2012年武汉市中考数学知识要点解读

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年武汉市中考数学知识要点解读

一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．【有理数大小的比较】考查学生对正负数的概念及大小的比较. （1）下列四个数中，最大的数是( ).

(A)-3 (B)-1 (C)0 (D)2 （2）在-3，0，3，-2四个数中，最小的实数是( ). (A)-3 B.0 C.?5 D.3 （3）下面四个数中比－2小的数是( ).

(A)1 (B)0 (C)-1 (D)-3 2．【函数自变量的取值范围】分式或二次根式的自变量取值范围的求解. （1）在函数y?3?x中，自变量x的取值范围是( ).

(A) x≤?3 (A)x＞2 （3）在函数y?(B)x≥?3

(C)x≤3

(D)x＞?3

（2）式子2?x在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ).

(B)x≥2

(C)x＜2

(D)x≤2

1中，自变量x的取值范围是( ). x?1(A) x≥1 (B)x?1 (C)x＞1 (D) x≤1 （4）下列函数中，其中自变量取值范围是x＞1的是( ).

11(A)y? (B)y? (C)y?x?1 (D) y?x?1

x?1x?13．【不等式（组）与数轴上的解集】①给出不等式组，选择正确的数轴上的解集表示；②给出数轴上的解集表示，选择符合解集的不等式（组）.注意不等号的方向及数轴上点的虚．．．实.（常见由不等式（组）确定数轴上的解集） ．

?x?2≤3（1）不等式?的解集在数轴上表示正确的是( ).

?1?2x≤5

(A) (B) (C) (D) （2）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，

则该不等式组可能为( ). (A)??x＞?1

x≤2?(B)??x≥?1?x＞?1 (C)?

x＜2x≥2??(D)??x＜?1

?x≤24．【事件与概率】事件(随机事件、必然事件、不可能事件)的判断，概率的实际意义.

（1）下列事件，必然事件的是( )，随机事件的是( )，不可能事件的是( ).

(A)同时掷两枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数之和为1 (B)同时掷两枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数之和是偶数 (C)同时掷两枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数之和是7

(D)同时掷两枚均匀的普通正方形骰子，骰子停止后朝上的点数之和一定不大于12

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 1 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ （2）下列事件中：①找到一个三角形，其内角和为360°；②“彩票中奖的概率是1%”

表示买1000张彩票必有10张会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下；④两直线平行，同位角相等，属于必然事件的有( ). (A)①②③

(B)①④ (C)③④

(D)①②④

（3）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1

个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件( ). (A)随机事件 (B)不可能事件 (C)必然事件 (D)确定事件

5．【一元二次方程根与系数的关系】

（1）若x1、x2是一元二次方程x2?2x?6?0的两个根，则x1?x2的值是( ). (A)6 (B)-6 (C)2 (D)-2

（2）若x1、x2是一元二次方程x2?3x?4?0的两个根，则x1?x2的值是( ).

(A)3 (B)-3 (C)4 (D)-4 （3）若x1、x2是一元二次方程x2?5?0的两个根，则x1?x2的值是( ). (A)5 (B)-5 (C)0 (D)25 6．【科学记数法】用科学记数法表示极大数.

（1）2012年伦敦奥运会体育场位于伦敦东部的斯特拉特福，因

外形上阔下窄，又被称为“伦敦碗”，预计可容纳8万人， 分为两层，上层是55000个临时座位．将55000用科学记数

法表示为( ).

3543

(A)55310 (B)0.55310 (C)5.5310 (D)5.5310 （2）同学们，你认识如图所示的卡通人物吗？没错，它就是美国

著名3D卡通电影《里约大冒险》(Rio)中的两个主人公： 两只漂亮的鹦鹉——布鲁和珠儿，凭借着影片中所寄寓的 独特情感，该片在2011年3、4、5月连续三个月蝉联全球 票房总冠军，累计票房达286亿美元．“286亿元”用科学 计数法应书写为( ).

(A)2.86310元 (B)2.86310元 (C)2.86310元 (D)2.86310元

6．【角度计算】利用轴对称性（等腰三角形、垂直平分线），结合多边形内角和、平角等，进行角度的计算，注意外心、内心、垂心性质的隐藏. （1）如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，

使点B落在点Bˊ处，DBˊ，EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80o ，则∠CEG的度数为( ).

