湖南省长郡中学2010年高三数学五月高考模拟考试 新人教版【会员

湖南省长郡中学2010年高三五月模拟考试数学试题（文科）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟。满分150分。 参考公式：

样本数据x1，x2，…，xn的标准差

s?

1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]，其中x为样本平均数 n柱体体积公式：V?Sh，其中S为底面面积、h为高；

1Sh，其中S为底面面积、h为高； 3432球的表面积、体积公式：S?4?R,V??R，其中R为球的半径

3锥体体积公式：V?

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。 1．已知集合A={4，6，7，9}，B={2，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合CU(A?B)中的元

素个数为 A．2

B．3

C．4

D．5

（ ）

2．设a,b是两个单位向量，命题p:\(2a?b)?b\是命题a:\a?b\的夹角等于 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

4．已知复数z1?m?2i,z2?3?4i，若

A．

2?成立的 3（ ）

（ ）

16? 340?C．

3A．

B．

20? 3D．5?

z1为实数，则实数m的值为 z2C．?

（ ）

8 3B．

3 28 3D．?

3 2

5．下图所示的算法流程图中

用心 爱心 专心

若输出的T=720，则正整数a的值为 A．5 B．6

C．7

D．8

（ ）

x2y2x2y236．若椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，则双曲线2?2?1的渐近线方程为

2abab

A．y??4x

B．y??

D．y??（ ）

1x 4C．y??2x

1x 27．已知正项等比数列{an}满足a7?a6?2a5，若存在两项am,an使得aman?4a1，则

14?的最小值为 mn35A． B．

23 C．

（ ）

25 6D．2

8．已知函数f(x)的导函数为f?(x)?5?cosx,x?(?1,1)，且f(0)?0，如果

f(1?x)?f(1?x2)?0，则实数x的取值范围为

A．（0，1）

B．(1,2)

C．(?2,?2)

（ ）

D．(1,2)?(?2,?1)

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

9．已知一种材料的最佳加入量在500g到1500g之间，若按照0.618法优选，则第2次试点的

加入量为 g。 10．极坐标系中，极点到直线?cos???sin??2的距离等于 。

?3x?1x?011．已知函数f(x)??，若f(x0)?1，则x0的取值范围为 。

logx,x?0?2?y?x?12．若不等式组?y??x表示的平面区域为M，x2?y2?1所表示的平面区域为N，

?2x?y?4?0?现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为 。 13．某同学利用描点法画函数y?Asin(?x??)（其中A?0,0???2,?象，列出的部分数据如下表： x 0 1 y 1 0

?2????2）的图

2 1 3 -1 4 -2 经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据 上述信息推断函数

y?Asin(?x??)的解析式应是y? 。

14．记等差数列{an}的前n项和为Sn，利用倒序相加法的求和办法，可将Sn表示成首项a1，

用心 爱心 专心

末项an与项数的一个关系式，即Sn?(a1?an)n；类似地，记等比数列{an}的前n项2积为Tn，且bn?0(n?N*)，类比等差数列的求和方法，可将Tn表示为首项b1，末项bn与项数的一个关系式，即公式Tn? 。

1?x?,x?0?15．已知函数f(x)??x2?2x,g(x)??， 4x??x?1,x?0 （1）g[f(1)]? ；

（2）若方程g[f(x)]?a?0的实数根的个数有4个，则a的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）

在?ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，m?(b,2a?c),n?(cosB,cosC)，且

m//n.

（1）求角B的大小； （2）设f(x)?cos(?x?间[0,B)?sin?x(??0)，且f(x)的最小正周期为?，求f(x)在区2?2]上的最大值和最小值。

17．（本小题满分12分） 已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10名职工。 （1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码； （2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求

该样本的方差；

用心 爱心 专心

（3）在（2）的条件下。从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，求体

重为76公斤的职工被抽取到的概率。

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥A—BCDE中，底面BCDE为矩形，AB=AC，BC=2，CD=1，并且侧面ABC?底面BCDE。

（1）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明：FG//面ABC； （2）试在线段BC上确定点M，使得AE?DM，并加以证明。

