2009至2013五年安徽理科数学高考卷（高清图，详解）

2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）

参考公式：

S表示底面积，h表示底面的高

如果事件A、B互斥，那么 棱柱体积 V?Sh P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积 V?

第I卷(选择题 共50分)

一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） i是虚数单位，若

1Sh 31?7i?a?bi(a,b?R)，则乘积ab的值是（ ） 2?i （A）-15 （B）-3 （C）3 （D）15 （2）若集合A?x|2x?1|?3,B??x???2x?1??0?,则A∩B是（ ）

?3?x?1? （A） ??x?1?x??或2?x?3? (B) x2?x?3

2?????1?1? (C) ?x??x?2? (D) ??x?1?x???

22????（3）下列曲线中离心率为6的是（ ）

2x2y2x2y2x2y2x2y2（A）? （B） （C）?1??1??1 （D）??1

244246410 (4)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）

（A）p:a?c＞b+d , q:a＞b且c＞d

（B）p:a＞1,b>1 q:f(x)?ax?b(1?a?0)的图像不过第二象限 （C）p: x=1, q:x?x

（D）p:a＞1, q: f(x)?logax(1?a?0)在(0,??)上为增函数 使得Sn达到最大值的n是（ ）

（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18

（6）设a＜b,函数y?(x?a)(x?b)的图像可能是（ ）

22（5）已知?an?为等差数列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99，以Sn表示?an?的前n项和，则

第 1 页 共 63 页

?x?04（7）若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线y?kx?分为面积相等的两部分，则k的

?3?3x?y?4?值是 （ ） （A）

7343 （B） （C） （D） 3734（8）已知函数f(x)?3sin?x?cos?x(??0)，y?f(x)的图像与直线y?2的两个相邻交点的距离等于?，则f(x)的单调区间是（ ）

（A）[k???,k??5?],k?Z （B）[k??5?,k??11?],k?Z

12121212（C）[k???,k???],k?Z （D）[k???,k??2?],k?Z

3663（9）已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是（ ）

（A）y?2x?1 （B）y?x （C）y?3x?2 （D）y??2x?3

（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ） （A）

1234 （B） （C） （D） 75757575

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

2(11）若随机变量X～(?,?)，则P(X??)=________.

(12)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为????x?1?2cos?(??R)，它与曲线?（?4y?2?2sin??为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.

(13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______.

第 2 页 共 63 页

????????o（14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.如图所示，点C在以O为

????????????圆心的圆弧AB上变动.若OC?xOA?yOB,其中x,y?R,则x?y的最大值是=________.

（15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________ （写出所有正确命题的编号）。

1相对棱AB与CD所在的直线是异面直线； ○

2由顶点A作四面体的高，其垂足是?BCD的三条高线的交点； ○

3若分别作?ABC和?ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面； ○

4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点; ○○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

三．解答题;本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答 （16）（本小题满分12分）在?ABC中，C-A=

?1, sinB=。

32（I）求sinA的值； (II)设AC=6，求?ABC的面积。

（17）（本小题满分12分）

某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区。B肯定是受A感染的。对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是

11。同样也假定D受A、B和C感染的概率都是。在这种假定之下，B、C、D中直接受23A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.

第 3 页 共 63 页

（18）（本小题满分13分）

如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2， BD=2，AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2。 （I）求二面角B-AF-D的大小；

（II）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。

（19）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x?2?1?alnx，a＞0，讨论f(x)的单调性. x

（20）（本小题满分13分）

?x2y2点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)上，x0?acos?,y0?bsin?,0???.直线l2与

2ab直线l1:x0y0x?y?1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为?，直线l2的倾斜角为?. a2b2x2y2（I）证明: 点P是椭圆2?2?1与直线l1的唯一交点；

ab（II）证明:tan?,tan?,tan?构成等比数列。

第 4 页 共 63 页

（21）（本小题满分13分） 首项为正数的数列?an?满足an?1?12(an?3),n?N?. 4（I）证明：若a1为奇数，则对一切n?2,an都是奇数； （II）若对一切n?N?都有an?1?an，求a1的取值范围。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（理科） 一. 选择题

1-10. BDBAB CACAD

1?7i(1?7i)(2?i)???1?3i，∴a??1,b?3,ab??3，选B。 2?i5112、[解析]集合A?{x|?1?x?2},B?{x|x??或x?3}，∴A?B?{x|?1?x??}选D

221、[解析]

b23b216c233、[解析]由e?得2?,1?2?,2?，选B

a2a2a224、[解析]：由a＞b且c＞d?a?c＞b+d，而由a?c＞b+d

a＞b且c＞d，可举反例。选A

5、[解析]：由a1+a3+a5=105得3a3?105,即a3?35，由a2?a4?a6=99得3a4?99即

?an?0得n?20，选B a4?33 ，∴d??2，an?a4?(n?4)?(?2)?41?2n，由??an?1?06、[解析]：y?(x?a)(3x?2a?b)，由y?0得x?a,x?值0，当x?//2a?b，∴当x?a时，y取极大32a?b时y取极小值且极小值为负。故选C。 3 w.w.w.s.5.u.c.o.m 或当x?b时y?0，当x?b时，y?0选C

7、[解析]：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC

第 5 页 共 63 页

由?∴S?x?3y?44得A（1，1），又B（0，4），C（0，）

3?3x?y?4△ABC

144(4?)?1?，设y?kx与3x?y?4的 2331215交点为D，则由S?BCD?S?ABC?知xD?，∴yD?

22235147∴?k??,k?选A。 2233=

8. [解析]：f(x)?2sin(?x?由2k??

9、[解析]：由f(x)?2f(2?x)?x2?8x?8得f(2?x)?2f(x)?(2?x)2?8(2?x)?8， 即2f(x)?f(2?x)?x2?4x?4，∴f(x)?x∴f(x)?2x，∴切线方程为

2/?6)，由题设f(x)的周期为T??，∴??2，

?2?2x??6?2k???2得，k???3?x?k???6,k?z，故选C

y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0选A

10、[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这

226个点中任意选两个点连成直线，共有C6?C6?15?15?225

种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有

?B

?F C

? ? E

? A

?D

AC//DB,AD//CB,AE//BF,AF//BE,CE//FD,CF//ED

共12对，所以所求概率为p?二. 填空题 11、[解析]

124?，选D 225751 22212、[解析] 直线的普通方程为y?x，曲线的普通方程(x?1)?(y?2)?4

∴|AB|?222?(|1?2|2)?14 1?113、[解析] 由程序框图知，循环体被执行后a的值依次为3、7、15、31、

63、127，故输出的结果是127。 14、[解析]设?AOC??

第 6 页 共 63 页

1?????????????????????????cos??x?y??OC?OA?xOA?OA?yOB?OA,??2 ????????????????，即????????????cos(1200??)??1x?y?OC?OB?xOA?OB?yOB?OB,??20∴x?y?2[cos??cos(120??)]?cos??3sin??2sin(???6)?2

15、[解析]①④⑤ 三．解答题 16、解：（Ⅰ）由C?A???B?B，，且C?A??∴A??，∴sniAsni(?242?B2B)??c(ossni)?4222C

B2，

113∴sinA?(1?sinB)?，又sinA?0，∴sinA?

2332ACBC?（Ⅱ）如图，由正弦定理得 sinBsinAA B

∴BC?ACsinA?sinB6?1333?32，又sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB

?322616 ????33333116AC?BC?sinC??6?32??32 223X P 1 2 3 ∴S?ABC?17、解：随机变量X的分布列是 1 31 2w.w.w..s.5.u.c.o.m 1 6X的均值为EX?1?11111?2??3??3266

附：X的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是① ② ③ A—B—C └D ④ A—B—D └C 1： 6⑤ A—C—D └B ⑥ A—B—C—D A—B—C └D 在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。

第 7 页 共 63 页

18、解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG?AF，

G为垂足。连接BG、DG。由BD?AC，BD?CF得BD?平面ACF，故BD?AF。 于是AF?平面BGD，所以BG?AF，DG?AF，?BGD为二面角B－AF－D 的平面角。 由FC?AC， FC?AC?2，得FAC??4，OG?2 2由OB?OG,OB?OD??2，得?BGD?2?BGO?