(A)30° (B)40 ° (C)45° (D)30°

（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC

边上的点E处，若∠EBC=20°，则∠BAD的度数为( ).

(A)100° (B)110° (C)115° (D)120°

（3）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，其中AE、

CE折叠后重合于OE，则∠1＋∠2的度数为( ).

(A)120° (B)135° (C)150° (D)180°

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8

9

10

11

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ DA E

BC

（4）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I，将△ABC沿DE折

叠，使点A恰好落在I点处，若∠BID=105°，则∠A的度数为( ). (A)36° (B)40° (C)45° (D)54°

（5）如图，△ABC中，O为三边垂直平分线的交点，将△ABC沿DE折叠，使顶点A恰好

落在O点处，若BD=OB，则∠C的度数为( ). (A)45° (B)54° (C)60° (D)72°

（6）如图，△ABC中，H为三边高线的交点，将△ABC沿DE折叠，使顶点B恰好落在H

点处，若∠AHD=100°，则∠CHE的度数为( ).

(A)100° (B)90° (C)80° (D)75°

IADEDAEDAHOBCBCBEC（7）如图，等腰△ABC中，AC=BC，P为顶角的平分线上一点，将△BCP沿BP折叠，使点

C恰好落在AB边上的点D点处，若AD=DP，则∠A的度数为( ).

(A)30° (B)36° (C)45° (D)54°

（8）如图，等腰△ABC中，AB=AC，P为其底角平分线的交点，将△BCP沿CP折叠，使B

点恰好落在AC边上的点D处，若DA=DP，则∠A的度数为( ).

(A)20° (B)30° (C)32° (D)36°

（9）如图，AD为△ABC的角平分线，∠ADB=45°，将△ACD沿直线AD翻折，点C落在

AB的延长线上的点E处，若CD=4，则CE的长度为( ).

(A)8 (B)6 (C)42

(D)43

CD45?A2012年武汉市中考数学知识点解读 第 3 页 共 36 页

BE☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 7．【视图与投影的考查】 三视图：①判断给出的两个立体图形的三视图之间的关系；②根据立体图形，判断符合

条件的三视图；③给出三视图，判断立体图形.

（1）分别由六个大小相同的正方体组成的甲、乙两个

几何体如图所示，它们的三视图中完全一致的 是( ).

(A)主视图 (B)俯视图 (C)左视图 (D)三视图 （2）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是( ).

(A) (B) (C) (D)

（3）由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的三视图如下右图所示，则这个几何体

只能是( ).

(A) (B) (C) (D)

（4）右图是由四个相同立方体组成的立体图形的主视图和左视图，则原立体图形可能

是（ ）.

(A)①②③ (B)①②④ (C)①③④ (D)②③④ 9．【规律探究】

（1）通过图形中的点或图案数量的变化规律，探求有限个（第n个）图形中点或图案的个数；（2）运动规律；（3）坐标系中点的坐标变化规律.

（1）观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形“★”的个数是( )． (A)4n (B)3n+1 (C)4n-3 (D)3n-2

（2）观察下列图形：图1中有3个小正方形，图2中有6个小正方形，图1中有11个

小正方形，??，根据图中小正方形的变化规律，则第8个图形中小正方形的个数是( ).

(A)24个

(B)51个 (C)64个 (D)66个

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 4 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ （3）如图坐标平面上有一正五边形ABCDE，C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，下列会经过点（75，0）的点是( ).

(A)点A (B)点B (C)点C (D)点D

（4）如图，从内到外，边长依次为2，4，6，8，?的所有正六

边形的中心均在坐标原点，且一组对边与x轴平行，它们的

顶点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、 A12??表示，那么顶点A62的坐标是( ). A．（-10，-103） B．（-11，-113）

C．（-12，?123） D．（11，113）

（5）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是( ).

1 3 5 m 2 3 4 15 6 35 8 n

(A)48 (B)56 (C)63 (D)74

10．【圆中与切线有关的线段计算】结合切线、直径构建直角三角形相似或勾股定理求线段

的长度或或角的三角函数值.

（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，

连结DE并延长交直线BC于点F.若AC=3，BC=4，则sin∠F的值为 ( ).