19．（本小题满分13分）

?1,0?x?c??6?x工厂生产某种产品，交品率p与日产量x（万件）间的关系为p??（c2?,x?c??3为常数，且0?c?6），已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元。

（1）将日盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； （2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率=

用心 爱心 专心

次品数?100%）

产品总数

20．（本小题满分13分）

如图所示，已知圆O:x2?y2?1，直线l:y?kx?b(b?0)是圆的一条切线，且l与椭

x2?y2?1交于不同的两点A、B。 圆2 （1）若?AOB的面积等于

2，求直线l的方程； 3 （2）设?AOB的面积为S，且满足

626，求OA?OB的取值范围。 ?S?47用心 爱心 专心

21．（本小题满分13分）

a2(n?4,n?N*)个正数排成一个n行n列的数阵：

第1行 第2行 第3行 … 第n行 第1列 第2列 第3列 … … … … … … 第n列 a11 a21 a12 a22 a13 a23 a33 … a1n a2n a3n … a31 … a32 … an1 an2 an3 ann

其中aik(1?i?n,1?k?n,k?N*)表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，a23?8,a34?20.

（1）求a11和aik；

（2）设An?a1n?a2(n?1)?a3(n?2)???an1，是否存在整数p使得不等式An?11n?p*对任意的n?N恒成立，如果存在，求出p的最大值；如果不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题

用心 爱心 专心

BCAD CDAB 二、填空题 9．882 10．2

11．[-1，0]∪[2，+∞） 12．

3? 6413．2sin(?3x?n?6)

14．(b1bn)

15．（1）-2 （2）[1,) 三、解答题 16．解：（1）由m//n，

得bcosC?(2a?c)cosB

…………2分

54?bcosC?ccosB?2acosB.

由正弦定理得，sinBcosC?sinCcosB?2sinAcosB

?sin(B?C)?2sinAcosB

又B?C???A

…………4分

?sinA?2sinAcosB.

1又sinA?0,?cosB?

2又B?(0,?),?B??3.

…………6分

（2）f(x)?cos(?x?

由已知

?6)?sin?x?33?cos?x?sin?x?3sin(?x?) 2262????,???2.

f(x)?3sin(2x?当?[0,?6)

…………9分

?2]时，2x???7??1?[,],sin(2x?)?[?,1] 66662，即x?因此，当2x??6??2?6时，

f(x)取得最大值3

当2x??6?7??，即x?时， 62用心 爱心 专心

f(x)取得最小值?3. 2…………12分

17．解：（1）由题意，第5组抽出的号码为22。

因为22?5?(5?1)?2

所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码分别为 2，7，12，17，22，27，32，37，12，47…………3分 （2）因为10名职工的平均体重为

x?1(81?70?73?76?78?79?62?65?67?59)?71……5分 10所以样本方差为：

s2?1(102?12?22?52?72?82?92?62?42?122)?52……7分 10 （3）从10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法： （73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，

79），（78，81），（79，81）。

故所求概率为P?42?. 105 …………12分

18．解：（1）取AB的中点为P，连PC，PG，

则PG//BE,又CF//BE.

= 2= 211?PG//CF,?PGFC是平行四边形，

=

?FG//CP …………3分

又FG?面ABC

CP?面ABC

?FG//面ABC。 …………6分

（2）点M为BC的中点 连接DM，EM，AM 由于AB=AC，?AM?BC

则?MDE中，MD?ME?DE

222

…………8分

…………7分

?EM?DM

又面ABC?面BCDE，交线为BC，

?AM?面BCDE，且DM?平面BCDE ?AM?DM …………10分

又AM?EM?M,?DM?平面AME

…………12分

?AE?平面AME，?AE?DM.

219．解：（1）当x?c时，p?

3123?y??x?3??x??0

332 …………1分

用心 爱心 专心

当0?x?c时，p?1 6?x

11339x?2x2?y?(1?)?x?3??x???……3分

6?x6?x226?x?日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系式为

?3(9x?2x2),0?x?c?y??2(6?x)

?0,x?c?

