2年中考1年模拟，备战2014精品资料全国各地中考试题分类汇编：阅

2013年全国各地中考数学试卷分类汇编

阅读理解型问题

1. (2013江苏南京，28，11分)

问题情境

已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

数学模型

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y?2(x?)(x＞0)．

ax探索研究

⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y?x?① 填写下表，画出函数的图象：

111 2 3 4 …… x …… 1 432

…… y ……

1(x＞0)的图象性质． xy 5 4 3 2 1 －1 O －1 1 2 3 4 5 x

（第28题）

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y?x?1(x＞0)的最小值． x4a．

1

2. （2013江苏南通，27，12分）（本小题满分12分） 已知A(1，0)， B(0,－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0），经过其中三个点.

（1） 求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上； （2） 点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上吗？为什么？ （3） 求a和k的 值. 3. （2013四川凉山州，28，12分）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1?x2，与y轴交于点C?0,?4?，其中x1，x2是方程x?4x?12?0的两个根。

2（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；

（3）点D?4,k?在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。

y O M A N C 28题图

B x

4. （2013江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）.

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，??，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方

2

法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是

41?202π？ 2请你解答上述两个问题.

2013年全国各地中考数学试卷分类汇编

阅读理解型问题

1：解决问题

⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 【答案】解：⑴①函数y?x?1710551017，，，2，，，． 4322341(x?0)的图象如图． x

②本题答案不唯一，下列解法供参考．

当0?x?1时，y随x增大而减小；当x?1时,y随x增大而增大；当x?1时函数

y?x?1(x?0)的最小值为2． x1③y?x?

x3

=(x)?(212) x1211 )?2x??2x?xxx=(x)?(2=(x?12)?2 x11=0，即x?1时，函数y?x?(x?0)的最小值为2．

xx当x?⑵当该矩形的长为a时，它的周长最小，最小值为

2：【答案】（1）证明：将C，E两点的坐标代入y＝a (x－1)2＋k（a＞0）得，

?4a?k?2，解得a＝0，这与条件a＞0不符， ?9a?k?2?∴C，E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. （2）【法一】∵A、C、D三点共线（如下图），

∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A、B、C； ②A、B、E； ③A、B、D； ④A、D、E； ⑤B、C、D； ⑥B、D、E.

将①、②、③、④四种情况（都含A点）的三点坐标分别代入y＝a (x－1)2＋k（a＞0），解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解.

4

所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. 【法二】∵抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）的顶点为（1，k）

假设抛物线过A(1，0)，则点A必为抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与（1）矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k（a＞0）上. （3）Ⅰ.当抛物线经过（2）中⑤B、C、D三点时，则

?a?k??1?a?1，解得 ??4a?k?2k??2??3?a???8Ⅱ. 当抛物线经过（2）中⑥B、D、E三点时，同法可求：?

11?k???8.?3?a???a?1?8∴?或?

k??211??k???8.?3：【答案】

（1）∵x?4x?12?0，∴x1??2，x2?6。

∴A(?2,0)，B(6,0)。

又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6)，将点C的坐标代入，求得a?21。 3124x?x?4。 33∴抛物线的解析式为y?（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH?x轴于点H（如图（1））。

∵点A的坐标为（?2，0），点B的坐标为（6，0）， ∴AB?8，AM?m?2。

∵MN?BC，∴△MN∥△ABC。

NHAMNHm?2m?2??，∴，∴NH?。 COAB48211CO?AM?NH ∴S△CMN?S△ACM?S△AMN??AM?221m?21?(m?2)(4?)??m2?m?3 224∴

5

1??(m?2)2?4。

4∴当m?2时，S△CMN有最大值4。 此时，点M的坐标为（2，0）。 （3）∵点D（4，k）在抛物线y?∴当x?4时，k??4， ∴点D的坐标是（4，?4）。 ①

如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF∵D（4，?4），∴错误！链接无效。DE?4。 ∴F1(?6,0)，F2(2,0)。 ②

如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F(n,0)，

124x?x?4上， 33DE，

则平行四边形的对称中心为（∴E?的坐标为（n?6，4）。 把E?（n?6，4）代入y?解得 n?8?27。

n?2，0）。 2124x?x?4，得n2?16n?36?0。 33F3(8?27,0)，F4(8?27,0)。

y y H O M A N y C 图（1） F1 B x A O F2 B x E 图（2） D E? E? F3 A F4 B 6 O x E 图（3）

D

4：【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3， ∴顶点O运动过程中经过的路程为

90???190???22?2??(1?)?. 1801802

顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为

90???1290???(2)21?2??2??1?1=1+π.

3603602正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为

90???190???232?3??(?)?. 18018022问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为

90???190???22?2??(1?)? 1801802∴

141?2022)π+π. π=20×(1?222∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.

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2012年全国各地中考数学试卷分类汇编

阅读理解型问题

1．（2012四川达州，21，8分）（8分）问题背景

若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x，面

2积为s，则s与x的函数关系式为： s??x?1x(x﹥0），利用函数的图象或通过配方均2可求得该函数的最大值.

提出新问题

若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析问题

若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：y?2(x?（x﹥0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了. 解决问题

借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y?2(x?1) x1)（x﹥0）的最大（小）值. x1)（x﹥0）的图象： x（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y?2(x?

（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当

x= 时，函数y?2(x?)（x﹥0）

有最 值（填“大”或“小”），是 .