(A)

5121 (B) (C) (D)

5253（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，经过点A的⊙O与BC边相切于点M，⊙O 分

别交AB、AC于D、E两，P为?AD上任一点，则sin?APE的值为( ). (A)

3435 (B) (C) (D) 5545（3）如图，⊙O内切于Rt△ABC，点P、点Q分别在直角边BC、斜边AB上，PQ⊥AB，

且PQ与⊙O相切，若AC=2PQ，则tan?B的值为( ). (A)

2313 (B) (C) (D)

23242012年武汉市中考数学知识点解读 第 5 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ PADBECFDBMAQAOEOCPB（4）如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB边上一点，且BD=2AD，过点D 作DE//BC，⊙O

内切于四边形BCED，则sinB的值为( ). (A) (B)

C13231 (C) (D) 222 （5）如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O内切于Rt△ABC，AC边切⊙O于点D，若AC=4，

BC=3， 则tan∠BAO的值为( ).

(A)

1 3(B)

1 2(C)

3 4(D)2

2（6）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径的⊙O切CD于点E，

若AD=1，BC=4，则⊙O的直径AB的长为( ).

(A)3 (B)4 (C)22 (D)23

AD

E

O

B

C11．【统计图表】结合统计图表中的信息，进行简单的统计运算，注意淡化增长率的计算.

（1）某市教育行政部门为了解初中学生参加综合实践活动的情况，随机抽取了本市七年

级、八年级、九年级各500名学生进行了调查．调查结果如图所示，请你根据图中的信息，下列说法：①本次调查活动采用的最合理的方式是只选择一所重点中学进行抽样调查；②在被调查的学生中，七年级参加综合实践活动的比例最高，高达90%③在被调查的学生中，参加文体活动的人数最多达570人；④如果本市有90000名初中学生，估计参加科技活动的学生约有5700名. 其中正确的结论有( ). (A)①②③

(B)①②④

(C)①③④

(D)②③④

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 6 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ （2）为响应国家要求中小学生每天锻练1小时的号召，某校开展了形式多样的“阳光体育运动”活动，小明对本校部分同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的部分数据的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2），根据图中的信息，下列结论：①小明本次调查最合理的方式是选择不同的年级、不同班级的学生进行随机调查；②在调查的学生中喜欢乒乓球的同学有5人；③估计该校2000名学生中喜欢足球的学生有400人；④小洪是该校的一名同学，那么他喜欢“其它”兴趣爱好的概率是0.2．其中正确的结论有( ). (A)①②③

(B)①②④

(C)①③④

(D)②③④

（3）某校有三个年级，各年级的人数分别为七年级700人，八年级600人，九年级700

人，学校为了解学生生活习惯是否符合低碳观念，在全校进行了一次问卷调查，若学生生活习惯符合低碳观念，则称其为“低碳族”；否则称其为“非低碳族”，经过统计，将全校的低碳族人数按照年级绘制成如下两幅统计图.根据图①、图②，下列判断：①八年级“低碳族”人数为490人；②七年级的“低碳族”人数在本年级全体学生中所占的比例为50%；③与其他两个年级相比，九年级的“低碳族”人数在本年级全体学生中所占的比例最大；④该校全校“低碳族”人数占全校人数的比．．．．．．．

例为70%. 其中正确结论的个数是( ). (A)①②③

(B)①②④

(C)①③④ (D)②③④

12．【几何图形的多结论判断】

（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD‖BC，CD⊥AC，过点C作CH⊥AB于点H，连接

BD分别交AC、CH于P、E两点，下列的结论：①AD平分∠HAC；②△ACD∽△BHC；

③CE=HE；④

BD2BA.其中正确结论的个数是( ). ?BEBH(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 7 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ （2）如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，F为边CB延长线上的一点，BE=BF，延长CE交AF于点G，AC、DG交于点M. 下列结论：①△ABF≌△CBE；②△ACF∽△DGC；

③S四形ADCG?DG2；④若E为AB的中点，则

GM3?.其中正确的结论( ). DM5(A)只有①② (B)只有②③④ (C)只有①②④ (D)①②③④ （3）如图，矩形ABCD中，AD=2AB，AE平分∠BAD，DH⊥AE于点H，延长BH交DE于

点F，连接CF. 下列结论：①AD=AE；②BF⊥CF；③DE?2BH；④2CF=CE2CB.其中正确结论的个数是( ).

