高等几何复习3

高等几何复习

第三章 射影变换与射影坐标

1. 交比及基本性质 2. 交比的计算公式

（要求每一个公式配上一个例题。如：C≡A+λB，D≡A+μB，则(AB,CD)?设A（1,1,1），B（1，– 1，1），C（1, 0, 1），D（0，1，0），求（AB，CD）。 解 因为 C = 2（A + B），D = 2（A – B），所以λ= 1，μ= – 1。所以

?。 ?(AB,CD)?1） ??1。

?13. 线束的交比

（只要给出2中的对偶。在计算中，只要用线坐标代替直线方程，就可应用2中的公式。） 4. 完全四点形的调和性

（四点形的调和性在初等几何的应用中有两个重要的定理：

（i） （AB，CD）= – 1，则C是线段AB的中点等价于D是直线AB的无穷远点。（这和平行性有关）

（ii） (ab, cd) = – 1，则c,d平分∠(a, b)等价于c⊥d。 ）

5. 一维基本型的透视对应与射影对应 （1）透视对应的定义； （2）一维射影定应的定义；

（3）从一一对应中判别射影对应的判别定理； (4) 从射影对应中判别透视对应的判别定理；

（5）一维射影对应的代数表示 （要求配上例题）；

（6）一维射影变换的不变点的性质：设E、F是一维射影变换的不变点，P、P′是任一对对应点，则（EF，P′P）= 常数。

（应用举例：（i）射影变换的标准型：对双曲型和椭圆型射影变换，设E、F是不变点，选取参数坐标系，设P′、P的参数坐标为P′=E+x′F，P=E+xF，则

(EF,P?P)?x??k（常数） x从而在参数坐标下，射影变换的方程为 x′ = kx 。

同理，抛物型射影变换的标准型为x′ = x + k 。

（ii）设xn?xn?1?1,x1?0，求xn。

xn?1?3解 由x?x?1解得e = f = – 1，于是有 x?3xn?1?12(xn?1?1)?1?

xn?1?3(xn?1?1)?21

xn?1?

化简，得

1x1?1x?1。

n?n?1?12所以

11x??n?12?1?n?12?n?12。

n?1x1?1所以 x2n?1n?n?1?1??n?1。 ） 6. 对合

7.射影坐标

（1）一维射影坐标； （2）二维射影坐标；

（3）二维射影变换的不变点与不变直线。

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