四川省南充高中2013届高三第十一次月考理科数学试卷

南充高中2013届高三第十一次月考

数 学 试 卷（理科）

命、审题人：尹怀前 赵兴俊

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的） 1．a为正实数，为虚数单位， A．2

a?i?2，则a=（ ） i

C．2

D．1

B．3

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝（ ） A．－e

B．－1

C．1 B．?q是真命题 D．?p∧?q是真命题

B．若a⊥α，b∥a，b?β，则α⊥β D．若a∥α，a∥β，则α∥β

D．e

3．已知命题p：?x∈R，9x2－6x＋1>0；命题q：?x∈R，sinx＋cosx＝2，则（ ） A．?p是假命题 C．p∨q是真命题

4. 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b C．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b 果是（ ） A．9

B．3

C．3

1 D． 9

5．如果执行右边的程序框图，输入x＝－12，那么其输出的结

b≥a，??

6．设变量a，b满足约束条件：?a＋3b≤4，

??a≥－2.

1m

小值为m，则函数f(x)＝x3＋x2－2x＋2的极小值等于（ ）

3164

A．－

3

1

B．－ C．2

6

19 D．

6

若z＝a－3b的最

7. 将A、B、C、D四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A、B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（ ） A．15 B．18

C．30

D．36

8．半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△ABC，△ACD，△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为（ ） A．8 B．16 C．32 D．64 9．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩， 其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的

1 / 8

概率为（ ）

274A． B． C．

5105

9

D．

10

10．已知点F?0,1?，直线：y??1，P为平面上的动点，过点P作直线的垂线，垂足为Q，

????????????????且QP?QF?FP?FQ，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D?0,2?，圆心M在轨迹C上

运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设DA?l1，DB?l2，则

l1l2

（ ） ?的最大值为

l2l1

一、2 B．3 C． 22 D．32 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷中的横线上.） 11．若(x?1n)展开式的二项式系数之和为64，则展开式的 x常数项为 ．

12．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为

．

13．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，

并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 种． 14．过抛物线y?4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，

设

2AF?m,BF?n,则的最小值为 ．

2m?n15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是

_____________（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k与b都是无理数，则直线y?kx?b不经过任何整点； ③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点；

④直线y?kx?b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线.

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 16．（本小题满分12分）

已知函数y?sin4x?23sinxcosx?cos4x， （1）求该函数的最小正周期和最小值； （2）若x??0,??

17．（本小题满分12分）

2012年我市举办科技创新大赛，共有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：

2 / 8

，

求该函数的单调递增区间.

y 作品数量 x 创 新 性 1分 2分 3分 4分 5分 1分 1 1 2 1 0 2分 3 0 1 实 用 性 3分 1 7 0 6 1

4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3 b 0 a 3

现从这50件科技作品中任选一件，

（1）求取得的作品其“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （2）若取得的作品其“实用性”得分的数学期望为 18．（本小题满分12分）

如下图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC＝4，EA＝3，FC＝1. （1）证明：EM⊥BF；

（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

19．（本题满分12分）

设数列?an?的前n项和为Sn?3an?3n?1. （1）证明：?an?1?167，求表中a、b的值． 50??3?an?为等比数列； 2? （2）证明：求数列?an?的通项公式； （3）确定

20.（本小题满分13分）

3 / 8

Sn6n与的大小关系，并加以证明. n2n?13

已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中： x y 3 ?2 0 4 2 2 2?23 ?4 （1）求C1、C2的标准方程；

（2）若过曲线C1的右焦点F2的任意一条直线与曲线C1相交于A、B两点，试证明在x轴上

????????存在一定点P，使得PA?PB的值是常数，并求出点P的坐标和该常数值.

21.（本题满分14分）

已知函数f(x)?12x?alnx,g(x)?(a?1)x(a??1),H(x)?f(x)?g(x). 2 （1）若函数f(x)、g(x)在区间[1，2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；

（2）?、?是函数H（x）的两个极值点，?

南充高中高2010级高三第十一次月考（理科数学）参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C D C A C C 9 C 10 C

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11. 20 ; 12. 8＋3＋7; 13. 192; 14.

; 15. ①③⑤

3?22三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）

16.（本小题满分12分

???44y=3sin2x?sinx?cosx=3sin2x?cos2x=2sin2x????? 解：（1）6?? 所以 T??,ymin （2）令2k?- ???? 4分

??2 ???? 6分

?2k??,k?Z，则k?-?x?k??,k?Z ??? 8分26263??5?4?令k?0,1，得到x?[-,]或x?[,]，

???? 10分6363?5?与x?[0,?]取交集, 得到x?[0,]或x?[,?],

36?2x? 4 / 8

?????

????5??所以，当x?[0,?]时，函数的递增区间是?0，?和?，??

???? 12分?3??6?.

17.（本小题满分12分）

解：（1）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件， ∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为

6?0.12．4分

????50（2）由表可知“实用性”得分y有分、2分、3分、4分、5分五个等级，

且每个等级分别有5件，b?4件，15件，15件，a?8件．5分

????

∴“实用性”得分y的分布列为：

y 5 502 b?4 503 15 504 15 505 a?8 50p

又∵“实用性”得分的数学期望为167，

505b?41515a?8167． 10分 ?2??3??4??5??????505050505050∵作品数量共有50件，∴a?b?3

解得a?1，b?2． 12分

????

18.（本小题满分12分）

解：方法一 (1)证明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM. 又∵BM⊥AC，EA∩AC＝A， ∴BM⊥平面ACFE. 而EM?平面ACFE. ∴BM⊥EM.

