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带电粒子在三种典型电场中的运动问题解析

张路生

淮安贝思特实验学校 江苏 淮安 邮编：211600

淮安市经济开发区红豆路8号

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带电粒子在电场中的运动是每年高考的热点和重点问题，带电粒子在电场中的运动主要有直线运动、往复运动、类平抛运动等。考查的类型主要有：带电粒子在点电荷电场中的运动、带电粒子在

匀强电场中的运动和带电粒子在交变电场中的运动。这类试题可以拟定不同的题设条件，从不同角度提出问题，涉及力学、电学的很多关键知识点，要求学生具有较强的综合分析能力。下面笔者针对三种情况分别归纳总结。

一、带电粒子在点电荷电场中的运动

初速度与场强方运动形式 向的关系 υ0∥E 做变速直线运动 υ0⊥E 可能做匀速圆周运动 υ0与E有夹角 做曲线运动 1、带电粒子在点电荷电场中的变速运动 【例1】如图1所示，在O点放置正点电荷Q，a、b两点连线过O点，且Oa=ab，则下列说法正确的是 A 将质子从a点由静止释放，质子向b点做匀加速运动 B 将质子从a点由静止释放，质子运动到b点的速率为υ，则将α粒子从a点由静止释放后运动到b点的速率为2?/2

C 若电子以Oa为半径绕O做匀速圆周运动的线速度为υ，则电子以Ob为半径绕O做匀速圆周运动的线速度为2υ D 若电子以Oa为半径绕O做匀速圆周运动的线速度为υ，则电子以Ob为半径绕O做匀速圆周运动的线速度为2?/2

〖解析〗：由于库仑力变化，因此质子向b做变加速运动，故A错；由于a、b之间电势差恒定，根据动能定理有qU?m?2/2，可得??2qU/m，由此可判断B正确；当电子以O为圆心做匀速圆周运动时，有kQq?2r2?mr成立，可得

??kQq/mr，据此判断C错D对。答案：BD

2、根据带电粒子在电场的运动判断点电荷的电性 【例2】 如图2所示，实线是一簇未标明方向的由点电荷Q产生的电场线，若带电粒子q（|Q|>>|q|）

由a运动到b，电场力做正功。已知在a、b两点粒子所受电场力分别为Fa、Fb，则下列判断正确的是 A 若Q为正电荷，则q带正电，Fa＞Fb

B 若Q为正电荷，则q带正电，Fa＜Fb

C 若Q为负电荷，则q带负电，Fa＞Fb

D 若Q为负电荷，则q带正电，Fa＜Fb

〖解析〗：由于粒子从a 到b电场力做正功，可知电场力指向外侧，Q、q带同种电荷；电场线密集的地方场强大，由F=qE得，a点的电场力大，故A C正确。答案：AC 3、根据带电粒子在点电荷电场中的运动轨迹，判断带电粒子的性质 【例3】 如图3所示，实线是一簇未标明方向的

由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过

该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，

若带电粒子只受电场力作用，根据此图判断正确的是 A 带电粒子所带电荷的符号 B 带电粒子在a、b两点的受力方向 C 带电粒子在a、b两点的速度何处最大

D 带电粒子在a、b两点的电势能何处最大

〖解析〗：由于不清楚电场线方向，只知道粒子受力情况是不能判断粒子所带电性的，故A错；根据粒子所做曲线运动条件可知，在a、b两点粒子所受电场力方向都在电场线上且大致向左，根据电场力做功情况可判断粒子动能和电势能变化情况。 答案：BCD

4、根据带电粒子运动情况，判断电势、电势差的大小关系

【例4】 如图4所示，为一点电荷产生的电场中的三条电场线，已知电子从无穷远处运动至A点电场力做功8eV，（无穷远处电势能为零），则下列说法正确的是

A φA<0 B φA>φB

C φA=8V D UAB>8V 〖解析〗：根据W∞A=EP∞-EPA=8eV得EPA=-8eV；再由EPA=qφ=-8eV得φA=8V>0，可见这是正电荷电场，电场线方向从A指向B，根据沿着电场线方向电势逐渐降低，可知φA>φB，A点相对于无穷远处即零电势点的电势是8V 所以A、B两点间的电势差UAB<8V. 答案：BC

二、带电粒子在匀强电场中的运动 初速度与场强方运动形式 向的关系 υ0∥E 做匀变速直线运动 υ0⊥E 做类平抛运动 υ0与E有夹角 做匀变速曲线运动 1、根据带电粒子运动情况判断电场力做功、动能变化及电势能变化情况

【例5】 在场强大小为E的匀强电场中，一质量为m、带电量为q的粒子以某一初速沿电场反方向做匀减速直线运动，其加速度大小为0.8qE/m，物体运动S距离时速度变为零．则 A 粒子克服电场力做功qES B 粒子的电势能减少了0.8qES C 粒子的电势能增加了qES D 粒子的动能减少了0.8qES 〖解析〗：根据粒子在匀强电场中的电场力做功以及动能和电势能转化关系可知B错。答案：ACD 2、带电粒子在匀强电场中的偏转问题 【例6】 如图5所示，边长为L的正方形区域abcd内存在着匀强电场。电量为q、动能为Ek的带电粒子从a点沿ab方向进入电场，不计重力。 （1）若粒子从c点离开电场，求电场强度的大小和粒子离开电场时的动能；

（2）若粒子离开电场时动能为E／k，则电场强度为多大？ d c

E

a

b 〖解析〗：（1）由L＝υ0t得 L?qEt2qEL22m?2m?2 0所以：E?4EkqL

qEL＝Ekt－Ek

所以：Ekt＝qEL＋Ek＝5Ek， ⑵若粒子由bc边离开电场，则： L＝υ0t ?qEty?m?qELm?