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

ADAHM2

DFADEPBCGEHBCEFBC

（4）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点H，CM平分∠ACD交DH于点F，交AD于点M，

MN⊥CM交AC于点G，交AB于点N，AN=DM，下列结论：①DM=DF；②△CDF≌△MAG；

③DE=AN+CE ；④若N为AB的中点，则

CE4?.其中结论正确的个数是( ). BE5 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

（5）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，过点E作FE⊥BE交AD于点F，EG∥BF交

BC于点G，则下列结论：①EF平分∠BFD；②△DEF∽△EBF；③AF=2CG；④若四边

形BFEG为等腰梯形，则

CG1?．其中正确的结论是( ). BG2(A)只有①② (B)只有①②④ (C)只有②③ (D)①②③④ （6）如图，大小相同的两个正方形ABCD和正方形CDEF中，以CD为边在正方形ABCD

的形内作等边△PCD，CH⊥DP于点H，连接FP交CH于点M，延长BP交CH的延长线于点N，则给出下列结论：①△PMN为等腰直角三角形；②BN=FM；③FM=3PM；④PF=2CN．其中正确的结论是( ).

(A)只有①② (B)只有①②④ (C)只有② (D)①②③④

A N BMFHEDNAPDHMCFEGCB2012年武汉市中考数学知识点解读 第 8 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ （7）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠ADC=90°， AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点E，F为BC上一点，BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点

H.下列结论：①AF⊥CE；②△ABF∽△DGA；③AF=2DH；④S四ADCG?DG2.其中正确的结论有( ).

(A)①②③ (B)①②④ (C)②③④ (D)①②③④

（8）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，点M、F、E分别在线段CD、CA、

AD上，点N、G、H分别在线段DC、CB、BD上，且四边形DMFE，DNGH都为正方形．下

列结论：①△AEF∽△GHB；②△CFM≌△GCN；③其中正确结论的个数是( ). A(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个

二、填空题： B13．【特殊角的三角函数值】

12S正方形DMFE?cos2B；④CG?AF.

GBFCS正方形DNGHDHFCNMDHBGEGFCAE（1）计算：sin30°= ；sin45°= ；sin60°= . （2）计算：cos30°= ；cos45°= ；cos60°= . （3）计算：tan30°= ；tan45°= ；tan60°= . 14．【统计与概率】结合统计图表等识别四种特征数：平均数、中位数、众数和极差； （1）某班科技小组的6名学生参加科技小组活动的次数分别是：15，18，20，20，22，

25，那么这组数据的众数是_____，平均数是_____，中位数是 ，极差是 .

学生数（人） （2）为了解初三学生的体育锻炼时间，小华调查了某班

20 18 45名同学一周参加体育锻炼的情况，并把它绘制 15 8 10 成折线统计图．那么关于该班45名同学一周参加 10 5 4 体育锻炼时间，其中众数是 ，中位数是 ，5 0 7 8 9 10 11 锻炼时间（h） 平均数是 ，极差是 .

（3）兴趣小组20位同学在实验操作考试中的得分情况如下表： 得分(分) 人数(人) 10 5 9 8 8 4 7 3 则这20名同学实验操作考试成绩的平均数是_____，众数是_____，中位数是_____． （4）一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数

如图所示（单位：粒），则这组数据的平均数 为 ，中位数为 ，众数为 .

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☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 15．【一次函数在实际问题中的应用】注意一次函数图象中特殊点（拐点、交点）的意义 （1）如图，l1反映了某公司每天产品的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该公司

每天产品的销售成本与销售量之间的关系. 当销售量为 吨时，每天的销售利润为1000元.（销售利润＝销售收入－销售成本）

（2）为缓解用电紧张矛盾，某地电力公司特制定了新的居民生活用电收费标准，新标准

中每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.根据图象，可以知道，当某个家庭某月生活用电为90度时，该家庭当月电费为 元.