2（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数s??x?1x1x(x﹥0）的最 2大值，请你尝试通过配方求函数y?2(x?1)（x﹥0）的最大（小）值，以证明你的 x猜想. 〔提示：当x＞0时，x?(x)2〕

2．（2012江苏省淮安市，28，12分）阅读理解

如题28-1图，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．

8

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．

情形一：如题28-2图，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；

情形二：如题28-3图，沿 △ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B1A1C的平分线 A1B2折叠，此时点B1与点C重合． 探究发现 (1)△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角? ．(填：“是”

或“不是”)．

(2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)

之间的等量关系．

根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C(不妨设

∠B>∠C)之问的等量

关系为 ． 应用提升

(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15o，60o，l05o，发现60o和l05o的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，如果一个三角形的最小角是4o，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角． 3．（2012湖北咸宁，23，10分）如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若?1??2??3??4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB?4，BC?8．

M 3 H 4 N

E 图1

G 1 2 Q A F

D A F

F

P

B E 图2 A 3 4 B

E

图4 （第23题）

C

C B G 1 2

M

图3 D F E

C D H

理解与作图：

（1）在图2、图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH． 计算与猜想：

9

（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？

启发与证明：

（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想． 4．(2012贵州黔西南州，25，14分)问题：

已知方程x2＋x－1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． y

解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=．

2yyy

把x=代入已知方程，得()2＋－1=0．

222

化简，得：y2＋2y－4=0． 故所求方程为y2＋2y－4=0．

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)：

(1)已知方程x2＋x－2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．:

5．(2012贵州黔西南州，26，16分)如图11，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)抛物线的对称轴l与x轴相交于点M． (1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴．

(2)设点P为抛物线(x＞5)上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数．请你直接写出点P的坐标．

(3)连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出N的坐标；若不存在，请说明理由．

6. (2012山东省临沂市，19，3分）读一读：式子“1+2+3+4+??+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为

?n，

n?1100这里“

?2012”是求和符号，通过以上材料的阅读，计算

?n?11= .

n(n?1)10

7. （2012浙江省嘉兴市，23，12分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′ C′ ,即如图①,∠BAB′ ＝θ,为[θ,n].

(1)如图①,对△ABC作变换[60°,3]得△AB′ C′ ,则S?AB?'C?:S?ABC =_______;直线BC与 直线B′C′所夹的锐角为_______度; (2)如图② ,△ABC中,∠BAC=30° ,∠ACB=90° ,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′ C′ ,使 点B、C、C?在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值; (3)如图③ ,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36° ,BC=1,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′ , 使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值.

AC'BCB'BCC'BB'CB'AAC'AB?B?C?AC????n,我们将这种变换记ABBCAC第23题图①第23题图②第23题图③

8.（2013江苏省无锡市，27，8′）

对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),我们把x1-x2+y1-y2叫做

P1、P2两点间的直角距离，记作d(P1,P2).

(1)已知O为坐标原点，动点P(x,y)满足d(O，P)=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中出所有符合条件的点P所组成的图形； （2）设P0(x0,y0)是一定点，Q(x,y)是直线y=ax+b上的动点，我们把d(P0，Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离，试求点M（2,1）到直线

y=x+2的直角距离。

9．（2012江苏盐城，27，12分）知识迁移 当a＞0且x＞0时，因为（x?ax2

）≥0，所以x-2a+aa≥0，从而x+xx≥2a（当x=2a时取等号）．记函数y= x+知：当x=2a时，该函数有最小值为2a. 直接应用 已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=

变形应用

a( a＞0,x＞0),由上述结论可x1（x＞0）,则当x= 时，y1+y2取得最小值为 . x11

已知函数y1=x+1（x＞-1）与函数y2=(x+1)+4（x＞-1）,求

2

y2的最小值，并指出取得该最y1小值时相应的x的值.

实际应用

已知某汽车的依次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001，设汽车一次运输路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 10．（2012四川省资阳市，24，9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB为直径的⊙O交BＣ于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．

（1）(3分)BD＝DC吗？说明理由； （2）(3分)求∠BOP的度数；

（3）(3分)求证：CP是⊙O的切线；

如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：

为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．

AOPEBDC（第24题图）

11. （2012浙江省绍兴，22，12分）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索.

如图，一架2.5米工的梯子AB斜靠在竖直

思

考题的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为 0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米， 那么点B将向外移动多少米？

（1）请你将小明对“思考题的解答补充完整：

解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，

则B1C=x+0.7,A1C=AC－AA1=2.5?0.7?0.4?2， 而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12， 得方程 ▲ ，

解方程x1= ▲ ，x2= ▲ ， ∴点B将向外移动 ▲ 米.

（2）解完“思考题”后，小陪提出了如下两个问题：

12

22

问 在“思考题”中将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9

米吗？为什么？ 题①在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，问有可能相等吗？为什么？ 题②请你解答小聪提出的这两个问题. 12.(2012湖北随州，25，13分) 在一次数学活动课上，老师出了一道题：

（1）解方程x2?2x?3?0

巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）.接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二题：

（2）解关于x的方程mx2?(m?3)x?3?0（m为常数，且m≠0）.

老师继续巡视，及时观察、点拨大家.再接着，老师将第二道题变式为第三道题： （3）已知关于x的函数y?mx2?(m?3)x?3（m为常数）.

①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；

②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B.当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，直接写出m的取值范围. 请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.

2012年全国各地中考数学试卷分类汇编 阅读理解型问题

1：解析：对于（1）按照画函数图象的列表、描点、连线三步骤进行即可；对于（2），由结合图表可知有最小值为4；对于（3），可按照提示，用配方法来求出。

13

答案：(1)

…………………………………………..（1分）

………………………………………….（3分）

（2）1、小、4………………………………………………………………………..（5分）

?1?2（3）证明：y?2?(x)? 2?(x)????1?2?(x)2?2??2? 2(x)???2(x?1x1x)2?4………………………………………………（7分）

当x??0时，y的最小值是4

即x=1时，y的最小值是4………………………………………………………..（8分） 点评：本题以阅读理解型的形式，考查学生画函数图象的基本步骤及结合图表求函数最值的观察力，考察了学生的模仿能力、配方思想和类比的能力。

2：【解析】（1）利用三角形外角的性质和折叠对称性即可解决；（2）根据第（1）问的结论继续探索；（3）利用“好角”的定义和三角形内角和列出方程解之．具体过程见以下解答． 【答案】解： (1) 由折叠的性质知，∠B=∠AA1B1.因为∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，而∠B=2∠C，所以∠A1B1C=∠C，就是说第二次折叠后∠A1B1C与∠C重合，因此∠BAC是△ABC的好角.

