2.5 圆锥曲线的统一定义

高中数学 选修2-1

姓名：宋锦芳 单位：江苏省靖江第一高级中学

复习回顾1.椭圆的定义： 平面内到两定点 F1,F2 距离之和等于常数 2a (2a>F1F2)的点的轨迹： 表达式 PF1+PF2=2a(2a>F1F2)2.双曲线的定义： 平面内到两定点 F1,F2距离之差的绝对值等于 常数 2a (2a<F1F2)的点的轨迹： 表达式 |PF1-PF2 |=2a(2a<F1F2) 3.抛物线的定义： 平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的 点的轨迹 ：表达式PF=d (d为动点到定直线距离)

列式 化简 代入 建系 设点

椭圆上的点满足PF1+PF2 为定值，设为2a,则2a>2c| PF1 |=

x + c x - c

y22

P( x , y )

+ y2

| PF2 |=

+ y2

则： x + c 2F+ -c ,2 0+O x - c c2 ,+ y 2 = 2a F2 0 x 1 y

x + c 2

2

+ y 2 = 2a -

x - c

2

+ y22 2

x + c + y 2 = 4a 2 - 4 a

x - c + y2 x - c + y22

a -cx=a2

x-c

+y

2

在推导椭圆的标准方程时，我们 曾经得到这样一个式子:

a cx a ( x c ) y2 22 2

2

( x c) y c 将其变形为 2 a a x c你能解释这个式子的几何意义吗?

结论 已知点P(x,y)到定点F ( c ,0)的距离与它到定直线l

c 数 (a c 0) ,点P的轨迹是 椭圆 a y P(x,y) l· F (c,0)

a2 x : c

的距离的比是常

O

x

a2 x c

c 常数 就是椭圆的离心率e (0,1). a

变题：若(a c 0)改为(c a 0)呢？

已知点P(x,y)到定点F(c,0)a2 x 的距离与它到定直线l: c

的距离的

c (c a 0,求点P的轨迹. ) 比是常数 a( x c) 2 y 2 c 2 a a | x| c

变题：若(a c 0)改为(c a 0)

结论:已知点P(x,y)到定点F(c,0)a 的距离与它到定直线l:x 的距离的 c c2

比是常数

a

(c a 0) ,点P的轨迹双曲线 .

c 常数 就是双曲线的离心率e (1, ). a

圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比 为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上)

(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆.(2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.

其中常数e叫做圆锥曲线的离心率 定点F叫做圆锥曲线的焦点

定直线l就是该圆锥曲线的准线

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)

( c, 0) (0, c) ( c, 0) (0, c)

a x ca2 y c a2 x c

2

y 2 x2 2 1 2 a b ( a b 0)

x2 y2 2 1 2 a b (a 0, b 0)

y2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)

a2 y c

图形

标准方程 焦点坐标 准线方程p y 2 px ( ,0) 2 p 2 y 2 px ( 2 ,0)2

l l

l l

x 2 py2

p ( 0, ) 2 p (0, ) 2

p x 2 p x 2 p y

2

x 2 py2

p y 2

例1 求下列曲线的焦点坐标与准线方程:x2 y 2 () 1 1 25 9 x2 y 2 (3) 1 25 9 2 (5)y 16 x

(2)x y 16 42 2

(4) y x 16 42 2

(6)x 2 16 y2.确定焦点的位置.3.确定a,c,p的值.

焦点与准线的求解: 1.判断曲线的性质 .

4.得出焦点坐标与准线方程.

例2

已知椭圆

x2 y2 1 64 36

上一点P到左焦点的16 7 7

距离为4 ,求P点到左准线的距离 变题：求P点到右准线的距离l1 y l2

48 7 7

M1 F1

P

M2

.O

.F2

x y 变题:已知双曲线 64 36 1上一点到左焦点的

2

2

距离为14,求P点到右准线的距离y M1 P M2

.

F1

. (-8,0) O

(8,0). F2

x

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