（3）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶.甲车先到达B地，停

留一小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇.乙车的速度为40km/h，两车间距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数图象如下，则甲车从A到B的速度为 ，从A地返回B地的速度为 ，AB两地的距离为 .

ly/元

16000

50004000300020001000l2y(元)7025123456x(度)50100O（4）小红家离学校的距离为4000米，某天上学，她先步行后乘车刚好按时到校，其行

程情况如图所示．若她只步行上学，仍想按时到校，则她应提前____分钟出发上学． （5）如图，反映的是甲、乙两人以一定的速度从公司出发步行到火车站乘车的过程.在

去火车站的途中，甲忽然发现忘带预购的车票，立刻以同样的速度返回，然后乘坐出租车赶往火车站，途中与乙相遇后，带上乙一同到火车站，结果到火车站的时间比预计步行到火车站的时间早到了3分钟，则公司到火车站的路程是 米. （6）有甲、乙两个均装有进水管与出水管的容器．初始时，两容器同时只开进水管．甲

容器到8分钟时，关闭进水管而只打开出水管；到16分钟时，又打开了进水管，此时既进水又出水，到28分钟时，同时关闭两容器的所有水管，两容器每分钟进水量与出水量均为常数，容器内的水量y（升）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，则从初始时刻到两容器最后一次水量相等所需要的时间为 分钟．

（7）倩倩和阳阳到距离学校6公里的东湖春游，倩倩步行，

阳阳骑自行车，沿相同路线前往.如图，l1 、l2分别 是表示倩倩和阳阳前往目的地所走的路程y（公里） 与所用时间x(分钟)之间的函数关系图象，则阳阳比 倩倩提前 分钟到达东湖.

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x/ 吨

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 16．【反比例函数】适当设双曲线上点的坐标（双元或单元），用坐标转化题中的几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解. （一）特征点的横、纵坐标之间的倍分关系（横坐标加倍，纵坐标减半）

（1）如图，矩形OBAC的顶点A在双曲线y?

k

（x＞0）上，B、C两点分别在两坐标轴x

上，将矩形OBAC绕B点顺时针旋转90°得到矩形FBDE，使得D点在x轴上，F点在AB上，DE、EF分别交此双曲线于M、N两点，若OC=2OB，△EMN的面积为1，则k= ．

（2）如图，A为x轴正半轴上一点，B为OA的中点，线段OB、AB的垂直平分线分别交

双曲线y=k(x>0)于P、Q两点，若S△BQP=4，则k= .

x（3）如图，等腰△ABC中，AB=AC，BC∥x轴，点A、点C在反比例函数y?4（x＞0）x的图象上，点B在反比例函数y?（x＞0）的图象上，则△ABC的面积为______.

yCFOBANEMDx1xyABOCx4（4）如图，平行于y轴的直线l1分别与双曲线y?（x＞0）

x1和双曲线y?（x＞0）交于A、B两点，平行于y轴的

x直线l2分别与这两支双曲线交于D、C两点，直线l1、l2

分别与x轴交于P、Q两点，若P为OQ的中点， 则四边形ABCD的面积为 .

（5）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，B、C两点在x轴上， 点A在反比例函数y?在反比例函数y?yADk

（x＜0）的图象上，点D x

1（x＞0）的图象上，若BC=2AD， x且梯形ABCD的面积为6，则k= . （6）如图，过O任作作直线交双曲线y?于C、D两点，则

BOCx24?x＞0?于A、B两点，交双曲线y??x＞0? xxAB= . CD2012年武汉市中考数学知识点解读 第 11 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ （7）如第（6）题图，过O任作作直线交双曲线y?2?x＞0?于A、B两点，交双曲线xk?x＞0?于C、D两点，若CD=2AB，则k= . x41（8）如图，A为双曲线y?（x＞0）上任意一点，OA交双曲线y?（x＞0）于点B，

xx4过B作x轴的平行线交双曲线y?（x＞0）于点C，连接AC并延长交x轴于点D，

xy?则四边形OBCD的面积为 .

（9）如图，过y轴正半轴上的任意一点作y轴的垂线，分别与反比例函数y1??（x＜0）

1x44和y2?? （x＜0）的图象交于点A和点B，延长OA交反比例函数y2??（x＜0）

xx的图象于点C，过C作CD∥AB交OB的延长线于点D，则四边形ABDC的面积为 .

y

yCDBxOBACDxAO （二）相似的运用（直角、角平分线）

（10）如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，A点在反比例函数y?

B点在反比例函数y?k

（x＜0）的图象上，x

2（x＞0）的图象上，若∠A=30°，则k= . x21（11）如图，点A、B分别在反比例函数y?（x＞0）、y??（x＞0）的图象上，

xx且OA⊥OB，则tan?B的值为 .