（2）因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C．如图12-4所示.

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AA1A2BB1B2B3C

图12-4

因为∠ABB1=∠AA1B1，∠AA1B1=∠A1B1C+∠C，又∠A1B1C=∠A1A2B2，∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C，所以∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C．

由上面的探索发现，若∠BAC是△ABC的好角，折叠一次重合，有∠B=∠C；折叠二次重合，有∠B=2∠C；折叠三次重合，有∠B=3∠C；…；由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B=n∠C．

（3）因为最小角是4o是△ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为4mo，4mno（其中m、n都是正整数）．

由题意，得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44．

因为m、n都是正整数，所以m与n+1是44的整数因子，因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2．所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1．

所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88．

所以该三角形的另外两个角的度数分别为：4o，172o；8o，168o；16o，160o；44o，132o；88o，88o．

【点评】本题主要考查轴对称图形、等腰三角形、三角形形的内角和定理及因式分解等知识点的理解和掌握，本题是阅读理解题，解决本题的关键是读懂题意，理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则，然后套用题目提供的对应关系解决问题，具有一定的区分度． 3：【解析】（1）根据网格结构，作出相等的角得到反射四边形；

（2）图2中，利用勾股定理求出EF＝FG＝GH＝HE的长度，然后可得周长；图3中利用勾股定理求出EF＝GH，FG＝HE的长度，然后求出周长，得知四边形EFGH的周长是定值； （3）证法一：延长GH交CB的延长线于点N，再利用“角边角”证明Rt△FCE≌Rt△FCM，根据全等三角形对应边相等可得EF＝MF，EC＝MC，同理求出NH＝EH，NB＝EB，从而得到MN＝2BC，再证明GM＝GN，过点G作GK⊥BC于K，根据等腰三角形三线合一的

15

性质求出MK＝周长；

1MN＝8，再利用勾股定理求出GM的长度，然后可求出四边形EFGH的2证法二：利用“角边角”证明Rt△FCE≌Rt△FCM，根据全等三角形对应边相等可得EF＝MF，EC＝MC，再根据角的关系推出∠M＝∠HEB，根据同位角相等，两直线平行可得HE∥GF，同理可证GH∥EF，所以四边形EFGH是平行四边形，过点G作GK⊥BC于K，根据边的关系推出MK＝BC，再利用勾股定理列式求出GM的长度，然后可求出四边形EFGH的周长．

【答案】（1）作图如下： 2分

（2）解：在图2中，EF?FG?GH?HE?22?42?20?25， ∴四边形EFGH的周长为85．

3分

在图3中，EF?GH?22?12?5，FG?HE?32?62?45?35． ∴四边形EFGH的周长为2?5?2?35?85． 猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值． （3）如图4，证法一：延长GH交CB的延长线于点N．

A 3 4 N

B

E

K

图4

C

G

1 H D F 2 5 M

4分 5分

∵?1??2，?1??5， ∴?2??5． 而FC?FC，

∴Rt△FCE≌Rt△FCM． ∴EF?MF，EC?MC． 同理：NH?EH，NB?EB． ∴MN?2BC?16．

7分

16

6分

∵?M?90???5?90???1，?N?90???3， ∴?M??N． ∴GM?GN． 过点G作GK⊥BC于K，则KM?8分

19分 MN?8．

2∴GM?GK2?KM2?42?82?45． ∴四边形EFGH的周长为2GM?85．

10分

证法二：∵?1??2，?1??5， ∴?2??5． 而FC?FC， ∴Rt△FCE≌Rt△FCM． ∴EF?MF，EC?MC．

6分

∵?M?90???5?90???1，?HEB?90???4， 而?1??4， ∴?M??HEB． ∴HE∥GF． 同理：GH∥EF． ∴四边形EFGH是平行四边形． ∴FG?HE． 而?1??4，

∴Rt△FDG≌Rt△HBE． ∴DG?BE．

过点G作GK⊥BC于K，则KM?KC?CM?GD?CM?BE?EC?8 ∴GM?GK2?KM2?42?82?45． ∴四边形EFGH的周长为2GM?85．

【点评】本题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的性质，读懂题意理解“反射四边形EFGH”特征是解题的关键．

4：【解析】按照题目给出的范例，对于(1)的“根相反”，用“y=－x”作替换；对于(2)的“根1是倒数”，用“y=”作替换，并且注意有“不等于零的实数根”的限制，要进行讨论．

x【答案】(1)设所求方程的根为y，则y=－x，所以x=－y．??????(2分) 把x=－y代入已知方程x2＋x－2=0， 得(－y)2＋(－y)－2=0．??????(4分) 化简，得：y2－y－2=0．??????(6分)

11

(2)设所求方程的根为y，则y=，所以x=．??????(8分)

xy1

把x=代如方程ax2＋bx＋c=0得．

y 11

a()2＋b·＋c=0，??????(10分) yy

去分母，得，a＋by＋cy2=0．????????(12分)

17

若c=0，有ax2＋bx=0，于是方程ax2＋bx＋c=0有一个根为0，不符合题意． ∴c≠0，故所求方程为cy2＋by＋a=0(c≠0)．????????(14分)

【点评】本题属于阅读理解题，读懂题意，理解题目讲述的方法的基础；在实际解题时，还要灵活运用题目提供的方法进行解题，实际上是数学中“转化”思想的运用．

5：【解析】(1)已知抛物线上三点，用“待定系数法”确定解析式；(2)四边形AOMP中，AO=4，OM=3，过A作x轴的平行线交抛物线于P点，这个P点符合要求“四条边的长度为四个连续的正整数”；(3)使△NAC的面积最大，AC确定，需要N点离AC的距离最大，一种方法可以作平行于AC的直线，计算这条直线与抛物线只有一个交点时，这个交点即为N；另一种方法，过AC上任意一点作y轴的平行线交抛物线于N点，这样△NAC被分成两个三角形，建立函数解析式求最大值．