0E／

k－Ek＝E/?E?1q2E2L2q2E222m?2?Ly2m?2? 04Ek所以： E?2Ek(E/k?Ek)qL

若粒子由cd边离开电场，则：

qEL＝Ek/－Ek

所以：E?E/k?EkqL

3、带电粒子在匀强电场中先加速再偏转问题 【例7】 如图6所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）。

（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置。

（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置。

〖解析〗：（1）设电子的质量为m，电量为e，电子在电场I中做匀加速直线运动，出区域I时的为υ0，此后电场II做类平抛运动，假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，有

eEL?122m?0 2(L11eE?L?2?y)?2at2?2m???? 0?解得 y＝

14L，所以原假设成立，即电子离开ABCD区域的位置坐标为（－2L，14L）

（2）设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到υ1，然后进入电场II做类平抛运动，并从D点离开，有

eEx?12m?21

2

y?11eE?L?2at2?2m????

1?解得 xy＝L24，即在电场I区域内满足议程的点即

为所求位置。

4、带电粒子在匀强电场中的一般曲线运动 【例8】 如图7所示，三条平行等距的直线表示电场中的三个等势面，电势值分别为10V、20V、30V，实线是一带负电的粒子（不计重力）在该区域内的运动轨迹，对于这轨道上的a、b、c三点来说

A 粒子必先过a，再过b，然后过c B 粒子在三点所受电场力Fa=Fb =Fc C 粒子在三点的动能大小Ekb > Eka >Ekc D 粒子在三点的电势能大小EPb > EPa >EPc 〖解析〗：该电场必为匀强电场，根据题意，带负电的粒子所受电场力向下，由做曲线运动条件可知，粒子可先过 c，再过b，然后过a；根据EP=qφ可知D正确；因为粒子受到合外力为电场力，所以粒子运动过程中满足动能与电势能之和为一定值，由此可判断C错。答案：BD

三、带电粒子在交变电场中的运动

1. 带电粒子在交变电场中的单向直线运动 【例9】 平行板间加如图8（a）所示周期变化的电压，重力不计的带电粒子静止在平行板中央，从t＝0时刻开始将其释放，运动过程无碰板情况。图8（b）中，能定性描述粒子运动的速度图象正确的是 U U 0 0T 2T T/2 3T/2 －Ut 0

（a）

〖解析〗：0～T/2时间内粒子做初速度为零的匀加速直线运动，T/2～T时间内做加速度恒定的匀减速直线运动，由对称性可知，在T时刻粒子速度为零，以后周期性重复。答案：A

2、带电粒子在交变电场中的往返运动

【例10】 若上题中平行板间施加如图9所示的交变电压，其他条件不变，则能定性表示粒子运动图象的是

〖解析〗：根据牛顿第二定律分析可知粒子将在一条直线上做往返运动，但不是简谐运动。答案：B 3、带电粒子在交变电场中的偏转问题

【例11】 在真空中速度为υ=6.4×107m/s的电子束连续地沿板的方向射入两平行极板之间，极板长度为l=8.0×10-2m，间距为d=5.0×10-2m。两极板不带电时，电子束将沿两极板的中线通过，今在两极板上加50Hz的交变电压U=U0sint，当所加电压的最大值U0超过某一值UC时，将开始出现以下现象：电子束有时能通过极板，有时不能通过极板（电子

质量m=9.1×10-31kg，电子电量e=1.6×10-19C）。求：UC的大小。 〖解析〗：（1）电子沿平行板方向做匀速直线运动。通过平行板的时间为t=L/υ=1.25×107s

交变电压的周期为0.02s，因t≤T，故每个电子通过平行板间电场的极短时间内可近似认为极板间电压未变，电场未变，从而可按匀强电场处理。 电子在峰值电压下通过电场时的侧向位移

y?12eU12at?() 22dm?很明显，当y≥d/2时，电子将不能通过两极板，

而是打在某极板上，即有

eU12d()? 2dm?2m?2d2解得。U??9100V

el2从而UC=9100V（因为板间电压是峰值UC时，电子恰好打在极板的边缘上，所以当板间电压小于UC时，电子肯定能通过。但当U0≥9100V时，就会出现有时有电子通过，有时没有电子通过的现象）。 四、总结

1、带电粒子一般指电子、质子、离子等基本粒子，除非有特别说明或者题意中有明确暗示之外，其重力一般忽略不计，注意并非忽略质量。 2、处理带电粒子在电场中运动的方法

（1）动力学方法——牛顿运动定律和匀变速直线运动公式的结合，要求受力分析全面，特别注意重力是否要考虑，另外要注意矢量的方向性问题 （2）动能定理——要求过程分析全面，准确求出所有功，同时决定是分段还是全过程使用动能定理 （3）能量守恒方法——准确分析题目中有多少形式能量参与转化，哪种能量增加，哪种能量减少，并注意电场力做功与路径无关。

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