22

????????????（向量法）以A为坐标原点，BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间

直角坐标系（如图）

???????2????n1?AB?0??x?y?0设平面ABF的法向量n1?(x,y,z)，则由??????得?2 ???n1?AF?0?2y?2z?0???x??2??令z?1，得?，n1?(?2,?1,1)

??y??1???同理，可求得平面ADF的法向量n2?(2,?1,1)。?????由n1?n2?0知，平面ABF与平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于

w.w.w..s.5.u.c.o.m

?。 2（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。

过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而

P?AC,HP?AC.

由

HPHPAPPC2????1,得HP?。

3CFAEACAC第 8 页 共 63 页

又因为S菱形ABCD?1AC?BD?2, 2故四棱锥H-ABCD的体积V?122S菱形ABCD?HP?.39w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2ax2?ax?2. 19、解：f(x)的定义域是(0,+?),f?(x)?1?2??2xxx设g(x)?x2?ax?2,二次方程g(x)?0的判别式??a2?8.

① 当??a2?8?0，即0?a?22时，对一切x?0都有f?(x)?0,此时f(x)在(0,??)上

是增函数。

2② 当??a?8?0,即a?22时，仅对x?2有f?(x)?0,对其余的x?0都有f?(x)?0,

此时f(x)在(0,??)上也是增函数。

2③ 当??a?8?0，即a?22时，w.w.w.ks.5.u.c.o.m

a?a2?8a?a2?8方程g(x)?0有两个不同的实根x1?,x2?,0?x1?x2.

22x f?(x) (0,x1) + 单调递增? x1 0 极大 (x1,x2) _ 单调递减? x2 0 极小 (x2,??) + 单调递增 f(x) a?a2?8a?a2?8a?a2?8)上单调递增, 在(,)是上单调递减, 在此时f(x)在(0,222a?a2?8(,??)上单调递增.

220、解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。

x0y0x2y2b22解：（I）（方法一）由2x?2y?1得y?2(a?x0x),代入椭圆2?2?1,

ababay01b2x0222b2x0b2得(2?42)x?2x?(2?1)?0.

aay0ay0y0第 9 页 共 63 页

将??x0?acos?代入上式,得x2?2acos??x?a2cos2??0,从而x?acos?.

?y0?bsin??x2y2??1??x?x0?a2b2因此,方程组?有唯一解?,即直线l1与椭圆有唯一交点P.

y?y0??x0x?y0y?122?b?a w.w.w.s.5.u.c.o.m

(方法二)显然P是椭圆与l1的交点，若Q(acos?1,bsin?1),0??1?2?是椭圆与l1的交点，代入l1的方程

cos?sin?x?y?1，得cos?cos?1?sin?sin?1?1, ab即cos(???1)?1,???1,故P与Q重合。

x2y2b2b2a?x2,y0?a?x02, （方法三）在第一象限内，由2?2?1可得y?aaab椭圆在点P处的切线斜率k?y?(x0)??bx0aa2?x02b2x0??2,

ay0xxyyb2x0切线方程为y??2(x?x0)?y0,即02?02?1。

abay0因此，l1就是椭圆在点P处的切线。

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l1的唯一交点。

x0b2y0a2ay0b（II）tan??,l2的斜率为tan???tan?,l1的斜率为??tan?, 22x0ay0ax0bb由此得tan?tan??tan2??0,tan?,tan?,tan?构成等比数列。

21、解：（I）已知a1是奇数，假设ak?2m?1是奇数，其中m为正整数，

ak2?3?m(m?1)?1是奇数。则由递推关系得ak?1?4根据数学归纳法，对任何n?N?，an都是奇数。 （II）（方法一）由an?1?an?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1(an?1)(an?3)知，an?1?an当且仅当an?1或an?3。 432?31?3?1；若ak?3，则ak?1??3. 另一方面，若0?ak?1,则0?ak?1?44第 10 页 共 63 页

根据数学归纳法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N?;a1?3?an?3,?n?N?. 综合所述，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。

a12?3?a1,得a12?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3。 （方法二）由a2?4an2?3an?12?3(an?an?1)(an?an?1)an?1?an???,444

w.w.w..s.5.u.c.o.m an2?3,所以所有的an均大于0，因此an?1?an与an?an?1同号。 因为a1?0,an?1?4根据数学归纳法，?n?N?，an?1?an与a2?a1同号。

因此，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）

源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 如果事件

A与B互斥，那么

P(A?B)?P(A)?P(B)

如果A与B是两个任意事件，P(A)≠0， 那么P(AB)如果事件

?P(A)P(BA)=P(A)P(BA)

A与B相互独立，

?P(A)P(B)

那么P(AB)

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的． （1）i是虚数单位，

i3?3i?

（A）

13? 412（B）

13?i 412（C）

13?i 26（D）

13?i 26第 11 页 共 63 页

（2）若集合

1A?{x|log1x?}，则CRA?

22?2???（B）

?2,??? ??（D）??2???（A）(??,0]??2,??? ??（C）(??,0]???2?,???

??2??2?,???

??2?（3）设向量a11?(1,0),b?(,)，则下列结论中正确的是

22（B）a?b

（A）|a|?|b| ?2 2（C）a?b与b垂直 （D）a//b

（4）若

f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)?1,f(2)?2,则f(3)?f(4)=

（B）1

2（A）-1 （C）-2 （D）2

（5）双曲线方程为x?2y2?1，则它的右焦点坐标为

（B）(

（A）(2,0) 25,0) 2（C）(6,0) 2（D）(3,0)

（6）设abc?0，二次函数f(x)?ax2?bx?c的图象可能是

（7）设曲线C

?x?2?3cos?的参数方程为??y??1?3sin?710的点的个数为 10（B）2 （D）4

（?为参数），直线l的方程为x?3y?2?0，则曲线

C

到直线l的距离为

（A）1 （C）3 （A）280 （C）360

（8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为

（B）292 （D）372

第 12 页 共 63 页

（9）动点

A(x,y)在圆x2?y2?1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知定时t=0时，

点A的坐标是(区间是

（A）[0，1]

13,)，则当0?t?12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增22（B）[1，7]

（C）[7，12]

（D）[0，1]和[7，12]、

（10）设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立

的是

（A）

X?Z?2Y

2

（B）Y(Y（D）Y(Y

?X)?Z(Z?X) ?X)?X(Z?X)

（C）Y?XZ

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． ．．．．．．．．．．．．．．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）命题“对任何x?R,|x?2|?|x?4|?3”的否定是 ．

3?xy???（12）??yx???6的展开式中，x的系数等于 ．

?2x?y?2?0,?（13）设x,y满足约束条件?8x?y?4?0,若目标函数z?abx?y(a?0,b?0)的最大

?x?0,y?0,?值为8，则a

（14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x

（15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从

甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑

球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）．

?b的最小值为 ．

? ．

2； 55②P(B|A1)?；

11①P(B1)?第 13 页 共 63 页

③事件B与事件A1相互独立； ④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的

指定区域内． （16）（本小题满分12分）

设

?ABC是锐角三角形，

a,b,c分别是内角A，B，C所对边长，并且

sin2A?sin(?3?B)sin(?3?B)?sin2B.

（Ⅰ）求角A的值；

???????? （Ⅱ）若AB?AC?12,a?27，求b,c（其中b?c）．

（17）（本小题满分12分）

设a为实数，函数 （I）求

f(x)?ex?2x?2a,x?R.

f(x)的单调区间与极值；

?ln2?1且x?0时，ex?x2?2ax?1.