【答案】(1)根据已知条件可设抛物线对应的函数解析式为y=a(x―1)·(x―5)，??????(1分)

4

把点A(0，4)代入上式，得a=．??????(2分)

5

4424416

∴y=(x―1)(x―5)=x2―x＋4=―(x―3)2―．??????(3分)

55555∴抛物线的对称轴是x=3．????(4分) (2)点P的坐标为(6，4)．??????(8分)

(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大，由题意可设点N的坐标为424

(t，t2―t＋4)(0＜t＜5)．??????(9分)

55

如图，过点N作NG∥y轴交AC于点G，连接AN、CN．由点A(0，4)和点C(5，0)可求出4

直线AC的解析式为：y=―x＋4．??????(10分)

5

18

44

把x=t代入y=―x＋4得y=―t＋4，

554

则G(t，―t＋4)．??????(11分)

5

4424420

此时NG=―t＋4―(t2―t＋4)=―t2＋t．??????(12分)

5555511420

∴S△NAC=NG·OC=(－t2＋t)×5

2255

525

=―2t2＋10t=―2(t－)2＋．??????(13分)

22又∵0＜t＜5，

525

∴当t=时，△CAN的面积最大，最大值为．??????(14分)

22 5424

t=时，t2－t＋4=－3．??????(15分) 25 55

∴点N的坐标为(，－3)．????????(16分)

2

【点评】本题是一道二次函数、一次函数、三角形的综合题，其中第(3)问也是一道具有难度的“存在性”探究问题．本题主要考查二次函数、一次函数的图象与性质的应用． 100（100?1）100（100?1）6：【解析】式子“1+2+3+4+??+100”的结果是，即； n=

22n?1?100又∵∴

11111?1-，?-，???， 1?222?323111111111????=1-+-+?+-=1-， 1?22?3n?(n?1)223nn?1n?12012∴

?n(n?1)=1?2?2?3???2012?2013=1-2+2-3+?+2012-2013=1-2013=2013.

n?111111111112012【答案】

2012 2013【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题重点除首位两项外，其余各项相互抵消的规律． 7：【解析】(1) 由题意知, θ为旋转角, n为位似比.由变换[60°,3]和相似三角形的面积比等于相似比的平方,得S?AB?'C?:S?ABC = 3, 直线BC与直线B′C′所夹的锐角为60°;

(2)由已知条件得θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝60°.由直角三角形中, 30°锐角所对的直角边等于斜边的一半得n＝

AB?＝2. AB(3) 由已知条件得θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°.再由两角对应相等,证得△ABC∽△B′BA,由相

19

似三角形的性质求得n＝【答案】(1) 3;60°.

B?C?1?5＝. BC2(2) ∵四边形ABB′C′是矩形,∴∠BAC′＝90°. ∴θ＝∠CAC′＝∠BAC′－∠BAC＝90°－30°＝60°. 在Rt△ABB′中，∠ABB′＝90°, ∠BAB′＝60°, ∴n＝

AB?＝2. AB(3) ∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC′∥BB′,又∵∠BAC＝36° ∴θ＝∠CAC′＝∠ACB＝72°

∴∠C′AB′＝∠ABB′＝∠BAC＝36°,而∠B＝∠B, ∴△ABC∽△B′BA,∴AB2＝CB·B′B＝CB·(BC+CB′), 而CB′＝AC＝AB＝B′C′, BC＝1, ∴AB2＝1·(1+AB) ∴AB＝

1?5,∵AB＞0, 2∴n＝

B?C?1?5＝. BC2【点评】本题是一道阅读理解题.命题者首先定义了一种变换,要求考生根据这种定义解决相关的问题. 读懂定义是解题的关键所在.

本题所涉及的知识点有相似三角形的面积比等于相似比的平方,黄金比等.

8：【解析】本题是信息给予题，题目中已经把相关概念进行阐述，按照给出的定义题就可以。（1）已知O(0,0)和P(x,y)利用定义可知

（2）由d(P0，Q)=x0-x+y0-(ax+b)， d(O，P)=0-x+0-y=x+y=1；

则d(M，Q)=2-x+1-y=2-x+1-（x+2）=x-2+x+1利用绝对值的几何意义可以求出点M（2,1）到直线y=x+2的直角距离为3. 【答案】解：（1）有题意，得x+y=1，

所有符合条件的点P组成的图形如图所示。

（2）∵

d(M，Q)=2-x+1-y=2-x+1-（x+2）=x-2+x+1

20

∴x可取一切实数，x-2+x+1表示数轴上实数x所对应的点到数2和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3.

∴M（2,1）到直线y=x+2的直角距离为3.

【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力和现学现用的及时应用能力。这是中考的发展的大趋势。

9：【解析】本题考查了函数等知识．掌握和理解阅读材料是解题的关键.（1）通过阅读发现x+

a≥2a（当x=2a时取等号）．然后运用结论解决问题； xa≥2a，运用结论解决. x（2）构造x+

（3）解决实际问题.

【答案】直接应用1,2

y2(x?1)2?4y4变形应用=≥4，所以2的最小值是4，此时?(x?1)?x?1x?1y1y1x+1=x=1.

4,(x+1)2=4， x?1实际应用

设该汽车平均每千米的运输成本为y，则y=360+1.6x+0.01x2，当x=8时，y有最小值，最低运输成本是424（元）.

【点评】数学的建模思想是一种重要的思想，能体现学生综合应用能力，具有

一定的挑战性，特别是运用函数来确定最大（小）值时，要运用配方法得到函数的最小值. 10：【解析】（1）连接AD，由∵AB是直径得∠ADB=90°及等腰三角形的三线合一性质得出BD＝DC

（2）由∠BAD=∠CAD得弧BD=弧DE，得BD=DE，得出∠DEC=∠DCE=75°，所以∠EDC=30°，BP∥DE，∴∠PBD=∠EDC=300，∴∠OBP=∠OPB=75°-30°=45°，∴∠BOP=90°

（3）要证CP是⊙O的切线即证OP⊥CP，在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴

OG1?AG2又∵

OPOP1OPOGOGGP??，∴??，∴又∵∠AGO=∠CGP∴△AOG∽△CPGACAB2ACAGAGGC得∠GPC=∠AOG=90°得证结论成立.