（12）如图，矩形ABCD中，点A、B、C分别在坐标轴上，点D在反比例函数y1?（x＞0）

1的图象上，若直线BC的解析式为y??x?2，

2则k的值为 .

yBOADkxCxyABOx2012年武汉市中考数学知识点解读 第 12 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ （12）如图，直线AB交两坐标轴于A、B两点，与双曲线y?

AC=4BC，且△ABO的面积为5，则k= . （13）如图，点A、点B分别在反比例函数y1??k（x＜0）交于C点，若x

k1（x＜0）和y2? （x＞0）的图

xxk

（x＜0）的图象上，B点在y轴x

象上，∠AOB恰好被y轴平分，若△OAB的面积为4，则k的值为 . （14）如图，在菱形OABC中，A点在反比例函数y?

正半轴上，边OC与反比例函数y?（x＞0）的图象交于点D，若D为OC的中点，则k= .

2xyBAO4xyCABOxx （三）直线k的运用

（15）如图，直线y?2x?b与反比例函数y?（x＞0）的图象交于点A，与y轴正半轴交于点B，BC∥x轴，连接AC，若AC⊥AB，则△ABC的面积为 . （16）如图，直线y??2x?4与两坐标轴交于A、B两点，过B作AB的垂线交反比例函

k

（x＞0）的图象于点C，若△ABC的面积为5，则k= . x

k

（17）如图，直线y??x与双曲线y?（x＜0）交于A点，将直线y??x沿x轴向左

x

数y?

平移2个单位交此双曲线于B点，交x轴负半轴于点C.

①若OA=2BC，则k= .②若四边形ABCO的面积为4，则k= . （18）如图，平移直线y??x，平移后的直线与有唯一的公共点A，与反比例函数y?

（x＞0）的图象交于点B，与y轴交于点C，若AC=BC，则k= .

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 13 页 共 36 页

k x

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 三、解答题： 17．【解分式方程】去分母化为整式方程，再求解.注意：①相反因式的符号处理；②验根. ．．．．

例1．解方程：

522xx； 例2．解方程：?3???3.

x?33?xx?22?x

18．【等定系数法求一次函数的解析式，并求不等式的解集】.

例1．直线y?kx?b经过A（2，1），B（-1，-2）两点，求关于x的不等式kx+b≤0的

解集.

例2．直线y?kx?6经过点A（-2，-2），求关于x的不等式kx?6≥0的解集. 19．【全等三角形证明】要求证明过程完整，书写规范.

例1．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分

线？请说明你判断的理由．

例2．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，

∠A=∠D，AF=DC，求证：BC∥EF． 20．【统计与概率的综合运用】古典概率的综合运用，结合列表法或画树形图法求简单的概

率，注意“放回”与“不放回”两种方式的区别.

例1．九（1）班“2012年新年联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有5张纸牌，背

面都是喜羊羊头像，正面有2张红桃K、 3张黑桃K．现将5张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌．

（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是红桃K的就获奖，正面是黑桃K的不获奖．她

从中随机翻开一张纸牌，那么她获奖的概率是 ； （2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同．．．

时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现红桃K就获奖．那么他们获奖．．．．

的机会相等吗？请通过树状图或列表法分析说明理由．

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 14 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例2．在一个不透明的盒子中，放入2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出2个球，请通过列表或树状图求摸出2个球都是白球的概率； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回盒中，再次搅匀后从中任意摸出

1 个球，则2次摸出的球都是白色的概率为 ；

（3）现有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成60个相等的扇形，这些扇形除颜

色外完全相同，其中40个扇形涂上白色，20个扇形涂上红色，转动转盘2次，指针2次都指向白色区域的概率为 .

例3．2012年“东风雪铁龙2汤姆斯杯暨尤伯杯赛”将于5月20日在武汉体育中心体育馆

—沌口体育场举办，张红和张伟姐弟俩都很想去观看，可比赛开幕式的门票只有一张，他们各自设计了一个方案：

张红的方案是：转动如图所示的转盘，如果指针停在阴影区域，则张红得到入场券；

如果指针停在白色区域，则张伟得到入场券（转盘被等分成6个扇形．若指针停

在边界处，则重新转动转盘）；

张伟的方案是：从一副扑克牌中取出方块1、2、3，将它们背

面朝上重新洗牌后，从中摸出一张，记录下牌面数字后放 回，洗匀后再摸出一张．若摸出两张牌面数字之和为奇数， 则张红得到入场劵；若摸出两张牌面数字之和为偶数， 则王伟得到入场券．