（II）求证：当a

（18）（本小题满分13分）

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，

?BFC?90?,BF=FC，H为BC的中点.

EF （I）求证：FH//平面EDB； （II）求证：AC⊥平面EDB； （III）求二面角B—DE—C的大小.

ABHDC第 14 页 共 63 页

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e?1. 2 （I）求椭圆E的方程；

（II）求?F1AF2的角平分线所在直线l的方程；

（III）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不

存在，说明理由.

（20）（本小题满分12分）

设数列a1,a2,?,an,?中的每一项都不为0.

证明，{an}为等差数列的充分必要条件是：

对任何n?N，都有

111n?????. a1a2a2a3anan?1a1an?1

（21）（本小题满分13分）

品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.

现设n=4，分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序

第 15 页 共 63 页

号，并令

X?|1?a1|?|2?a2|?|3?a3|?|4?a4|.则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.

（I）写出X的可能值集合；

（II）假设a1,a2,a3,a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列； （III）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有

X?2，

（i）试按（II）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.

2010年高考安徽卷理科数学参考答案

1. B 解析：本题考查了复数的四则运算问题。

由于

i3i?31i(3?3i)===

4123?3i(3?3i)(3?3i)1+

3i； 122. A 解析：本题考查了对数不等式的求解及集合的运算。

由于A={x|log1x≥

2121}={x|log1x≥log1()22221}={x|0

22}，那么CRA={x|x≤0或

x>

22}；

3. C 解析：本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量的位置关系等。

由于a=（1，0），b=（

12，

，

12），那么|a|=1，|b|=

22，选项A错；a?b=1×

12+0×

11=22，选项B错；（a

－b）?b=（

12，－

12）（?

1212）=

11×22－

11×22=0，即a－b与b垂直，选项C正确；

112≠

012，选项D

错.

4. A 解析：本题考查了函数的周期性、奇偶性及函数值与运算问题。

由于f（x）是R上周期为5的奇函数，那么f（3）=f（3－5）=f（－2）=－f（2）=－2，f（4）=f（4－5）=f（－1）=－f（1）=－1，则f（3）－f（4）=－2－（－1）=－1； 5. C 解析：本题考查了双曲线的几何性质。

由于双曲线方程为x2－2y2=1，即x2－

y212=1，那么a2=1，b2=

12，则有c2=a2+b2=

32，即c=

62，那么对

第 16 页 共 63 页

应的右焦点坐标为（

62，0）；

6. D 解析：本题考查了二次函数的图象与参数的关系。

由于abc>0，那么当a>0时，对应的图象开口朝上，有bc>0，对称轴x=－选项C错误；对称轴x=－

b<0时，有b>0，此时c>0，2ab>0时，有b>0，此时c>0，选项D正确； 2a7. B 解析：本题考查了圆的参数方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等。

由曲线C的参数方程得对应的圆的圆心坐标为C（2，－1），半径r=3，那么C（2，－1）到直线x－3y+2=0的距离d=

710|2?3?(?1)?2|710=，那么曲线C与直线l相切，则C上到直线l距离为的点有2

2210101?(?3)个；

8. C 解析：本题考查了简单几何体的三视图与直观图的转化，以及简单几何体的表面积计算问题。

由图中的三视图知，该几何体是由两个长方体组成的简单组合体，下面是一个长、宽、高分别为8、10、2的长方体，上面竖着是一个长、宽、高分别为6、2、8的长方体，那么其表面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的侧面积之和，即S=2（8×10+8×2+10×2）+2（6×8+2×8）=360；

9. D 解析：本题考查了平面解析几何的创新应用，三角函数概念及其三角函数的图象与性质等。

由于12秒旋转一周，则每秒转过

2?12=

?6，而t=0时，y=

?3=sin

32t+

，那么动点A的纵坐标关于t的函

数关系式为y=sin（

?6t+

??）（t∈[0，12]），则对应的单调递增区间为36???∈[2kπ－，2kπ+]，k∈Z，322则有t∈[12k－5，12k+1]，k∈Z，由于t∈[0，12]，则当k=0时，t∈[0，1]，当k=1时，t∈[7，12]； 10. D 解析：本题考查了等比数列前n项的相关性质及其应用。

由于等比数列{an}中Sn=X，S2n=Y，S3n=Z，根据等比数列的相关性质，对应的Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，即X，Y－X，Z－Y成等比数列，则有（Y－X）2=X（Z－Y），即Y（Y－X）=X（Z－X）； 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）存在x?R,使得|x-2|+|x-4|?3 （12）15（若只写C6或C6，也可） （13）4 （14）12 （15）②④

11. “存在x∈R，有|x－2|+|x－4|≤3” 解析：本题考查了存在命题的否定。

由于存在命题的否定是全称命题，对应“对任何x∈R，|x－2|+|x－4|>3”的否定就是“存在x∈R，有|x－2|+|x－4|≤3”；

12. 15 解析：本题考查了二项展开式的性质与通项公式等。

由于二项展开式的通项为Tr+1=C6（

r24xy2）6r（－

－

yx）r=（－1）r?C6?xr36?r2?

y3r?32，令6－

32r=3，

解得r=2，那其对应的系数为（－1）2?C6=15；

第 17 页 共 63 页

13. 4 解析：本题考查了线性规划中的平面区域与函数值最值问题，以及利用基本不等式来求解最值问题。

?2x?y?2?0?作出平面区域?8x?y?4?0，如图中的阴影部分，由图知，当过点A（1，4）时，z=abx+y

?x?0,y?0?取得最大值8，此－ab=时等号成立；

14. 12 解析：本题考查了算法中的程序框图的识别与应用。

当x=1时，经过判断其是奇数，则有x=1+1=2；经过判断其是偶数，则有x=2+2=4，经过判断x<8，则有x=4+1=5，经过判断其是奇数，则有x=5+1=6；经过判断其是偶数，则有x=6+2=8，经过判断x=8，则有x=8+1=9，经过判断其是奇数，则有x=9+1=10；经过判断其是偶数，则有x=10+2=12，经过判断x>8，输出x=12； 15. ②④ 解析：本题考查了随机事件的概率，条件概率和互斥事件等问题。

根据题意可得P（A1）=

4?8=－4，即ab=4，而a>0，b>0，那么a+b≥2ab=4，当且仅当a=b=21?0510，P（A2）=

210，P（A3）=

310，可以判断④是正确的；而P（B）

=

5524349×+×+×=10111011101122，则①是错误的；由于

55?P(A1B)10115P（B|A1）===，则②是正

511P(A1)10确的；同时可以判断出③和⑤是错误的；

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答

写在答题卡上的指定区域内．

（16）（本小题满分12分）

本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定

理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力. 解：（I）因为sin2A?(?3131cosB?sinB)(cosB?sinB)?sin2B 2222

313cos2B?sin2B?sin2B?, 444所以sinA??3?,又A为锐角,所以A?. 23???????? （II）由AB?AC?12可得

cbcosA?12.

①

由（I）知

A??,所以 3②

cb?24

第 18 页 共 63 页

由余弦定理知a2?c2?b2?2cbcosA,

将a?27及①代入，得 c2?b2?52 ③

③+②×2，得(c?b)所以

??100，

c?b?10.

2因此，c，b是一元二次方程t解此方程并由c?10t?24?0的两个根.

?b知c?6,b?4.

（17）（本小题满分12分）

本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. （I）解：由

令

f(x)?ex?2x?2a,x?R知f?(x)?ex?2,x?R.

f?(x)?0,得x?ln2.于是当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) 故

(??,ln2) — 单调递减 ↘ ln2 0 (ln2,??) + 单调递增 ↗ 2(1?ln2?a) f(x)的单调递减区间是(??,ln2)，单调递增区间是(ln2,??)，

f(x)在x?ln2处取得极小值，

极小值为

f(ln2)?eln2?2ln2?2a?2(1?ln2?a).