【答案】（1）BD=DC……………………………………1分

连结AD，∵AB是直径,∴∠ADB=90°……………………………………………2分

21

∵AB=AC，∴BD=DC……………………………………………………………3分

AOGPEBDC

（2）∵AD是等腰三角形ABC底边上的中线 ∴∠BAD=∠CAD ∴弧BD与弧DE是等弧，

∴BD=DE……………4分

∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE ∵△ABC中，AB=AC，∠A=30° ∴∠DCE=∠ABC=

1(180°－30°)=75°，∴∠DEC=75° 2∴∠EDC=180°－75°－75°=30°

∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°……………………………5分 ∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=75°－30°=45°

∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90° …………6分 （3）证法一：设OP交AC于点G，则∠AOG=∠BOP =90°

AOPHEBDC

在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴

OG1?………………7分 AG2又∵

OPOP1OPOGOGGP??，∴??，∴ ACAB2ACAGAGGC又∵∠AGO=∠CGP

∴△AOG∽△CPG…………………………………8分

∴∠GPC=∠AOG=90°∴CP是⊙O的切线………………………9分 证法二：过点C作CH⊥AB于点H，则∠BOP=∠BHC=90°，∴PO∥CH 在Rt△AHC中，∵∠HAC=30°，∴CH?22

1AC………………7分 2

又∵PO?11AB?AC，∴PO=CH，∴四边形CHOP是平行四边形 22∴四边形CHOP是矩形……………………………8分 ∴∠OPC=90°，∴CP是⊙O的切线………………………9分

【点评】本题属于几何知识综合运用题，主要考查了等腰三角形的三线合一性质及常用辅助线、三角形相似判定、圆的性质及圆切线的判定等知识．解答此类题应具备综合运用能力，包括知识综合、方法综合以及数学思想的综合运用，能较好地区分出不同数学水平的学生，保证区分结果的稳定性，从而确保试题具有良好的区分度，进而有利于高一级学校选拔新生．难度较大．

11：【解析】（1）根据题意求解一元二次方程即可；（2）根据题意建立勾股定理模型，通过计算验证它是否符合题意；（3）在假设结论成立的条件下，建立一元二次方程模型，看看方程是否有实数解即可 ．

【答案】解：（1）(x?0.7)2?22?2.52， 0.8，－2.2（舍去），0.8. （2）①不会是0.9米.

若AA1=BB1+0.9，则A1C=2.4－0.9－1.6，A1C－0.7+0.9=1.6

222 1.5?1.6?4.81，2.5?6.25.

∵A1C2+B1C2≠A1B12，∴该题的答案不会是0.9米. ②有可能.

设梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，脚梯子顶端从A 处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等.

【点评】这是一道实际应用题，解答本题的关键是借助勾股定理将实际问题转化为一元二次方程问题来求解.．

12：解析：（1）、（2）两问，用十字相乘法即可解决问题；（3）中的第①个问题，只要说明档x=0或y=0时，对应的函数值或自变量的值是一个常数即可，注意要分m=0和m≠0两侦破那个情况讨论；第②小题也要根据m的值的不同情况进行分类讨论. 答案：解：（1）由x2－2x－3＝0，得（x+1）(x－3)=0∴x1=1,x2=3

（2）：由mx2+(m－3)x－3=0得（x+1）·(mx－3)=0

∵m≠0, ∴x1=－1,x2=

3 m23

（3）①1°当m=0时，函数y= mx2+(m－3)x－3为y=－3x－3，令y=0,得x=－1

令x=0,则y=－3. ∴直线y=－3x－3过定点A（－1,0）,C（0，－3） 2°当m≠0时，函数y= mx2+(m－3)x－3为y=（x+1）·(mx－3)

∴抛物线y=（x+1）·(mx－3)恒过两定点A（－1，0）,C（0，－3）和B（

3，0） m②当m>0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（－1，0）,C（0，－3）和 B（

3，0）， ?1分 mAOCO? COBO观察图象，可知，当⊿ABC为Rt⊿时， 则⊿AOC∽⊿COB∴∴OC2?OA?OB∴32=1×OB

∴OB=9.即B(9,0) ∴当0?当m>

31?9.即：m＞

3m1时，⊿ABC为锐角三角形 31时，则B点在（9,0）的右边时，∠ACB>90o, 3观察图象可知 当0

当m<0且m≠－3时，点B在x轴的负半轴上，B与A不重合. ∴⊿ABC中的∠ABC>90o ∴⊿ABC是钝角三角形. ∴当0

1或m<0且m≠－3时， 3⊿ABC为钝角三角形 ????2分 点评：本题综合考查了十字相乘法的因式分解、二次函数的图象和性质、相似三角形的性质等.考查了学生综合运用数学知识和数形结合思想、分类讨论思想、函数的思想和方程的思想等多种数学思想方法来解决问题的能力. 其中两处分类讨论，就可以将中下层面的学生拒之题外.难度较大.

24

2012年全国各地中考数学模拟试卷分类汇编

阅读理解型问题

一、选择题

1、2012年山东潍坊二模）甲、乙两个工程队完成某项工程,首先是甲单独做了10天,然后乙队加入合做,完成剩下的全部工程（工程进度满足如图所示的函数关系）.?如果整项工程由甲、乙合做完成，共需要

A.24天 B.40天 C.60天 D.18天 2、（2012江苏省无锡市期中）国际上通常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人 民的生活水平的状况，它的计算公式：n?x（x：家庭食品支出总额；y：家庭消费支出总

y额）。各种家庭类型的n如下表：

家庭类型 n 贫困 n>60% 温饱 50%< n≤60% 小康 40%< n≤50% 富裕 30%< n≤40% 已知王先生居住地2008年比2003年食品价格上升了25%，该家庭在2008年购买食品 和2003年完全相同的情况下多支出2000元，并且y=2x+3600(单位：元)，则该家庭2003年属于 （ ）

A．贫困

B．温饱

C．小康

D．富裕

二、填空题

1、（2012四川乐山市市中区毕业会考）元代朱世杰所著的《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行

一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？” 请你回答：良马 天可以追上驽马．

2、有四张正面分别标有数字?2，?6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部

25

相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从

5?3x?2?x??中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组?22的解集中

??ax?b有且只有3个非负整数解的概率为 .

