2212??2X~N(?,?)若，则X的分布函数为 为最大值； 参数??0、??1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)，其密度函数记为x2 1?2?(x)?e2?，???x???， 分布函数为 ?(x)?1x2????(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 ?e?t22dt。 1。 2X??2如果X~N(?,?)，则~N(0,1)。 ??x????x???P(x1?X?x2)???2????1?。 ??????Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ （6）分位数 （7）函数的分布函数 下分位表：P(X???)＝?； 上分位表：P(X???)＝?。 离散型 已知X的分布列为 x1,x2,?,xn,?X， P(X?xi)p1,p2,?,pn,?Y?g(X)的分布列（yi?g(xi)互不相等）如下： g(x1),g(x2),?,g(xn),?Y， P(Y?yi)p1,p2,?,pn,?若有某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。 1

连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 （2）定理法： 当Y=g(X)严格单调并且可导时: 其中h’(y)是g(x)的反函数

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第三章 二维随机变量及其分布

（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量?（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称?为离散型随机量。 设?=（X，Y）的所有可能取值为(xi,yj)(i,j?1,2,?)，且事件{?=(xi,yj)}的概率为pij,,称 P{(X,Y)?(xi,yj)}?pij(i,j?1,2,?) 为?=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 p11 p21 y2 p12 p22 … … … … yj p1j p2j … … … x1 x2 ? xi ? pi1 ? ? pij ? … ? ? ? ? ? 这里pij具有下面两个性质： （1）pij≥0（i,j=1,2,…）； （2）??ijpij?1. 1

连续型 对于二维随机向量??(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(???x???,???y???)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|ax1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即 F(x,y)?F(x?0,y),F(x,y)?F(x,y?0); （4）F(??,??)?F(??,y)?F(x,??)?0,F(??,??)?1. （5）对于x1?x2，y1?y2， P(x1

（5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为 Pi??P(X?xi)??pij(i,j?1,2,?)； jY的边缘分布为 P?j?P(Y?yj)??pij(i,j?1,2,?)。 i连续型 X的边缘分布密度为 fX(x)??fY(y)??（6）条件分布 离散型 ????f(x,y)dy； Y的边缘分布密度为 ????f(x,y)dx. 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为 P(Y?yj|X?xi)?pijpi?pijp?j ；在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为 P(X?xi|Y?yj)?连续型 , 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x|y)?f(x,y)； fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f(y|x)?（7）独立性 一般型 离散型 f(x,y) fX(x)F(X,Y)=FX(x)FY(y) pij?pi?p?j 有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 连续型 二维正态分布 f(x,y)?12??1?21??2?e??x???22?(x??)(y??)?y??1?122???????2??????2(1??)??1?122?1????2????, ?＝0 随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则： h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 1

（8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 ?1?S?Df(x,y)???0,??(x,y)?D 其他其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 图3.1 x y 1 O 图3.2 1 D2 2 x y d D3 c O a b x 图3.3 1

（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为 f(x,y)?12??1?21??2?e??x???22?(x??)(y??)?y??1?122???????2??????2(1??)??1?122?1????2????, 其中?1,?2,?1?0,?2?0,|?|?1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布， 22记为（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?). 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布， 22即X～N（?1,?1),Y~N(?2,?2). 22但是若X～N（?1,?1),Y~N(?2,?2)，(X，Y)未必是二维正态分布。 （10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?z) ??对于连续型，fZ(z)＝???f(x,z?x)dx 22两个独立的正态分布的和仍为正态分布（?1??2,?1??2）。 n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ???Ci?i， ?2??Ci2?i2 iiZ=max,min(X1,X2,…Xn) 若X1,X2?Xn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x)，Fx2(x)?Fxn(x)，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为： Fmax(x)?Fx1(x)?Fx2(x)?Fxn(x) Fmin(x)?1?[1?Fx1(x)]?[1?Fx2(x)]?[1?Fxn(x)]

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第四章 随机变量的数字特征

（1）一维随机变量的数字特征 离散型 连续型 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)， ??期望 设X是离散型随机变量，其分期望就是平均值 布律为P(X?xk)＝pk，k=1,2,…,n， E(X)?E(X)??xkpk k?1n???xf(x)dx （要求绝对收敛） （要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X) nE(Y)??g(xk)pk k?1??E(Y)????g(x)f(x)dx ?? 方差 D(X)=E[X-E(X)]2， 标准差 D(X)??[xk?E(X)]2pkkD(X)??[x?E(X)]2f(x)dx???(X)?D(X) （2）期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X) （3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(?CXii?1ni)??CiE(Xi) i?1n（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （3）方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C 2（2） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X) 2（3） D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b 22（4） D(X)=E(X)-E(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 1

（4）常见分布的期望和方差 0-1分布期望 方差 B(1,p) 二项分布p p(1?p) B(n,p) 泊松分布np np(1?p) P(?) 几何分布? 1 p? 1?p 2pnMN?M??N?n??1???? NN?1????G(p) 超几何分布H(n,M,N) 均匀分布nM Na?b 21 ?U(a,b) 指数分布(b?a)2 121e(?) 正态分布?2 N(?,?) （5）二维随机变量的数字特征 期望 n2? ???2 E(X)??xipi? i?1nE(X)??????xfX(x)dx E(Y)??yjp?j j?1E(Y)????yfY(y)dy 函数的期望 E[G(X,Y)]＝ E[G(X,Y)]＝ ??G(x,yiijj)pij ????－?－???G(x,y)f(x,y)dxdy ??方差 D(X)??[xi?E(X)]pi?2iD(X)??[x?E(X)]2fX(x)dx?? ??D(Y)??[xj?E(Y)]2p?jj D(Y)??[y?E(Y)]2fY(y)dy ??1

协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩?11为X与Y的协方差或相关矩，记为?XY或cov(X,Y)，即 ?XY??11?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]. 与记号?XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为?XX与?YY。 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称 ?XYD(X)D(Y) 为X与Y的相关系数，记作?XY（有时可简记为?）。 |?|≤1，当|?|=1时，称X与Y完全相关：P(X?aY?b)?1 完全相关??正相关，当??1时(a?0)，?负相关，当???1时(a?0)， 而当??0时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ①?XY?0； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). （6）协方差的性质 （7）独立和不相关 (i) (ii) (iii) (iv) （i） （ii） cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 若随机变量X与Y相互独立，则?XY?0；反之不真。 若（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?）， 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。

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