?ex?x2?2ax?1,x?R,

（II）证：设g(x)于是g?(x)?ex?2x?2a,x?R.

?ln2?1时,g?(x)最小值为g?(ln2)?2(1?ln2?a)?0.

由（I）知当a于是对任意x?R,都有g?(x)?0,所以g(x)在R内单调递增,

于是当a而g(0)即ex?ln2?1时,对任意x?(0,??),都有g(x)?g(0), ?0,从而对任意x?(0,??),g(x)?0.

?x2?2ax?1?0,故ex?x2?2ax?1.

第 19 页 共 63 页

（18）（本小题满分13分）

本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何

问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

[综合法]（1）证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH， 又H为BC的中点，?GH//12AB,又EF//12AB,?EF//GH. ∴四边形EFHG为平行四边形，

∴EG//FH，而EG?平面EDB，∴FH//平面EDB.

（II）证：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC，又EF//AB，

∴EF⊥BC.

而EF⊥FB，∵EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH. 又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABCD，∴FH⊥AC， 又FH//BC，∴AC=EG.

又AC⊥BD，EG?BD=G，∴AG⊥平面EDB.

（III）解：EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，

在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K， 则∠FKB为二面角B—DE—C的一个平面角. 设EF=1，则AB=2，FC=2，DE=3 又EF//DC，∴∠KEF=∠EDC，∴sin∠EDC=sin∠KEF=23.

∴FK=EFsin∠KEF=23，tan∠FKB=

BFFK?3,∴∠FKB=60° ∴二面角B—DE—C为60°. [向量法]

∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，又EF//AB，∴EF⊥BC. 又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC. ∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.

又BF=FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC，∴FH⊥平面ABC.

???HB?为x????以H为坐标原点，轴正向，HF为z轴正向，

建立如图所示坐标系.

设BH=1，则A（1，—2，0），B（1，0，0）， C（—1，0，0），D（—1，—2，0），E（0，—1，1）， F（0，0，1）.

（I）证：设AC与BD的交点为G，连GE，GH，

G(0,?1,0),????CE??(0,0,1),又???HF??(0,0,1)????HF?//???GE?则.

GE?平面EDB，HF不在平面EDB内，∴FH∥平面EBD，

第 20 页 共 63 页

（II）证：

????????????????AC?(?2,2,0),GE?(0,0,1),AC?GE?0,?AC?GE.

又AC⊥BD，EG∩BD=G，∴AC⊥平面EDB.

???????? （III）解：BE?(?1,?1,1),BD?(?2,?2,0).

设平面BDE的法向量为n1??(1,y1,z1),

?????????则BE?n1??1?y1?z1?0,BD?n1??1?2y1?0,

??y1??1,z1?0,即n1?(1,?1,0).????????CD?(0,?2,0),CE?(1,?1,1),??????设平面CDE的法向量为n2?(1,y2,z2),则n2?CD?0,y2?0,? 故n2?(1,0,?1),????n1?n211cos?n1,n2?????,?|n1|?|n2|2?22????n1,n2??60?,即二面角B—DE—C为60°. （19）（本小题满分13分）

本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公

式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.

x2y2解：（I）设椭圆E的方程为2?2?1

ab1c1,即?,a?2c,得b2?a2?c2?3e2,2a2

x2y2?椭圆方程具有形式2?2?1.4c3e由e?将A（2，3）代入上式，得

13??1,解得c?2, 22ccx2y2??1. ∴椭圆E的方程为

1612 （II）解法1：由（I）知F1(?2,0),F2(2,0)，所以

3(x?2),即3x?4y?6?0, 4直线AF2的方程为：x?2.

直线AF1的方程为：

y?由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数. 设P(x,y)为l上任一点，则

|3x?4y?6|?|x?2|.

5若3x?4y?6?5x?10,得x?2y?8?0（因其斜率为负，舍去）.

第 21 页 共 63 页

所以直线l的方程为：2x?y?1?0.

?????????解法2：?A(2,3),F1(?2,0),F2(2,0),?AF1?(?4,?3),AF2?(0,?3).

?????????AF1AF2114??(?4,?3)?(0,?3)??(1,2).??????????35 |AF1||AF2|5?k1?2,?l:y?3?2(x?1),即2x?y?1?0. （III）解法1：假设存在这样的两个不同的点B(x1,y1)和C(x2,y2),

?BC?l,?kBC?y2?y11?.x2?x12x1?x2y?y2,y0?1,22

设BC的中点为M(x0,y0),则x0?由于M在l上，故2x0?y0?1?0. ①

22x12y12x2y2??1与??1. 又B，C在椭圆上，所以有

1612161222x2?x12y2?y12??0, 两式相减，得

1612即

(x1?x2)(x2?x1)(y1?y2)(y2?y1)??0.

1612将该式写为

1x1?x2y2?y11y1?y2?????0， 82x2?x162并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点，表示代入该表达式中， 得

11x0?y0?0,即3x0?2y0?0. ② 812①×2—②得x2?2,y0?3，即BC的中点为点A，而这是不可能的.

∴不存在满足题设条件的点B和C. 解法2：

假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l对称， 则l1?BC,?kBC??.

21x2y2设直线BC的方程为y??x?m,将其代入椭圆方程??1,

21612第 22 页 共 63 页

得一元二次方程3x21?4(?x?m)2?48,即x2?mx?m2?12?0,

2则x1与x2是该方程的两个根， 由韦达定理得x1于是

?x2?m,

13my1?y2??(x1?x2)?2m?,

22m3m). ∴B，C的中点坐标为(,243m?m?1,得m?4. 又线段BC的中点在直线y?2x?1上,?4即B，C的中点坐标为（2，3），与点A重合，矛盾. ∴不存在满足题设条件的相异两点.

（20）（本小题满分12分）

本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力. 证：先证必要性

设数列{an}的公差为d,若d若d?0,则所述等式显然成立，

?0，则

111????a1a2a2a3anan?1???a?an1a2?a1a3?a2(????n?1)da1a2a2a3anan?31111111((?)?(?)???(?))da1a2a2a3anan?11111an?1?a1(?)?da1an?1da1an?1n.

a1an?1

?再证充分性.

证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n?N?都成立，首先，在等式

112??a1a2a2a3a1a3 ①

两端同乘a1a2a3,即得a1?a3?2a2,所以a1,a2,a3成等差数列，

第 23 页 共 63 页

记公差为d,则a2假设ak?a1?d.

?a1?(k?1)d,当n?k?1时，观察如下二等式

111k?1?????, ② a1a2a2a3ak?1aka1a21111k??????a1a2a2a3ak?1akakak?1a1ak?1将②代入③，得

， ③

k?11k??, a1akakak?1a1ak?1在该式两端同乘a1,akak?1,得(k将ak?1)ak?1?a1?ka1.

?a1?(k?1)d代入其中,整理后,得ak?1?a1?kd.

?a1?(n?1)d,

由数学归纳法原理知，对一切n?N?都有an所以{an}是公差为d的等差数列. 证法2：[直接证法]依题意有

111n?????, ① a1a2a2a3anan?1a1an?11111n?1??????. ② a1a2a2a3anan?1an?1an?2a1an?2②—①得

1n?1n??an?1an?2a1an?2a1an?1，

在上式两端同乘a1an?1an?2,得a1同理可得a1?(n?1)an?1?nan?1,

?nan?(n?1)an?1, ③

?n(an?2?an)

③—④得2nan?1即an?2

?an?1?an?1?an,所以{an}是等差数列，

（21）（本小题满分13分）

本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密切贴近生产、生活

第 24 页 共 63 页

实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括能力、应用与创新意识. 解：（I）X的可能值集合为{0，2，4，6，8}.