三、解答题

1、（2012年浙江一模）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点， 点P到两腰的距离分别为r1,r2，腰上的高为h，连结AP，则S?ABP?S?ACP?S?ABC即：

，

111AB?r1?AC?r2?AB?h ，?r1222（1）理解与应用

?r2?h．

如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：r1?r2?r3?3． （2）类比与推理

边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于 ； （3）拓展与延伸

若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1,r2,?rn，请问，如果是，请合理猜测出这个定值。 r1?r2??rn是否为定值（用含n的式子表示）

AAh r1Pr3hr2r2 r1CCB BP2、（2012年浙江绍兴八校自测模拟）阅读理解： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （1）问题解决：

受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE

26

⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．

①求证：BE+CF＞EF；

②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明； （2）问题拓展：

如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 3、（2012年浙江绍兴县一模）如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值. （1）请你帮小萍求出x的值.

(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题： 如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）

第3题

4、（广东省2012初中学业水平模拟三）阅读材料，解答问题． 阅读材料：如图①，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定． （1）这里所运用的几何原理是（ ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短

（2）如图②是图①中窗子开到一定位置时的平面图，若?AOB?45，

27

?

图① 图②

（结果保留根号） ?OAB?30?,OA=60cm，求点B到边OA的距离．

5、（福建晋江市2012初中学业质检题）已知小明骑车和步行的速度分别为240米/分、80

米/分，小红每次从家步行到学校所需时间相同．请你根据小红和小明的对话内容（如图）， 解答如下问题：

若设小明同学从家到学校的路程为x米，小红从家到学校所需时间是y分钟． (1) 填空：小明从家到学校的骑车时间是＿＿分钟，步行时间是＿＿＿分钟（用含x的 代数式表示）；

(2) 试求x和y的值.

6、（2012江苏南京市白下区一模）概念理解

把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“剖分——重拼”．如图1，一个梯形可以剖分——重拼为一个三角形；如图2，任意两个正方形可以剖分——重拼为一个正方形．

图1 图2

（第28题） 尝试操作

如图3，把三角形剖分——重拼为一个矩形．（只要画出示意图，不需说明操作步骤） （第28题图3）

阅读解释

如何把一个矩形ABCD（如图4）剖分——重拼为一个正方形呢？操作如下：

①画辅助图．作射线OX，在射线OX上截取OM＝AB，MN＝BC．以ON为直径作半圆，过点M作MI⊥射线OX，与半圆交于点I；

②图4中，在CD上取点F，使AF＝MI ，作BE⊥AF，垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH的位置，把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置，得四边形EBHG． 请说明按照上述操作方法得到的四边形EBHG是正方形．

G

I

D

E A 图4

B O

M 辅助图

N X F C H

28

拓展延伸

任意一个多边形是否可以通过若干次的剖分——重拼成一个正方形？如果可以，请简述操作步骤；如果不可以，请说明理由．

7、2012四川夹江县模拟）随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资.尹进2008 年的月工资为2000 元，在2010 年时他的月工资增加到2420 元，他2013年的月工资按2008 到2010 年的月工资的平均增长率继续增长. (1)尹进2013年的月工资为多少?

(2)尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2013年6 月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2013年6月份的月工资少了242 元，于是他用这242 元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书? 答案：

8、（2012年北京门头沟一模）阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，

yDC∠EAF=45°，连结EF，求证：DE+BF=EF．

ADEADEADEOB图4xBF图1CGBF图2CBC图3

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF． 请回答：在图2中，∠GAF的度数是 ．

参考小伟得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°，DE=4，则BE= ．

29

yADEADDCEAGBF图2CB图3COB图4x （2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一动点，且点A（?3，2），连结AB和AO，并以AB为边向上作正方形ABCD，若C（x，y），试用含x的代数式表示y，则y= ． 9、（2012北京市延庆县初三一模）如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC > AD

下面的证法供你参考：

把?ACD绕点A瞬时间针旋转60得到?ABE，连接ED， 则有?ACD??ABE,DC=EB ∵AD=AE,?DAE?60

∴?ADE是等边三角形 ∴AD=DE

在?DBE中，BD+EB > DE 即：BD+DC>AD 实践探索：

（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：

如图2，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）， 求证：BD+DC>2AD

B

??AABCD图2

C图3 30

D

（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？ 直接写出结论． 创新应用：

（3）已知：如图3，等腰△ABC中， AB=AC，且∠BAC=?（?为钝角）， D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC =180o， BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．10、（2012江苏江阴华士片九年级下期中检测，27,10分）（1）如图1，在正方形ABCD中， O为正方形的中心，∠MON绕着O点自由的转动，角的两边与正方形的边BC、CD交于E、 F．若∠MON=90°，正方形的面积等于S．求四边形OECF的面积．（用S表示）下面给出 一种求解的思路，你可以按这一思路求解，也可以选择另外的方法去求．

解：连结OB、OC．∵O为正方形的中心，∴∠BOC=

360=90°， 4∵∠MON=90°∴∠FOC+∠EOC =∠EOB+∠EOC =90°．∴∠FOC=∠EOB

（下面请你完成余下的解题过程）

AAODNFBEM图2 图 1FONBEMCC 图 2（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,O是△ABC的中 心，∠MON=120°，正三角形ABC的面积等于S．求四边形OECF的面积．（用S表 示）

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，正n边形的面积等 于S．请你作出猜想：当∠MON= °时，四边形OECF的面积= （用S表示， 并直接写出答案，不需要证明） 11、（2012江苏省无锡市期中）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60 °方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向， 测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向， 请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.

