高中数学第4讲用数学归纳法证明不等式章末复习课学案新人教A版选修451017317

- 1 - 高中数学第

4讲用数学归纳法证明不等式章末复习课学案

新人教A 版选修451017317

[自我校对] ①等式问题 ②证明不等式 ③贝努利不等式

归纳递推要用好归纳假设

证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n ＝k 时命题成立)，推出n ＝k ＋1时，命题成立．

【例1】 用数学归纳法证明：对于n ∈N ＋， 11·2＋12·3＋13·4＋…＋1n (n ＋1)＝n n ＋1

. [自主解答] (1)当n ＝1时，左边＝11·2＝12，右边＝12，所以等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立，即 11·2＋12·3＋13·4＋…＋1k (k ＋1)＝k k ＋1

， 当n ＝k ＋1时， 11·2＋12·3＋13·4＋…＋1k (k ＋1)＋1(k ＋1)(k ＋2)

＝k

k ＋1＋1(k ＋1)(k ＋2) ＝k 2＋2k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋1k ＋2

， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．

由(1)(2)可知对于任意的自然数n ，等式都成立．

- 1 - 1．数列??????1n (n ＋1)的前n 项的和记为S n . (1)求出S 1，S 2，S 3的值；

(2)猜想出S n 的表达式；

(3)用数学归纳法证明你的猜想．

[解] (1)S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34

. (2)猜想：S n ＝n

n ＋1.

(3)证明：①当n ＝1时S 1＝a 1＝12，右边＝12

.等式成立． ②假设当n ＝k 时，S k ＝k

k ＋1，

则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝k k ＋1＋1(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)2(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋1k ＋2＝k ＋1(k ＋1)＋1

， 即当n ＝k ＋1时，等式成立，

∴S n ＝n

n ＋1. 不等式证明中的强化命题

卡断思路，此时利用lim

n →∞g (n )＝c ，且g (n )

【例2】 证明不等式122＋132＋ (1)

2<1(n ≥2，n ∈N ＋)． [自主解答] 可先证明122＋132＋…＋1n 2<1－1n

(n ≥2)，(*) 对(*)运用数学归纳法证明：

(1)当n ＝2时，(*)显然成立．

(2)设n ＝k 时，不等式(*)成立，即122＋132＋…＋1k 2<1－1k

. 当n ＝k ＋1时，

122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1k (k ＋1)＝1－1k ＋? ????1k －1k ＋1＝1－1k ＋1

. 故当n ＝k ＋1时，不等式(*)成立．

根据(1)和(2)知，对n ∈N ＋且n ≥2，不等式(*)成立，故原不等式成立．

- 1 - 2．设0

＋a ， 求证：对一切正整数n ∈N ＋，有1

. [证明] (1)当n ＝1时，a 1＞1，a 1＝1＋a ＜11－a

，显然命题成立． (2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，命题成立，即1＜a k ＜11－a

. 当n ＝k ＋1时，由递推公式，知a k ＋1＝1a k

＋a ＞(1－a )＋a ＝1. 同理，a k ＋1＝1

a k ＋a ＜1＋a ＝1－a 2

1－a ＜11－a . 故当n ＝k ＋1时，命题也成立，即1＜a k ＋1＜11－a

. 综合(1)(2)可知，对一切正整数n ，有1＜a n ＜11－a . 从特殊到一般的数学思想方法

殊情况入手，猜想、探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法．

【例3】 已知数列{b n }是等差数列，且b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145.

(1)求数列{b n }的通项公式b n ；

(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ? ??

??1＋1b n (其中a ＞0，且a ≠1)，S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与13

log a b n ＋1的大小，并证明你的结论． [自主解答] (1)设数列{b n }的公差为d .由题意得

?????

b 1＝1，10b 1＋10(10－1)2d ＝145，解得????? b 1＝1，d ＝3， 故b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)由b n ＝3n －2知， S n ＝log a (1＋1)＋log a ? ????1＋14＋…＋log a ? ??

??1＋13n －2 ＝log a ????

??(1＋1)? ????1＋14…? ????1＋13n －2.

- 1 - 又13

log a b n ＋1＝log a 33n ＋1， 因此要比较S n 与13log a b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)·? ????1＋14…? ??

