一道中考数学题的解法探讨

一道中考数学题的解法探讨

新丰县第三中学李建中

电话13112022978 邮编511100

【摘要】随着基础教育改革的深入,社会越来越重视学生的探索能力的培养,要求学生能在复杂变化的背景中观察和探索出一般规律。要让学生进行正确的数学计算，不仅要求学生对有关的数学概念、性质有透彻的理解，而且还要重视培养学生的观察能力，发现规律能力，模仿能力和思维方法能力，这也是对学生进行智能培养的重要环节。

【关键词】中考试题 探讨 培养 能力

数学是一门科学，学数学是锻炼一个人的思维品质，解数学题是一个人的观察能力，模仿能力，探究能力和思维方法的综合体显，数学中培养学生的数学思想是解探究题的关键，多年来我省中考试题都出现阅读探究题，如 2010年广东省初中毕业生学业考试数学试题，第五题第（21）小题从审题，分析，解题中引起我们的一些思考.。 一，题目的出现：

第五题第（21）小题如下： 21．阅读下列材料：

1312×3 = (2×3×4－1×2×3)，

313×4 = (3×4×5－2×3×4)，

31×2 = (1×2×3－0×1×2)，

由以上三个等式相加，可得

1×2＋2×3＋3×4= ×3×4×5 = 20．

读完以上材料，请你计算下列各题：

(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）； (2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) = _________；

(3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 = _________． 二．阅读材料分析：

由阅读材料：1×2 = (1×2×3－0×1×2)，

1313×4 = (3×4×5－2×3×4)，

313132×3 = (2×3×4－1×2×3)，

由以上三个等式相加，可得

1×2＋2×3＋3×4= ×3×4×5 = 20

可知：1×2＋2×3＋3×4 =(1×2×3－0×1×2) ＋(2×3×4－1×2×3)

131313 1

＋(3×4×5－2×3×4) 根据乘法分配律可得

=×1×2×3－×0×1×2＋×2×3×4－×1×2×3＋×3×4×5 －×2×3×4

第一加数与第四加数相加得0，第二加数为0，第三加数与第六加数相加得0，还剩下第五个加数。 = ×3×4×5 = 20

由阅读材料告诉我们规律；（1）前面的三个有序加数相加等于后面三组加数相加，并且每一组加数中系数都是，括号内的每个数字递增1。（2）把后面的三组加数按乘法分配律变为六组加数，(3)所得结果等于六组加数中倒数的第二组。

三，解题的思路与方法：

（1）题与上面阅读题比较，按我们总结出的规律，它应该等于

11(1×2×3－0×1×2)，等十组相加，并且最后一组加数是(10×11×12331－9×10×11)，根据乘法分配律再变为二十组加数，结果是倒数第二组

3131313131313131313×10×11×12

解:(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）

＝(1×2×3－0×1×2)＋ (2×3×4－1×2×3)＋(3×4×5－2×3×4)＋···＋(10×11×12－9×10×11) ＝×10×11×12

＝440

若没有分析总结出阅读题的规律，按运算顺序直接计算（1）题，那么计算量相当大，真是事半功倍。我们再来总结（1）题的规律；十个有序加数相加，结果等于×10×11×12，即×10×（10＋1）×(10＋2),如果二十个这样的有序加数相加，那么其结果等于×20×（20＋1）×(20＋2)，如果三十个，一百个，n个呢？我们解（2）题得：

（2）1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1) = n (n＋1)(n＋2)

解第（3）题，若用第（2）题的规律，较难得出简便方法，比较性也不强，所以我们还是拿第（1）题来做比较得出其演算规律，这样更为简便。

2

131313131313131313解法一：（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 = 6＋24＋60＋120＋210＋336＋504 =1260

解法二：（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 = ×(1×2×3×4-0×1×2×3) ＋×(2×3×4×5-1×2×3×4) ＋

1×(3×4×5×6-2×3×4×5) 41＋···＋×(7×8×9×10-6×7×8×9)

41=×7×8×9×10 41414=1260

本小题有其特殊性，也有其的普遍性，对比之下，我认为用解法一更稳当。用解法二是命题者的本意，体现创新精神。 四、解题后的思考：

类型题目的解法：

（内江市二00五年中考试题）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时 曾经研究过这样一个问题：

1+2+3+?+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+?