在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a2,a3中的奇数个数等于a1,a3中的偶数个数，因此 |1?a1|?|3?a3|与|2?a3|?|4?a4的奇偶性相同，|从而

X?(|1?a2|?|3?a3|)?(|2?a2|?|4?a4|)必为偶数.

X的值非负，且易知其值不大于8.

容易举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.

（II）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，

得到

X P 0 2 4 6 8 13794 2424242424 （III）（i）首先P(X?2)?P(X?0)?P(X?2)?41?，将三轮测试都有X?2的概率记做246p，由上述结果和独立性假设，得

11?. 3216615? （ii）由于p?是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X?2的结2161000

p?果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(安徽卷)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式(理)：

如果事件A与B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B) 如果事件A与B相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)

锥体体积V?1Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高 3参考公式(文)： 锥体体积V?若(x1

1Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高 3)，(x2

，y1

，y2

)，?，(xn，yn??bx?a为回归直线，则)为样本点，y1n1nx??xi，y??yi

ni?1ni?1第 25 页 共 63 页

b???x?y??y?y??xy?nxyiiiii?1nn??x?x?ii?1n?2i?1n，a?y?bx

?xi?12i?nx2说明：若对数据作适当的预处理，可避免对大数字进行运算．

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i是虚数单位，复数A．2

1+ai

为纯虚数，则实数a为( ) 2?i

??B．－2 C．? D．

??2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )

A．2 B．22 C．4 D．42

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3

4．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( ) A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－1 5．在极坐标系中，点(2,A．2

?3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )

B． 4??29

C． 1??29 D． 3

6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A．48

B．32?817

C．48?817 D．80

7．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) ．．

A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

8．设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7，8}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数是( )

A．57 B．56 C．49 D．8

9．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数．若f(x)?|f()|对x∈R恒成立，且

?6f()?f(?)，则f(x)的单调递增区间是( ) 2????A．?k??,k???(k?Z)

36?????B．?k?,k???(k?Z)

2???2???C．?k??,k??(k?Z) ?63???第 26 页 共 63 页

D．?k??????,k??(k?Z) 2?10．函数f(x)＝axm·(1－x)n在区间[0，1]上的图像如图所示，则m，n的值可能是( )

A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝2 C．m＝2，n＝1 D．m＝3，n＝1

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是__________．

212

12．设(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋?＋a21x21，则a10＋a11＝__________. 13．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为__________．

14．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为__________．

15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点．下列命题中正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点 ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

ex16．设f(x)?，其中a为正实数．

1?ax24(1)当a?时，求f(x)的极值点；

3(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．

17．如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．

(1)证明直线BC∥EF； (2)求棱锥F-OBED的体积．

第 27 页 共 63 页

18．在数1和100之间插入n个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作Tn，再令an＝lg Tn，n≥1.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝tan an·tan an＋1，求数列{bn}的前n项和Sn.

111???xy； xyxy(2)设1＜a≤b≤c，证明logab?logbc?logca?logba?logcb?logac .

19．(1)设x≥1，y≥1，证明x?y?

20．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟．如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为p1，p2，p3.假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．

(1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)EX；

(3)假定1＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均

第 28 页 共 63 页

值(数学期望)达到最小．

????????21．设λ＞0，点A的坐标为(1，1)，点B在抛物线y＝x上运动，点Q满足BQ??QA，

?????????经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM??MP，求点P的轨迹方程．

2

答案：一．选择题：

1、1、A【命题意图】本题主要考查复数的运算和纯虚数的定义。 【解析】? 故选A

2、C【命题意图】本题主要考查双曲线的方程和性质。

1?ai(1?ai)(2?i)2?a1?2a???为纯虚数，所以22?i(2?i)(2?i)55-a=0,所以a=2.

x2y2??1?a2?4?a?2?2a?4 【解析】双曲线的方程为84 故选C.

3、A 【命题意图】本题主要考查函数 的奇偶性和函数的解析式。 【解析】故选A.

4、B【命题意图】本题主要考查本题主要考查线性规划的应用。

第 29 页 共 63 页

【解析】画出可行域，求出交点为（1，0）,（-1,0），（0，1）、（0，-1），代入比较可得目标函数

z?x?2y得最大值是2

,最小值是2.故选B

5、D【命题意图】本题主要考查极坐标和直角坐标之间的互化公式。 【解析】由互化公式得点(2,?3)化为(1,3)，圆??2cos?化为，(x?1)2?y2?1所以圆心坐标为

(1,0)，由两点间距离公式得点 (?,) 到圆??2cos? 的圆心的距离为3。

? 故选D

6、C【命题意图】本题主要考查三视图及组合体的表面积计算的基础知识，正确想象出实物图，代人矩形及梯形的表面积公式即可。

【解析】由三视图知该几何体是棱锥。该几何体的表面积为

?2?4?17?4?4?4?2?2? 故选C

2?4?4?48?817 27、D【命题意图】本题主要考查命题的否定。 【解析】由命题的否定定义知选D

8、B【命题意图】本题主要考查集合的子集和交集的运算。 【解析】A的子集共有264-8=56. 故选B

9、C【命题意图】【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质。 【解析】

6?64个，满足S?B??有23?8个，则满足S?A且S?B??的集合S为

?f(x)?f()?sin(2???)?1????k??,???k??663265??f()?f(?)?sin??0?取???625??f(x)?sin(2x?)

6又

令2k??????

??2?2x??6?2k???2?k???6?x?k??2?3，故选C.

10、B【命题意图】本题主要考查导数的应用和函数的单调性。把每个选项逐一代入即可。 【解析】由对于A选项，在

f(x)?ax(1?x)?f'(x)?a(1?2x)，当0?x?0.5时f'(x)?0，函数

f'(x)?0，函数在?0,1?上是减函数;

对于B

选项，，

?0,1?上是增函数，当0.5?x?1时

11?1?f(x)?ax(1?x)2?f'(x)?3a(x?1)(x?)，当0?x?时f'(x)?0，函数在?0,?上是增函数

33?3?当

1?1??x?1时f'(x)?0，函数在?,1?上是减函数。故选B3?3?第 30 页 共 63 页

.

二．填空题：

11、15【命题意图】本题主要考查本题主要考查算法流程图，关键是循环终止条件的判断。 【解析】通过对流程图分析可知T

12、0【命题意图】本题主要考查二项式定理的应用和性质。 【解析】?(x?1)13、【

2102102102120211011?C21x?C21x?C21x????C21x?C21?a10?a11??C21?C21?0

?1?2?3?????k?k(k?1)k(k?1)?105,16?，令

22?k?15k?

?【命题意图】本题主要考查向量的数量积公式的应用和向量的夹角。 3析

】

由

（

a+2b

）

·

（

a-b

）

=-6

得

解

?2???2?2?????2??a?a?b?2b?a?a?bcos?a,b??2b?1?2cos?a,b??8??6????1??cos?a,b????a,b??2314、15

3【命题意图】本题主要考查等差中项、余弦定理以及三角形面积公式的应用。

a-4,a,a+4,

由余弦定理知

15

【解析】设三角形的边长分别为

1(a?4)2?(a?4)2?a2?2(a?4)a?cos120??a?10?S?(a?4)a?sin120??1532、①③⑤【命题意图】本题主要考查反证法和充分必要条件的应用。。 【解析】

对于①，构造直线与b都是无理数，取直线

y?2x，它既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确；对于②，假设如果ky?2x?2经过整点（1

,0），故②不正确；对于③，易知③正确；对于④，

当k与b都是有理数时，直线由②可知当k与b都是无理数，直线y?kx?by?kx?b经过无穷多个整点，

经过整点，故④不正确；对于⑤，构造直线

y?2x，它是仅经过一个整点（0

x,0）的直线，故⑤正确.