??1＋13n －2与33n ＋1的大小．

取n ＝1，有(1＋1)＞33·1＋1；

取n ＝2，有(1＋1)? ??

??1＋14＞33·2＋1. 由此推测(1＋1)? ????1＋14…? ??

??1＋13n －2＞33n ＋1. ①

若①式成立，则由对数函数性质可判定：

当a ＞1时，S n ＞13

log a b n ＋1； 当0＜a ＜1时，S n ＜13

log a b n ＋1. 下面用数学归纳法证明①式成立：

a ．当n ＝1时，已验证①式成立．

b ．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时①式成立，

即(1＋1)? ????1＋14…? ??

??1＋13k －2＞33k ＋1. 那么，当n ＝k ＋1时，(1＋1)? ????1＋14…1＋13k －2·? ????1＋13(k ＋1)－2＞33k ＋1? ??

??1＋13k ＋1＝33k ＋13k ＋1

(3k ＋2)． ∵?????

???33k ＋13k ＋1(3k ＋2)3－[33k ＋4]3 ＝(3k ＋2)3－(3k ＋4)(3k ＋1)2

(3k ＋1)2＝9k ＋4(3k ＋1)

2＞0， ∴3

3k ＋13k ＋1(3k ＋2)＞33k ＋4＝33(k ＋1)＋1. 因而(1＋1)? ????1＋14…? ????1＋13k －2? ??

??1＋13k ＋1＞33k ＋4＝33(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时①式成立．

- 1 - 由a ，b 知①式对任意正整数n 都成立． 由此证得：当a ＞1时，S n ＞13log a b n ＋1； 当0

＜a ＜1时，S n ＜13

log a b n ＋1.

3．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列．

(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；

(2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1

a n ＋

b n <512

.

[解] (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2

n ＋1＝b n b n ＋1.

由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2

.

用数学归纳法证明：

①当n ＝1时，由上可得结论成立．

②假设当n ＝k 时，结论成立，即

a k ＝k (k ＋1)，

b k ＝(k ＋1)2.

那么当n ＝k ＋1时，

a k ＋1＝2

b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)

＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2

k ＋1b k

＝(k ＋2)2

，

所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．

由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．

(2)证明：n ＝1时，1a 1＋b 1＝1

6<512

.

n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)n . 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1

a n ＋

b n <16＋1212×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1) ＝1

6＋12? ?

???1

2－13＋13－14＋…＋1n －1

n ＋1

＝16＋12? ?

???1

2－1n ＋1<16＋14＝5

12.

综上，原不等式成立．

- 1 - 1．已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ? ??

??1＋1n n a n ()n ∈N ＋，e 为自然对数的底数． (1)求函数f (x )＝1＋x －e x 的单调区间，并比较? ??

??1＋1n n 与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推测计算b 1b 2…b n a 1a 2…a n

的公式，并给出证明； (3)令c n ＝(a 1a 2…a n )1n

，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜e S n . [解] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x ，

当f ′(x )＞0，即x ＜0时，f (x )单调递增；

当f ′(x )＜0，即x ＞0时，f (x )单调递减．

故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． 当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，即1＋x ＜e x .

令x ＝1n ，得1＋1n ＜e 1n ，即? ????1＋1n n

＜e.(*1)

(2)b 1

a 1＝1·? ?

???1＋111

＝1＋1＝2；

b 1b 2

a 1a 2＝

b 1a 1·b 2a 2＝2·2? ????1＋12

2

＝(2＋1)2＝32；

b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1

a 2·

b 3a 3＝32·3? ?

???1＋133

＝(3＋1)3＝43.

由此推测：b 1b 2…b n

a 1a 2…a n

＝(n ＋1)n .(*2)

下面用数学归纳法证明(*2)．

①当n ＝1时，左边＝右边＝2，(*2)成立．

②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，(*2)成立，

即b 1b 2…b k a 1a 2…a k

＝(k ＋1)k

.

当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)? ????1＋1

k ＋1k ＋1

a k ＋1，

由归纳假设可得

b 1b 2…b k b k ＋1

a 1a 2…a k a k ＋1＝

b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k ·(k ＋1)·? ???