…………6分

（2）由（1）知，当x?c时，日盈利额为0。 当0?x?c时，

3(9x?2x2) ?y?2(6?x)

3(9?4x)(6?x)?(9x?2x2)3(x?3)(x?9) ?y????222(6?x)(6?x)令y??0得x?3或x?9（舍去）

…………8分

?①当0?c?3时，

?y??0,?y在区间(0,c]]上单调递增，

?y最大值3(9c?2c2)， ?f(c)?2(6?c)…………10分

此时x?c

②当3?c?6时，在（0，3）上，y??0， 在（3，6）上y??0

?y最大值?f(3)?9 2综上，若0?c?3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；

若3?c?6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大…………13分

20．解：（1）由题意可知：

|b|1?k2?1

?b?1?k2

又?…………1分

2?y?kx?b?x?2y?2?02222

得(1?2k)x?4kbx?2b?2?0

…………2分

用心 爱心 专心

?|AB|?1?k2?22|k| 21?2k…………3分

而O到直线AB的距离为

|b|1?k2?1

…………4分

则有

122|k||b|2 ?1?k2???2231?2k21?k…………5分

得k??1 所求直线的方

x?y?2?0或x?y?2?0.…………6分

6122|k||b|2??1?k2???6 224271?2k1?k

…………8分

（2）由题意可知

得

1?k2?3 2设A(x1,y1),B(x2,y2)

?OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?b)(kx2?b)2 ?(1?k2)x1x2?kb(x1?x2)?b

…………10分

4kb2b2?2?x1x2?根据韦达定理得：x1?x2?? 21?2k1?2k21?k2代入上式得：OA?OB? 21?2k?43?OA?OB?. 74

…………13分

21．解：（1）设第一行的公差为d，则a1k?a11?(k?1)d

?第b列的数成公比为2的等比数列

即aik?[a11?(k?1)d]?2i?1 又?a23?8,a34?20

…………2分

?2(a11?2d)?8, ??2?2(a11?3d)?20.解得a11?2,d?1 从而aik?[a11?(k?1)d]?2i?1

…………4分

?(k?1)?2i?1

用心 爱心 专心

……6分

（2）由（1），得ai(n?1?i)?(n?2?i)?2i?1

An?ann?a2(n?1)?a3(n?2)???an1

?(n?1)?20?n?2?(n?1)?22???2?2n?1

2n?(n?1)?2?n?22?(n?1)?23???3?2n?1?2?2n

两式相减，得An?2?22?23???2n?1?2?2n?(n?1)

2?2n?1?2??2?2n?(n?1)?3(2n?1)?n…………9分

1?2An?11n?p?p?An?11n

令Bn?An?11n，

则Bn?(3?2n?n?3)?11n?3?2n?12n?3

从而Bn?1?Bn?[3?2n?1?12(n?1)?3]?(3?2n?12n?3)?3(2n?4). 由上式知：当n?1时，有B2?B1 当n?2时，有B2?B3 当n?2时，Bn?1?Bn

因此，数列{Bn}的最小项为B2或B3。 又B2?B3??15

所以，p??15，即的最大值为-15。…………13分

用心 爱心 专心

（2）由（1），得ai(n?1?i)?(n?2?i)?2i?1

An?ann?a2(n?1)?a3(n?2)???an1

?(n?1)?20?n?2?(n?1)?22???2?2n?1

2n?(n?1)?2?n?22?(n?1)?23???3?2n?1?2?2n

两式相减，得An?2?22?23???2n?1?2?2n?(n?1)

2?2n?1?2??2?2n?(n?1)?3(2n?1)?n…………9分

1?2An?11n?p?p?An?11n

令Bn?An?11n，

则Bn?(3?2n?n?3)?11n?3?2n?12n?3

从而Bn?1?Bn?[3?2n?1?12(n?1)?3]?(3?2n?12n?3)?3(2n?4). 由上式知：当n?1时，有B2?B1 当n?2时，有B2?B3 当n?2时，Bn?1?Bn

因此，数列{Bn}的最小项为B2或B3。 又B2?B3??15

所以，p??15，即的最大值为-15。…………13分

用心 爱心 专心

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