16．解：对f(x)求导得

1?ax2?2ax.f?(x)?e(1?ax2)22

①

4时，若f331解得x1?,x2?.

22(1)当a?′(x)＝0，则4x－8x＋3＝0，

结合①，可知 x f′(x) f(x) 所以，x11(??,) 2＋ ↗ 1 20 极大值 13(,) 22－ ↘ 3 20 极小值 3(,??) 2＋ ↗ ?31是极小值点，x2?是极大值点． 222

(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．

2

结合①与条件a＞0，知ax－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a－4a＝4a(a－1)

第 31 页 共 63 页

≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.

17． (1)(综合法)证明：设G是线段DA与线段EB延长线的交点．

由于△OAB与△ODE都是正三角形， 所以OB

1DE2， OG＝OD＝2.

同理，设G′是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG′＝OD＝2. 又由于G和G′都在线段DA的延长线上，所以G与G′重合． 在△GED和△GFD中，由OB

1DE2和OC

1DF2

，可知B，C分别是GE和GF的中点，

所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF. (向量法)

过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，连QE. 由平面ABED⊥平面ADFC，

知FQ⊥平面ABED，以Q建立如图所示空间直角坐标系．

由条件知E(

????为坐标原点，QE为x3)

????轴正向，QD为y????轴正向，QF为z)，C(0，?轴正向，

3，0

，0)，F(0，0，，B(

33，?，0

2233，)22．

?33???则有BC?(?,0,)，EF?(?3,0,3)．

22所以EF?2BC，即得BC∥EF.

(2)解：由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°，知S而△OED是边长为2的正三角形，故S所以S四边形OBED△OED△EOB＝

3.2

＝

3.

＝S△EOB＋S△OED＝

332.

由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ＝所以VF-OBED3，

＝

18．解：(1

13FQ·S. OBED＝32)设t1,t2,?,tn?2构成等比数列，其中t1?1,tn?2?100，

四边形

Tn?t1?t?2??tn?1?tn?2，① Tn?tn?2?t?n?1??t2?t1，②

①×②并利用ti?tn?3?i?t1?tn?2?102,(1?i?n?2)，

第 32 页 共 63 页

?(t1tn＋2)?(t2tn＋1)???(tn＋1t2)?(tn＋2t1)＝102(n?2)?an?lgTn?n?2,n?1.

得Tn(2)由题意和(1)中计算结果，

知bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1. 另一方面，利用tan1?得tan(k2．

tan[(k?1)?k]?tan(k?1)?tank，

1?tan(k?1)?tank

?1)?tank?nn?2i?3tan(k?1)?tank?1.

tan1Sn??bi??[tan(k?1)?tank]i?1所以?tan(k?1)?tank?1]tan1i?3tan(n?3)?tan3??n.tan1?[n?2

19．证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以

x?y?111???xy?xy(x?y)?1?y?x?(xy)2.xyxy

将上式中的右式减左式，得

[y?x?(xy)2]?[xy(x?y)?1]?[(xy)2?1]?[xy(x?y)?(x?y)]?(xy?1)(xy?1)?(x?y)(xy?1)?(xy?1)(xy?x?y?1)?(xy?1)(x?1)(y?1)既然x≥1，y≥1，所以(xy?1)(x?1)(y?1)?0. 从而所要证明的不等式成立．

x,logbc?y，由对数的换底公式得

111logca?,logba?,logcb?,logac?xy.

xyxy111???xy， 于是，所要证明的不等式即为x?y?xyxy其中x?logab?1,y?logbc?1.

故由(1)成立知所要证明的不等式成立．

20．解：(1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1?(2)设logab?p1)(1?p2)(1?p3)，所

以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于

1?(1?p1(2)

p??p1p3? p2p?ppp1p2当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3时，随机变量X的分布列为

X P 1 2 3 )?p(21?)p??3(1p1)p?2p?3q1 (1?q1)q2 (1?q1)(1?q2) 所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是 EX＝q1＋2(1－q1)q2＋3(1－q1)(1－q2)＝3－2q1－q2＋q1q2.

(3)方法一：由(2)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，EX＝3－2p1－p2

＋p1p2.

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值．

下面证明：对于p1，p2，p3的任意排列q1，q2，q3，都有3－2q1－q2＋q1q2≥3－2p1－

第 33 页 共 63 页

p2＋p1p2.(*)

事实上，

??(3?2q1?q2?q1q2)?(3?2p1?p2?p1p2)?2(p1?q1)?(p2?q2)?p1p2?q1q2?2(p1?q1)?(p2?q2)?(p1?q1)p2?q1(p2?q2)?(2?p2)(p1?q1)?(1?q1)(p2?q2)?(1?q1)[(p1?p2)?(q1?q2)]?0.即(*)成立．

方法二：①可将(2)中所求的EX改写为3?(q1为3?(q1

?q2)?q1q2?q1，若交换前两人的派出顺序，则变

?q2)?q1q2?q2.

由此可见，当q2?q1时，交换前两人的派出顺序可减小均值．

②也可将(2)中所求的EX改写为3?2q1?(1?q1)q2，若交换后两人的派出顺序，则变为3?2q1?(1?q1)q3.

由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q3＞q2时，交换后两人的派出顺序也可减小均值．

综合①②可知，当(q1，q2，q3)＝(p1，p2，p3)时，EX达到最小，即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的．

21则x即

?????????．解：由QM??MP知Q?y0??(y?x2)，

1

1

、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，

Q(x，y0)，M(x，x2)，

2y0?(1??)x2??y，①

1

0

1

0

再设B(x，y)，

????????由BQ??QA，即(x－x，y－y)＝λ(1－x，1－y)，

?x1?(1??)x??,解得?②

?y1?(1??)y0??.?x1?(1??)x??,将①式代入②式，消去y，得?③

22y?(1??)x??(1??)y??.?12又点B在抛物线y＝x上，所以y1?x1.

02

y1?x1， 222得(1??)x??(1??)y???[(1??)x??],

再将③式代入

2

2(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)x－2λ(1＋λ)x＋λ， 2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0. 因λ＞0，两边同除以?(1??)，得2x?故所求点P的轨迹方程为

2222

y?1?0.

y?2x?1.

2011安徽高考理科数学

参考公式： 如果事件

A与B互斥；则P(A?B)?P(A)?P(B)

第 34 页 共 63 页

如果事件

A与B相互独立；则P(AB)?P(A)P(B)

如果

A与B是事件，且P(B)?0；则P(AB)?P(AB)

P(B)第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）复数z满足：(z?i)(2?i)?5；则z

?（ ）

(C)(A)?2?2i (B)?2?2i ???i (D)???i

（2）下列函数中，不满足：

f(2x)?2f(x)的是（ ）

(A)f(x)?x (B)f(x)?x?x (C)f(x)?x?? (D)f(x)??x

（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

(A)3 (B)4 (C)? (D)?

3（4）公比为 (A)

2等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11?16，则（ ）

4 (B)5 (C)? (D)?

（5）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）

(A) 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 (B) 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 (C) 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 (D)甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

（6）设平面?与平面?相交于直线m，直线a在平面?内，直线b在平面?内，且b 则“??m

??”是“a?b”的（ ）

第 35 页 共 63 页

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 即不充分不必要条件

2（7）(x?2)(15?1)的展开式的常数项是（ ） 2x (A)（8

?3 (B)?2 (C)? (D)?