（1）计算张红获得入场券的概率，并说明张红的方案是否公平？

（2）用树状图（或列表法）列举王伟设计方案的所有情况，计算王伟获得入场券

的概率，并说明王伟的方案是否公平？

例4．张老师让同学们为班会活动设计一个抽奖方案，拟使中奖概率为60%．

(1)小明的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入10个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，否则不中奖．如果小明的设计符合老师要求，则盒子中黄球应有 个；

(2)小兵的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入4个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球则表示中奖，否则不中奖．该设计方案是否符合老师的要求？试说明理由．

例5．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大

小均相同的16张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，4，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负． （1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？ （2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？ （3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 15 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 21．【图形变换】（1）图形的平移、旋转、轴对称的画法，重点要注意旋转90°的画图，区

分旋转方向（注意：通过对应点的坐标确定平移的方向和平移量）； （2）根据画图写出特征点的坐标；

（3）第（3）问可能涉及的考点：①点旋转经过的路径；②线段旋转扫过的

面积；③两种图象变换后得到的两个图形之间存在的变换关系；④设

计第四个图形，使四个图形成某种变换.

例1．如图所示，每一个小方格都是边长为1的单位正方形.△ABC的三个顶点都在格点上，

以点O为坐标原点建立平面直角坐标系.

（1）点P（m，n）为AB边上一点，平移△ABC得到△A1B1C1，使得点P的对应点P1的坐

标为（m-5，n+1），请在图中画出△A1B1C1，并写出A点的对应点A1的坐标为 ；

（2）请在图中画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A点的对应点

A2的坐标为 ；

（3）在（2）的条件下，求线段BC在旋转过程中扫过的面积.

例2．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系

后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A点的对应点A1的坐标为 ； （2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出A点的对应点

A2的坐标为 ；

（3）①△A1B1C1与△A2B2C2是否关于某条直线成轴对称吗？若是，请画出所有的对称轴；

②△A1B1C1与△A2B2C2是否关于某点成中心对称吗？若是，写出所有的对称中心点的坐标.

例3．如图，在直角坐标系中，已知A点坐标是（-3，2）．

（1）把△ABC向右平移5个单位，再向上平移2个

单位得到△A1B1C1．请画出平移后的△A1B1C1； （2）把△ABC绕点（1，1）逆时针旋转90°得到

△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2，若P（a，b） 为△ABC的边AC上一点，观察图中△ABC与 △A2B2C2对应点坐标之间的关系，请直接写出

P点在△A2B2C2的边A2C2上对应点的坐标为______．

（3）在上述两次图象变换中，点A→点A1的路径的长度比点A→点A2的路径的长度

长 单位．（结果保留根号和?）

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 16 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 22．【圆的证明与计算】 例1．如图，以菱形ABCD的边AB为直径作⊙O，⊙O交对角线BD于点E，交边BC于点F，

过点E作BC的垂线分别交AD、BC于P、Q两点. （1）求证：PQ为⊙O的切线；

（2）若PQ=4，BD=45，求sin?ADC的值.

例2．如图1，等腰△ABC中，AC=BC=5，AB=25，O为腰AC上的一个动点，以O为圆心OA

为半径作⊙O交AB于点P，PD⊥BC于点D.

（1）求证：PD为⊙O的切线；

（2）如图2，当O点运动到⊙O恰好与BC相切时，设切点为E点， 连接CP，求tan?BCP的值.

E

C

BDPOA

图2图1

例3．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点

E，F在DA的延长线上，且AF=AD． （1）求证：BF是⊙O的切线；

4CD（2）若cos∠ABF= ，求的值．

5 BD

例4．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，以点A为圆心，AB为半径的圆，交BC于点E．

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）如果BE=4，CE=2，求cos?B的值．

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 17 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ ??CD?，CE⊥AD于点E. 例5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BC（1）求证：CE为⊙O的切线；

（2）过点E作EH⊥AB于点H，若AH=3，BH=5，求线段CE的长.