1+n?n?n?1?，其中ｎ是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×

23+?n?n?1?＝？

观察下面三个特殊的等式

11?2??1?2?3?0?1?2?

312?3??2?3?4?1?2?3?

313?4??3?4?5?2?3?4?

31将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝?3?4?5?20

3读完这段材料，请你思考后回答：

⑴1?2?2?3???100?101?

⑵1×2＋2×3＋3×4＋···＋n(n＋1)＝

⑶1?2?3?2?3?4???n?n?1??n?2?? （只需写出结果，不必写中间的过程）

这道题与上道是一样的，解这道题学生要能从1?2?2?3?1?2?3?4?1?2?3?，3?4?1?3?4?5?2?3?4?， 331?1?2?3?0?1?2?，3 3

1得出(1)1?2?2?3???100?101?343400或（×100×101×102），再发现归律

3求(2)1×2＋2×3＋3×4＋···＋n(n＋1)，

但是要求(3)1?2?3?2?3?4???n?n?1??n?2??？

1×(1×2×3×4-0×1×2×3) 41 2×3×4=×(2×3×4×5-1×2×3×4)

4 ???

1 n(n＋1)= ?n?n?1??n?2??n?3???n?1?n?n?1??n?2??

41求出1?2?3?2?3?4???n?n?1??n?2??n?n?1??n?2??n?3?

4通过解题给我们教学中的思考是解阅读题要注重以下四个环节：（1）阅读，（2）理解，（3）模仿，（4）创新，这也是新课标的教学思想。

（1）阅读：

阅读这一环虽简单也很重要的一步，不能马虎，必须认真，细致地阅读材料的全过程。

(2)理解：

这一环最关键的一步，如果没有理解材料的导向是无法运用其方法，思想去解题，所以，通过阅读以后，要认真分析材料，理解材料的解题方法，过程，及数学思想，结论，这样才能运用好材料解决问题。如上本例材料有一个重要结论：

111+2+3+?+n?n?n?1?，其中ｎ是正整数。1×2 = (1×2×3－0×1×2)，

23就要发现1×2×3=

2×3 = (2×3×4－1×2×3)，3×4 = (3×4×5－2×3×4)，以及变形的数学方法，三个等式相加等于20，这就是导向，要解决问题就必须按这个导向

去达到目的。因此在教学中引导学生找准导向。 （3）模仿:

模仿是按照一条件或例子的模式进行操作，这是对所形成的数学猜想等结果进行检验、论证，并不断接受实践的再检验及修正与完善的过程。这一时期是数学创造性思维活动的完善阶段。在这个阶段，主要运用集中思维和逻辑思维的方法。

在这道题中从1×2 = (1×2×3－0×1×2)，2×3 = (2×3×4－1×2×3)，

11331＋1) =〔n (n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)〕，进而想到1×2＋2×3＋3×4

311＋···＋n(n＋1)＝(1×2×3－0×1×2) ＋(2×3×4－1×2×3) ＋

33131313133×4 = (3×4×5－2×3×4)，想到4 ×5 =(4×5×6－3×4×5) ，乃至n(n

4

11(3×4×5－2×3×4) ＋···＋〔(n-1)n(n＋1)－(n－2)(n-1)n〕 331＋〔n (n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)〕 31= n (n＋1)(n＋2)

3（4）创新：

培养创新思维能力是数学教学的一个重要课题，体验探索发现新知的过程是新课改的重要理念.改造命题并解决命题是学习“再发现”，学会探究1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11进而学习创造1×2＋2×3＋3×4＋···＋n(n＋1)的一种途径.“再发现”，所以问题转化为1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9,.以上三例体现的过程与方法是：特例—猜想— 一 般化.

中考阅读题能充分体现“新课程”对学生发展的要求，会成为中考命题的热点，并且会有加强的趋势。作为教者要重视培养学生的阅读能力，理解能力，发现能力，创新能力。从重知识到重能力，再到重素质，这才是我们教好数学课的重要理念。

【参考文献】

[1]《2010年广东省初中毕业生学业考试数学试卷》 [2]义务教育课程标准实验教科书（人教版八、九年级数学）

[3]沃苏青。学习《数学课程标准》推进数学课程改革的实践与体会。

2010.·6·30

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h1w.html