????3?）在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8)，将向量OP按逆时针旋转

4????后，得向量OQ

则点Q的坐标是（ ） (A)(?72,?2) (B) (?72,2) (C) (?46,?2) (D)(?46,2)

y2?4x的焦点F的直线交抛物线于

（9）过抛物线

A,B两点，点O是原点，若AF?3；

则?AOB的面积为（ ） (A)22 (B) 2 (C)

322 (D)22 （10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换 的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品 的同学人数为（ ）

(A)1或3 (B)1或4 (C) 2或3 (D)第II卷（非选择题 共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置。

2或4

（11

?x?0?）若x,y满足约束条件：?x?2y?3；则x?y的取值范围为

?2x?y?3?_____

（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____ （13）在极坐标系中，圆?距离是_____ （14

?4sin?的圆心到直线???6(??R)的

??????b的最小值是_____ ）若平面向量a,b满足：2a?b?3；则a?A,B,C所对的边为a,b,c；则下列命题正确的

（15）设?ABC的内角是_____ ①若ab ③若a3?c2；则C??3 ②若a?b?2c；则C??3

?b3?c3；则C??2 ④若(a?b)c?2ab；则C??2

第 36 页 共 63 页

⑤若(a2?b2)c2?2a2b2；则C??3

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域

内。

（16）(本小题满分12分) 设函数

f(x)?2?cos(2x?)?sin2x 24 （I）求函数

f(x)的最小正周期；

（II）设函数g(x)对任意x?R，有g(x? 求函数g(x)在[??,0]上的解析式。

（17）（本小题满分12分）

??1)?g(x)，且当x?[0,]时， g(x)??f(x)； 222某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是

A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道

A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调

题工作结束。试题库中现共有n?m道试题，其中有n道工作完成后，试题库中（Ⅰ）求

第 37 页 共 63 页

A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题

A类试题的数量。

的分布列和均值（数学期望）。

X?n?2的概率； （Ⅱ）设m?n，求X （18）（本小题满分12分）

平面图形

ABB1AC11C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,BB1?4，AB?AC?2，

BC和B1C1折叠，使?ABC与?A1B1C1所在平面都与平面A1B1?AC11?5。现将该平面图形分别沿BB1C1C垂直，再分别连接AA1,BA1,CA1,

（Ⅰ）证明：

得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。

AA1?BC；

的长；

（Ⅱ）求

AA1（Ⅲ）求二面角

A?BC?A1的余弦值。

（19）（本小题满分13分）K] 设

f(x)?aex?1?b(a?0) xae （I）求

f(x)在[0,??)上的最小值；

（II）设曲线

y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?3x；求a,b的值。 2（20）（本小题满分13分）

第 38 页 共 63 页

x2y2 如图，F1作x轴的垂线交椭1(?c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，过点Fab圆的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线

a2x?c于点Q；

（I）若点Q的坐标为(4,4)；求椭圆C的方程； （II）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点。

（21）（本小题满分13分）

数列{xn}满足：x12?0,xn?1??xn?xn?c(n?N*)

（I）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c （II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。

?0

第 39 页 共 63 页

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

1. 【解析】选D

(z?i)(2?i)?5?z?i?2. 【解析】选C

55(2?i)?z?i??2?2i 2?i(2?i)(2?i)f(x)?kx与f(x)?kx3. 【解析】选B 均满足：

f(2x)?2f(x)得：A,B,D满足条件

x y 4. 【解析】选B

1 1 2 2 4 8 4 3 2a3a11?16?a7?16?a7?4?a16?a7?q9?32?log2a16?5

5. 【解析】选C x甲11?(4?5?6?7?8)?6,x乙?(5?3?6?9)?6 55甲的成绩的方差为6. 【解析】选

①?121(2?2?12?2)?2，乙的成绩的方差为(12?3?32?1)?2.4 55A

??,b?m?b???b?a ②如果a//m；则a?b与b?m条件相同

1x27. 【解析】选D

第一个因式取x，第二个因式取

2得：1?C5(?1)514?5

第一个因式取2，第二个因式取(?1)得：2?(?1)8. 【解析】选

5??2 展开式的常数项是5?(?2)?3

A ????34【方法一】设OP?(10cos?,10sin?)?cos??,sin??

55????3?3?),10sin(??))?(?72,?2) 则OQ?(10cos(??44?????????3?【方法二】将向量OP?(6,8)按逆时针旋转后得OM?(8,?6)

2??????????1???(OP?OM)?(?72,?2) 则OQ??2第 40 页 共 63 页

9. 【解析】选C

设?AFx得：3???(0????)及BF?m；则点A到准线l:x??1的距离为3

123? 又m?2?mcos(???)?m?31?cos?22?3cos??cos??1132232?AOB的面积为S??OF?AB?sin???1?(3?)? ?2223210. 【解析】选D

2C6?13?15?13?2。

①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人。 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人。 11. 【解析】x?y的取值范围为_____[?3,0]

约束条件对应?ABC边际及内的区域：则t3A(0,3),B(0,),C(1,1)

2?x?y?[?3,0]

92

12. 【解析】表面积是_____该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱 几何体的表面积是S1?2??(2?5)?4?(2?5?4?42?(5?2)2)?4?92

213. 【解析】距离是_____ 圆?3 ?4sin??x2?(y?2)2?4的圆心C(0,2)

?直线l:?14.

(??R)?x?3y?0；点C到直线l的距离是6??9b的最小值是_____? 【解析】a?8???2?2??2a?b?3?4a?b?9?4a?b?0?232?3

?2?2??????????94a?b?4ab??4a?b?9?4a?b??4a?b?a?b??815. 【解析】正确的是_____①②③

a2?b2?c22ab?ab1????C?①ab?c?cosC?2ab2ab232

a2?b2?c24(a2?b2)?(a?b)21????C?②a?b?2c?cosC?2ab8ab23

第 41 页 共 63 页

③当C④取a⑤取a??2时，c2?a2?b2?c3?a2c?b2c?a3?b3与a3?b3?c3矛盾

?b?2,c?1满足(a?b)c?2ab得：C??2

?b?2,c?1满足(a2?b2)c2?2a2b2得：C??3

16. 【解析】

f(x)?112?111cos(2x?)?sin2x?cos2x?sin2x?(1?cos2x)??sin2x

2224222 （I）函数

f(x)的最小正周期T?2???2

（2）当x?[0, 当x?[??2]时，g(x)?11?f(x)?sin2x 22???1?1,0]时，(x?)?[0,] g(x)?g(x?)?sin2(x?)??sin2x 2222222??11当x?[??,?)时，(x??)?[0,) g(x)?g(x??)?sin2(x??)?sin2x

2222???1?sin2x(??x?0)??22得：函数g(x)在[??,0]上的解析式为g(x)??

1??sin2x(???x?)??2217. 【解析】（I）

X?n?2表示两次调题均为A类型试题，概率为

A类型试题的概率为p?nn?1?

m?nm?n?2（Ⅱ）m?n时，每次调用的是 随机变量

1 2X可取n,n?1,n?2

P(X?n)?(1?p)2?X 11，P(X?n?1)?2p(1?p)?42，P(X?n?2)?p2?1 4n 14 n?1 n?2 P 12 14 111EX?n??(n?1)??(n?2)??n?1