北 M

北

东 C

西 东 A 12、金银花自古被誉为清热解毒的良药，同时也是很

31

多高级饮料的常用原料．“渝蕾一号”为重庆市中药研究院所选育的金银花优良品种，较传统金银花具有质量好、产量高、结蕾整齐等优点．某花农于前年引进一批“渝蕾一号”金银花种苗进行种植，去年第一次收获．因金银花入药或作饮料需要使用干燥花蕾，该花农将收获的新鲜金银花全部干燥成干花蕾后出售．根据经验，每亩鲜花蕾产量y（千克）与每亩种苗数x（株）满足关系式：y??0.1x2?24.15x?440，每亩成本z（元）与每亩种苗数x（株）之间的函数关系满足下表： 每亩种苗数x（株） 每亩成本z（元） 100 1800 110 1860 120 1920 130 1980 140 2040 （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，求 出z与x的函数关系式；

（2）若该品种金银花的折干率为20%（即每100千克鲜花蕾，干燥后可得20千克干花 蕾），去年每千克干花蕾售价为200元，则当每亩种苗数x为多少时，每亩销售利润W可获得最大值，并求出该最大利润；（利润=收入?成本）

（3）若该花农按照（2）中获得最大利润的方案种植，并不断改善养植技术，今年每亩 鲜花蕾产量比去年增加2a%．但由于市场上同类产品数量猛增，造成每千克干花蕾的售价比去年降低0.5a%，结果今年每亩销售总额为45810元．请你参考以下数据，估算出a的整数值（0?a?10）．

（参考数据：5?2.24，6?2.45，7?2.65，8?2.83）

13：得到解决．

（1）请你回答：图中BD的长为 ；

（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．

A A

图① 图②

14．（2012北京市大兴区）阅读下列材料：

BDCBDC小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC中，∠BAC=120°,∠ABC=40°，试过△

ABC的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形. 他的做法是：如图2，首先保留最小角∠C，然后过三角形顶点A画直线交BC于点D. 将

∠BAC分成两个角，使∠DAC=20°，△ABC即可被分割成两个等腰三角形. 喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三

32

角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形. 他的做法是：

如图3，先画△ADC ，使DA=DC，延长AD到点B，使△BCD也是等腰三角形，如果DC=BC，那么∠CDB =∠ABC，因为∠CDB=2∠A，所以∠ABC= 2∠A．于是小明得到了一个结论： 当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．

请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）．

2012年全国各地中考数学模拟试卷分类汇编

阅读理解型问题

一、选择题 1：答案：A 2：答案;C 二填空题 1：答案：20 2：答案：三简答题

1：答案：（每小题4分，共12分）

（1）分别连接AP，BP，CP，由S?ABP?S?BCP?S?ACP?SA?BC求得等边三角形边的高为3，即可.

33

1 6可证得r1?r2?r3?h，再

（2） 4.

1800（3） ntan(90?)

n02：答案：（1）①延长FD至G，使DG＝DF，连结BG、EG 则由BD＝CD，∠BDG＝∠CDF知，△BDG≌△CDF ∴ BG＝CF，∠ DBG＝∠C 又∵ DE⊥DF，DG＝DF ∴ EF＝EG

在△BEG中，BE+BG>EG，即BE+CF>EF. ②当∠A＝90°时，则∠ABC+∠C＝90°.

由①知 ∠ABC+∠GBD＝∠ABC+∠C＝90° 即∠EBG＝90° ∴ BE2+BG2＝EG2，即BE2+CF2＝EF2 （2）BE+CF＝EF.

延长AB至G，使BG＝CF，连结GD.

∵ ∠ABD+∠C＝180°，∠ABD+∠DBG＝180° ∴ ∠DBG＝∠C 又DB＝DC

∴ △BDG≌△CDF ∴ DG＝DF，∠BDG＝∠CDF ∵ ∠BDC＝120°，∠EDF＝60°

∴ ∠BDE+∠CDF＝60° ∴∠BDE+∠BDG＝60° 即∠GDE＝∠FDE＝60° ∵ DE＝DE ∴ △GDE≌△FDE

∴ EF＝EG＝BE+BG＝BE+CF.

3：答案：（1）根据对称的性质可得：BE=BD=2，CF=CD=3，

设AD=x，则正方形AEGF的边长是x，则BG=EG－BE=x－2，CG=FG－CF=x－3， 在直角△BCG中，根据勾股定理可得：（x－2）2+（x－3）2=52，解得：x=6； （2）作GM⊥EF于点M．

根据对称的性质可得：AE=AF=AD=4， ∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠DAC， 又∵∠BAC=30°，

34

∴∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴EF=AE=4，∠AEF=∠AFE=60°， ∴∠GEF=∠GFE=30°， 则EG=GF， ∴EM=

143EF=2，∴EG=， 23∴△BGC的周长是：BG+GC+BC=BG+GC+BD+CD=BG+GC+BE+CF=2EG=4：答案：（1）A -----------------2分

83． 3

(2)解；过点B作BC⊥OA于点C，设BC=x, ∵∠BOA=45°, ∠BA0=30°, ∴OC=x, AC=3x,则

X+3x=60 X=303-30

∴点B到边OA的距离为（303-30）cm.-------------------6分

5：答案：（1）

;

(2)依题意得：

解得，经检验，符合题意

答：x和y的值分别为720、7 6：解：尝试操作 答案不唯一，如：

35

或 等．???????2分

阅读解释

在辅助图中，连接OI、NI． ∵ON是所作半圆的直径， ∴∠OIN＝90°． ∵MI⊥ON，

∴∠OMI＝∠IMN＝90°且∠OIM＝∠INM． ∴△OIM∽△INM．

OMIM ∴＝ ．即IM2＝OM·NM．?????????????????3分

IMNM 在图4中，根据操作方法可知，AF2＝AB·AD． ∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AF， ∴DC∥AB，∠ADF＝∠BEA＝90°． ∴∠DFA＝∠EAB．∴△DFA∽△EAB．