?1＋1k ＋1k ＋1＝(k ＋2)k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，(*2)也成立．

根据①②，可知(*2)对一切正整数n 都成立．

- 1 - (3)由c n 的定义，(*2)，均值不等式(推广)，b n 的定义及(*1)得

T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n

≤b 1

1×2＋b 1＋b 22×3＋b 1＋b 2＋b 33×4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b n n (n ＋1) ＝b 1??????11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＋b 2??? 12×3＋1

3×4

???＋…＋

1n (n ＋1)＋…＋b n ·1n (n ＋1) ＝b 1? ????1－1n ＋1＋b 2? ????12－1n ＋1＋…＋b n ? ??

??1n －1n ＋1 ＜b 11＋b 2

2＋…＋b n n ＝? ????1＋111a 1＋? ????1＋122a 2＋…＋? ????1＋1n n a n ＜e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n ， 即T n ＜e S n .

2．设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x >0，n ∈N ，n ≥2.

(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在? ??

??12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x n ＋1n ； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明．

[解] (1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n

－2，

则F n (1)＝n －1>0，

F n ? ????12＝1＋12＋? ????122＋…＋? ????12n －2 ＝1－? ????12n +11－12－2＝－12

n <0， 所以F n (x )在? ??

??12，1内至少存在一个零点． 又F n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1>0，故F n (x )在? ????12，1内单调递增，所以F n (x )在? ??

??12，1内有且仅有一个零点x n .

因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，

- 1 - 即1－x n ＋1n 1－x n －2＝0，故x n ＝12＋12

x n ＋1n . (2)法一：由题设，g n (x )＝(n ＋1)(1＋x n )2

. 设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n

－(n ＋1)(1＋x n )2，x >0. 当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．

当x ≠1时，h ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx

n －1－n (n ＋1)x n －12. 若0x

n －1＋2x n －1＋…＋nx n －1－n (n ＋1)2·x n －1＝n (n ＋1)2x n －1－n (n ＋1)2x n －1＝0. 若x >1，h ′(x )

综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )； 当x ≠1时，f n (x )

法二：由题设，f n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n

，

g n (x )＝(n ＋1)(x n ＋1)2

，x >0. 当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )．

当x ≠1时，用数学归纳法可以证明f n (x )

①当n ＝2时，f 2(x )－g 2(x )＝－12

(1－x )2<0， 所以f 2(x )

②假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即f k (x )

k ＋1＝(k ＋1)(1＋x k )2＋x k ＋1＝2x k ＋1＋(k ＋1)x k ＋k ＋12. 又g k ＋1(x )－

2x k ＋1＋(k ＋1)x k ＋k ＋12 ＝kx k ＋1－(k ＋1)x k ＋12，

令h k (x )＝kx k ＋1－(k ＋1)x k ＋1(x >0)，

则h k ′(x )＝k (k ＋1)x k －k (k ＋1)x k －1＝k (k ＋1)x k －1(x －1)．

所以当01时，h ′k (x )>0，h k (x )在(1，＋∞)上递增．

- 1 - 所以h k (x )>h k (1)＝0，

从而g k ＋1(x )>2x k ＋1＋(k ＋1)x k

＋k ＋12. 故f k ＋1(x )

所以a k ＝1＋(k －1)·x n －1n (2≤k ≤n )， b k ＝x k －1(2≤k ≤n )，

令m k (x )＝a k －b k ＝1＋(k －1)(x n

－1)n －x k －1

，x >0(2≤k ≤n )， 当x ＝1时，a k ＝b k ，所以f n (x )＝g n (x )． 当x ≠1时，m ′k (x )＝k －1n ·nx n －1－(k －1)x k －2

＝(k －1)x k －2(x n －k ＋1－1)．

而2≤k ≤n ，所以k －1>0，n －k ＋1≥1. 若01，x n －k ＋1>1，m ′k (x )>0， 从而m k (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增， 所以m k (x )>m k (1)＝0，

所以当x >0且x ≠1时，a k >b k (2≤k ≤n )． 又a 1＝b 1，a n ＋1＝b n ＋1，故f n (x )

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