424nn?1?答：（Ⅰ）X?n?2的概率为 （Ⅱ）求Xm?nm?n?218. 【解析】（I）取BC,B1C1的中点为点O,O1，连接

则

的均值为n?1

AO,OO1,AO1,AO11

AB?AC?AO?BC，面ABC?面BB1C1C?AO?面BB1C1C

同理：

AO11?面BB1C1C 得：AO//AO11?A,O,A1,O1共面

第 42 页 共 63 页

又OO1（Ⅱ）延长

?BC,OO1?AO?O?BC?面AOO1A1?AA1?BC

D，使O1D?OA 得：O1D//OA?AD//OO1 AO11到

AD?面A1B1C1 ?BC，面A1BC1C1C?OO1?面A11?面BB1B1C1? OO1 （Ⅲ）

AA1?AD2?DA2?42?(2?1)2?5

AO?BC,AO?BC??AOA1是二面角A?BC?A1的平面角 1222A1O?OO12?AO?4?2?25 11 在Rt?OO1A1中，

2AO2?AO?AA1251 在Rt?OAA中， cos?AOA???112AO?AO51 得：二面角

A?BC?A1的余弦值为?5。 519. 【解析】（I

11a2t2?1?b?y??a?2?）设t?e(t?1)；则y?at? 2atatatx1?b在t?1上是增函数 at1 得：当t?1(x?0)时，f(x)的最小值为a??b

a1?b?2?b ②当0?a?1时，y?at?at1x 当且仅当at?1(t?e?,x??lna)时，f(x)的最小值为b?2

a11xx??b?f(x)?ae?（II）f(x)?ae? xxaeae ①当a?1时，y??0?y?at?12?2?ae??b?3a??f(2)?3?????ae2e2?? 由题意得：?3???131f(2)?2???ae??b??2??ae22?2?20. 【解析】（I

x2y2b2）点P(?c,y1)(y1?0)代入2?2?1得：y1?aab

b2?04?0a PF?QF????1 ① 12?c?c4?ca2?4 ② c2?a2?b2(a,b,c?0)③ 又c第 43 页 共 63 页

x2y2??1 由①②③得：a?2,c?1,b?3 既椭圆C的方程为43（II

b2?0a2y?0a,y2)；则PF1?QF2?）设Q(?2??1?y2?2a c?c?ca2?ccb2b2?2x2a?222xybc22a?2a? 2?2?1?y?b?2x?y??2baaaab2?cb?2x2ca?y?x??c 得：kPQ

过点P与椭圆C相切的直线斜率k?c?kPQ a 得：直线PQ与椭圆C只有一个交点。 21. 【解析】（I）必要条件：当c2?0时，xn?1??xn?xn?c?xn?数列{xn}是单调递减数列

充分条件：数列{xn}是单调递减数列?x1?x2??x12?x1?c?c?x12?0

?0

得：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c （II）由（I）得：C ①当c ②当c?0

?0时，an?a1?0，不合题意

?0时，x2?c?x1,x3??c2?2c?x2?c?0?c?1

22?c?xn?0?xn?c?1?0?x1?xn?c xn?1?xn xn?2当c22?xn?1??(xn?x) ?1n)?(xn?1?xn)??(xn?1?xn)(xn?1?xn?1?11时，xn?c??xn?xn?1?1?0?xn?2?xn?1与xn?1?xn同号， 42由x2?x1?c?0?xn?2?xn?0?xn?1?xn

n??2?lim(?xn?xn?c)?limxn?c n??n?? limxn?1 当c?1时，存在N4，使xN?1?xN?xN?1?1?xN?2?xN?1与xN?1?xN异号 2与数列{xn}是单调递减数列矛盾 得：当0?

c?1时，数列{xn}是单调递增数列。 4第 44 页 共 63 页

2013年安徽卷高考数学（理科）及答案

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i是虚数单位， z复数z的共轭复数，若z?zi?2?2z，则z

=

（A）1?i （B 1?i） （C）?1?i （D）?1?i （2） 如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为

（A）

1 （B634）

25 2411 12（C） （D）

（3）在下列命题中，不是公理的是 （A）平行于同一个平面的两个平面相互平行

（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线

（4）“a?0”是函数”f(x)?|(ax?1)x|在区间(0,??)内单调递增”的

（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是

（A）这种抽样方法是一种分层抽样 （B）这种抽样方法是一种系统抽样 （C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

第 45 页 共 63 页

（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

（6）已知一元二次不等式

1f(x)?0 的解集为{x|x??1或x>} ，则f(10x)?0的解集为

2）{x|x>-lg2}（D）{x|x<-lg2}

（A）{x|x??1或x>-lg2} （B{x|?1?x<-lg2}）（C

（7）在极坐标系中，圆??2cos? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为

（A）??0(??R)和?cos?=2 （B）???2(??R)和?cos?=2

（C）???2(??R)和?cos?=1 （D）??0(??R)和?cos?=1

，x

，?

（8）)函数y=f（x）的图像如图所示，在区间[a,b]上可找到n（n≥2）个不同的数xx

n，

12

使得f?x1?/x1?f?x2?/x2???f?xn?/xn.则n

的取值范围为

(A) {3,4} (B){2,3,4} (C) ){3,4,5} (D){2,3}

（9）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两定点满足

????????????????????????????|OA|=|OB|=OA?OB=2， 则点集{P | OP=?OA+?OB ， |?|+|?| ? 1, ?,??R}

所表示的区域的面积是

（A）22 （B）23 （C）42 （D）43 （10）已知函数f（x）=x程3(f(x))23

+ax

2

+bx+c有两个极值点x

1

，x

2

，若f?x1?=x1，则关于x

的方

?2af(x)?b?0的不同实根个数为

（A）3 （B）4 （C） 5 （D）6

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。

第 46 页 共 63 页

（11

a??）若?x??x??8的展开式中x的系数为7，则实数a=_________。

4（12）设?ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c。若b?c?2a则3sinA?5sinB

，则角C=_________。

（13）已知直线

y?a交抛物线y?x2于A、B两点。若该抛物线上存在点C，使得?ABC为直角，则

a的取值范围为___________。

（14）如图，互不相同的点

A1,A2,?,An,?和B1，B2,?,Bn,? AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn?1An?1

分别在角O的两条边上，所有

的面积均相等。设OAn?an，若a1?1,a2?2则数列{an}的通项公式是_

__

_________。

（15）如图，正方体ABCD-A点，Q为线段CC

1

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为1，P为BC的中

上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截

面记为S，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。

①当0?CQ?1时，S2为四边形；

②当CQ=R满足C

1

1时，S2为等腰梯形； ③当CQ?3/4时，S与C

1

D

1

的交点

R=1/3；

④当3/4?CQ?1时，S为六边形； ⑤当CQ=1时，S的面积为 6/2。

三.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。

（16）（本小题满分12分）

已知函数

f(x)?4cos?x?sin(?x??4),(??0)的最小正周期为?。

第 47 页 共 63 页

（Ⅰ）求?的值；

（Ⅱ）讨论

f(x)在区间[0,]上的单调性。

2?

（17）（本小题满分12分）

设函数f(x)?ax?(1?a2)x2，其中a＞0，区间I?{x|f ?x?＞0}。

）；

（Ⅰ）求区间I的长度（注：区间(?，?)的长度定义为???（Ⅱ）给定常数k?(0，1)，当1?k?a?1?k时，求I

长度的最小值。

（18）（本小题满分12分）

设椭圆E

x2y2?1的焦点在轴上 ：2?2a1?a（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设F，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P1

第 48 页 共 63 页

交y轴与点Q，并且F1P?FQ1，证明：a当变化时，点P在某定直线上。

BO

DCA

（19）（本小题满分13分）

如图，圆锥顶点为P。底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°。AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°， （Ⅰ）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面； （Ⅱ）求cos?COD。

（20）（本小题满分13分）

P第（19）题图设函数

x2x3xnfn(x)?1?x?2?2???2,(x?R,n?N*)，证明：

23n*（Ⅰ）对每个n?N，存在唯一的xn2?[,1]，满足fn(xn)?0；

31。 n（Ⅱ）对任意

p?N*，由（Ⅰ）中xn构成的数列{xn}满足0?xn?xn?p?第 49 页 共 63 页

（21）（本小题满分13分）

某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X

（Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

（Ⅱ）求使取P(X?m)得最大值的整数m

。

2013年安徽卷理科数学试题解答

一、选择题

【1】（A，安徽，理1）设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数.若z?zi?2?A.1?i B.考点名称：【34】复数

2z，则z?

1?i C

.

?1?i D

.

?1?i

第 50 页 共 63 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h1br.html