ADAF

∴＝ ．即AF·BE＝AB·AD．（注：用面积法说明也可．）????4分

BEAB ∴AF＝BE．???????????????????????????5分

即BH＝BE．

由操作方法知BE∥GH，BE＝GH．

∴四边形EBHG是平行四边形． ∵∠GEB＝90°，

∴四边形EBHG是正方形．????????????????????6分

拓展延伸

可以．采用以下剖分——重拼步骤：

（1）将多边形剖分为若干三角形； （2）每个三角形剖分——重拼为一个矩形； （3）每个矩形剖分——重拼为一个正方形；

（4）每两个正方形剖分——重拼为一个正方形．???????????10分

7：解：（1）设尹进2008到2010年的月工资的平均增长率为

x，则：

2000(1?x)2?2420． ??????????2分

36

解 之得：x1?0.1，x2??2.1， ????????3分 ∵x2??2.1与题意不合，舍去）．

∴尹进2013年的月工资为2420×(1＋0.1)=2662元．????4分 （2）设甲工具书单价为

a元，第一次选购m本．

n本．则由题意，得：

设乙工具书单价为b元，第一次选购

①?a?b?242?② ??????????7分 ?bm?an?2662?am?bn?2662?242③?由②＋③，整理得，(a?b)(m?n)?2?2662?，24 ????? 8分

将①代人上式，得：m?n?21． ??????????9分 ∴总共捐献工具书的本数为：m?n+2?23．

答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本．?????????10分 8：答案：解： 45° …………………………………..1分 （1）

58 ……………………………………2分 7（2）y?x?1………………………………..4分 9：答案：

（1）证明：把?ACD绕点A瞬时针旋转90得到?ABE，连接ED，------1分 则有?ACD??ABE,DC=EB

∵AD=AE,?DAE?90∴?ADE是等腰直角三角形 E??A∴DE=2AD ------------------2分 在?DBE中，BD+EB > DE

即：BD+DC>2AD ------------------- 3分 （2）BD+DC≥2AD ---------4分 （3）猜想1：BD+DC〈2AD

证明：把?ACD绕点A顺时针旋转?，得到?ABE 则有?ACD??ABE, DC=EB，∠ACD=∠ABE ---------5分 ∵∠BAC+∠BDC=180 o∴∠ABD+∠ACD=180 o

37

BDCAEBCD

∴∠ABD+∠ABE=180 o

即：E、B、D三点共线---------6分 ∵AD=AE, 在?ADE中∵AE+AD>DE 即BD+DC〈2AD ---------------------7分 或者猜想2：

?AED是等腰三角形

由全等可得：?CAD=?BAE??EAD=α过A作AF?DE于F点α11则?EAF=,DF=DE=(BE+BD)222α在RtAFD中，DF=AD?sin21α即：(BE+BD)=AD?sin22说明：如有不同解法，参照给分． 10：答案：

27.(本题题满10分（)1）?O为正方形ABCD的中心??OCF??OBE?45?,OB?OC ??FOC??EOB ??OBE??OCF.....2'?S?FOC?S?OEC?S?EOB?S?OEC11S?S四边形OECF?S..................4'44 (2)?O为正三角形ABC的中心??OCF??OBE?30?,OB?OC,?BOC?120? 即S四边形OECF?S?BOC?S?BOC? ??FOC??EOC??EOB??EOC ??FOC??EOB ??OBE??OCF..6' ?S?FOC?S?OEC?S?EOB?S?OEC 即S四边形OECF?S?BOC?S?BOC? ?S四边形OECF?1S31S.....................................................................................8'3360?S （3）..............9' .............10'nn11：答案

解：过M作MN⊥AC，此时MN最小

38

AN＝1500米…

12：答案：.解：（1）由表格知，z为x的一次函数，设z?kx?b（k?0）

∵当x?100时，z?1800；当x?110时，z?1860

?100k?b?1800?k?6 ∴? 解得?

110k?b?1860b?1200?? ∴z?6x?1200 …………1分 当x?100时，z?1800

经检验，表格中每组数据均满足该关系式

∴该函数关系式为z?6x?1200 …………2分 （2）由题意知，W?200?20%y?z …………3分

?200?20%(?0.1x2?24.15x?440)?(6x?1200)

??4x2?960x?18800 ??4(x?120)2?38800 ∵?4?0

∴当x?120时，W最大?38800

∴当每亩种苗数为120株时，每亩销售利润W可获得最大值，最大利润为

38800元．

…………6分 （3）当x?120时，z?1920

∴y?(38800?1920)?(200?20%)?1018 …………7分 根据题意有20%?1018(1?2a%)?200(1?0.5a%)?45810 …………8分

2 设a%?m，则原方程可化为8m?12m?1?0

解得 m? ∴m1?12?473?73?2.65 ??16443?2.653?2.65?1.4125，m2??0.0875 44∴a1?100m1?141.25?10（舍去） a2?100m2?8.75?9

39

∴a的值约为9． …………10分

13：解：（1）BD?22. ??????????????????????????2分

（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，

∴△ADC≌△AEC.

∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC. ∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°， ∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.

∴△CDE为等边三角形. ????????3分 ∴DC＝DE.

在AE上截取AF＝AB，连接DF， ∴△ABD≌△AFD. ∴BD＝DF.

在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°， ∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°. ∴∠AFD =105°. ∴∠DFE=75°. ∴∠DFE=∠DEF. ∴DF＝DE.

∴BD＝DC＝2. ?????????????????????????4分 作BG⊥AD于点G， ∴在Rt△BDG中， BG?BDCGAFE2. ?????????????????5分

∴在Rt△ABG中，AB?22. ?????????????????6分

14：结论1：当三角形中的两个内角互余时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割

成两个等腰三角形. ????????????????2分

结论2：当三角形中有一个角是另一个角的3倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一

条直线分割成两个等腰三角形.???????????5分

.

40

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