∵AC是圆O的直径，∴∠ABC＝90°. 又∵∠BAC＝30°，AC＝4，

∴AB＝23，BC＝2，AM＝3，CM＝1.

∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴FC⊥平面ABC. 又FC＝CM＝1，AM＝EA＝3，

∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形． ∴∠EMA＝∠FMC＝45°. ∴∠EMF＝90°，即EM⊥MF.

∵MF∩BM＝M，∴EM⊥平面MBF.

而BF?平面MBF，∴EM⊥BF.

???? 5分

(2)解：延长EF交AC的延长线于G，连接BG，过点C作CH⊥BG，连接FH. 由(1)知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC， ∴FC⊥BG.

而FC∩CH＝C，∴BG⊥平面FCH. ∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG.

∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角． 在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AC＝4， ∴BM＝AB·sin30°＝3. FCGC1

由＝＝，得GC＝2. EAGA3

∴1?∵BG＝BM2＋MG2＝?3?2＋32＝23， 又∵△GCH∽△GBM，

5 / 8

GCCHGC·BM2×3＝，则CM＝＝＝1. BGBMBG23

∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC＝45°. ∴

∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

2

. 2???? 12分

方法二 (1)证明：因为AC是圆O的直径，所以∠ABC＝90°，又∠BAC＝30°，AC＝

4，所以AB＝23，而BM⊥AC，易得AM＝3，BM＝3.如图，以A为坐标原点，垂 直于AC的直线，AC、AE所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由已知条件 得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(3，3,0)，F(0,4,1)， ∴＝(0，－3,3)，＝(－3，1,1)． 由·＝(0，－3,3)·(－3，1,1)＝0， 得⊥，∴EM⊥BF.

???? 5分

(2)解：由(1)知＝(－3，－3,3)，＝(－3，1,1)． 设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0，

?－3x－3y＋3z＝0，得? ?－3x＋y＋z＝0.

令x＝3得y＝1，z＝2，∴n＝(3，1,2)．

由已知EA⊥平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为＝(0,0,3)． 设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，

|3×0＋1×0＋2×3|2

则cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝.

23×22???? 12分

19.（本小题满分12分）

解：（1）Sn?3an?3n?1得Sn?1?3an?3n?1，

相减得Sn?1?Sn?3an?1?3an?3n?2?3n?1，

???? 2分即an?1?

33an?3n?1，故an?1?an?3n?1。

223?故数列??an?1?an?为首项是9、公比为3的等比数列。 ???? 4分

2?? （2）an?1?an?11an3an?11?an?，???1?2???2an?3n?1得n??， ?1nn?1n32?33232?n?1na131an111?????2??2??，故n?2?????????， 32232?2??2?n??1?n?n3??n所以an??2?????3?2?3???。 8分

??2?????? ?2???n?n?3?n?n?1??1?n?3??n?1n?1 （3）Sn?3?2?3?????3?3?3????3?1????，

?2???2?????2???????1??6n??1?n?Sn，即比较与的大小关系， 3?1?????3?1????n3????2???2n?1??2?????1?n??2n?16n2n?2n?(2n?1)， 3?1??????3?n??3??n2n?1?(2n?1)2??2??2???2n?1即比较2n与2n?1的大小。 10分

????

nn当n?1,2时，2?2n?1，当n?3时，2?2n?1。

6 / 8

n

n01n?1n01n?1因为当n?3时，2n?（1+1）?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?2n?1。

SnSn6n6n，当时，。 12分 ??n?3nn???? 332n?12n?13（也可用数学归纳法：当n?3时，2?8,2?3?1?7，8?7结论成立；

k设n?k(k?3)时结论成立，即2?2k?1，则当n?k?1时，

故当n?1,2时，

2k?1?2?2k?2(2k?1)?2(k?1)?2k?2(k?1)?1，即n?k?1时结论也成立。

n根据数学归纳法，对n?3，不等式2?2n?1成立。） 12分

????

20.（本小题满分13分）

2y 解：（1）设抛物线C，则有:y?2p(px?0)?2p(x?0)， 2x22据此验证4个点知（3，?23），（4，?4）在抛物线上，易求C.……2分 4x2:y?

222xy2设CC：，把点（2，0）,（，）代入得： ?12:2?2?(a?b?0)2ab22?4x?a?42?1?，解得?.∴方程为C?y?1. ……………………… 6分 ?a21?2?4??b?11?2??a2?2b2?1?x22（2）①当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y?k(x?3).联立?4?y?1，

??y?k(x?3)?2消元得 (1?4k2x)2?8k3x?21k2??4则 0,83k212k2?4 .……………………………………………… 8分 xA?xB?,xAxB?1?4k21?4k2????????设点P(t,0)，则PA?PB?(xA?t)(xB?t)?yAyB

?(k2?1)xAxB?(t?3k2)(xA?xB)?(3k2?t2)

212k2?4283k22?(k?1)?(t?3k)?(3k?t)

1?4k21?4k2t2?4?(11?83t?4t2)k2 .…………………………………10分 ?21?4k????????13t2?411?83t?4t22793k?RPA?PB?? 当即时，对任意， .…12分 ?,t??64148831②当AB?x轴时，直线AB的方程为x?3,xA?xB?3,yAyB??.

4????????9313若t?，则PA?PB?(xA?t)(xB?t)?yAyB??.

864????????9313,0)，使得PA?PB的值是常数?. .……………………13分 故存在x轴上的点P(8642

21.（本小题满分14分）

7 / 8

8 / 8

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