例6．如图，在△ABC中，AB＝AC，M为△ABC的三条角平分线的交点，O为AC边上一点，经

过C、M两点的⊙O交AC于另一点D．

（1）判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）延长DM交BC于点N，若AB=6，BC=4，求

BN的值． CN例7．如图， AB为⊙O的直径， AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延

长线上一点，且CE=CB．

（1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）连接AE并延长线与BC的延长线交于点G，若AB=25，AD=2，求△CEG的面积．

C

AD DFE O O GBC BA例8．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，点O在对角线AC上，以OA的长为半

径的⊙O过点D，与AC交于点F，且∠CAB=∠DCB． （1）求证：CD为⊙O的切线；

2，BC=2，求⊙O的半径． 2例9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，

AB=BC，以A为圆心AD为半径作半圆⊙A. (1)求证：直线BC是⊙A的切线；

(2)设BC与⊙A相切于E点，连接AE、BD交于点F， DE4若tan?ABC?，求tan∠ADC.

AE3（2）若tan∠ACB=DCAB2012年武汉市中考数学知识点解读 第 18 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 23．【二次函数的应用】

（1）经济类问题；ab型或a±b型

例1．某批发商以每件50元的价格购进1200件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了

300件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出300件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出15件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元． （1）填表（不需化简）：

时 间 第一个月 第二个月 清仓时

单 价（元） 80 40 销售量（件） 300

（2）设批发商销售这批T恤的获得的总利润为y（元），试求出y与x之间的函数关系

式，并写出x的取值范围；

（3）当第二个月的销售单价为多少元时，才使得销售这批T恤获得的利润最大？

例2．某照明有限公司研制出一种新型节能灯，每件的生产成本为18元，销售过程中发现，

每月的销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看做一次函数式：

y??2x?100.假定该公司每月生产的新型节能灯能够全部销售完.

（1）设公司每月的销售总利润W（万元），当销售单价定为多少元时，每月可获得的

总利润最大？并求这个最大总利润；【销售总利润=（销售单价-每件的生产成本）3销售量】

（2）若四月份公司获得的销售总利润恰好为480万元，那么四月份该新型节能灯的

销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门的规定，这种新型节能灯的销售单价不得高于成本的2倍（即不

得高于36元）. 若公司希望五月的销售总利润不低于四月份公司获得的销售总利润480万元，那么公司五月份的生产成本最少需要多少元？【生产总成本=每件的生产成本3销售量】

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 19 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例3．某企业共投资10万元生产A，B两种产品，该企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之

间存在正比例函数关系：yA?kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元．

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之

间存在二次函数关系：yB?ax2?bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4

万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．

（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

（2）请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润； （3）请你设计投资方案使该企业想要获得的利润不低于5万元？

例4．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和生

产进行了调研，结果如下：一件商品的售价．．M（元）与时间t（月）的关系可用一条

线段上的点来表示（如图1）；一件商品的成本．．Q（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2）.

（1）一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价－成本）

（2）求图2中表示一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式； （3）你能求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关

系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30 000件，请你计算一下该公司在一个月内最少获利多少元？

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 20 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ （2）几何类问题；

例5．用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示 A窗框的宽，EF=0.5米．(铝合金条的宽度忽略不计)

B（1）求窗框的透光面积S（平方米）与窗框的宽x（米）之间

的函数关系式；

（2）如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大面积是多少？ （3）当窗框的面积不小于10平方米时，试结合函数图象，

C直接写出x的取值范围．

例6．某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，

已知制造窗框的钢筋总长(图中所有的黑线的长度和)为24米. （1）求出y与x的函数关系式；

（2）因采光的需要，当x等于多少时，可以保证窗户的面积最大？ （不考虑钢筋的粗细所占的面积）

（3）当窗框的面积不小于9平方米时，试结合函数图象，直接

写出x的取值范围．

（3）抛物线形建模问题.

例7．如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子

OA，O恰好在水面的中心，OA=1.25米.由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米.

（1）建立适当的平面直角坐标系，使A点的坐标为（0，1.25），水流的最高点的坐标

为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；

（2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落

到池外？

（3）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池

外，此时水流距水面的最大高度就达到多少米？

FG0.5米EHD 图7

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 21 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例8．李明在进行投篮训练，他从距地面高1.55米处的O点向篮圈中心A点投出一球，球的飞行路线为抛物线，当球达到距地面最高点3.55米时，球移动的水平距离为2米．以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OB的夹角为30°，A、B两点相距1.5米．

（1）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式； （2）判断李明这一投能否把球从O点直接投入

篮圈A点（排除篮板球），如果能，请说明 理由；如果不能，那么李明应向前或向后 移动多少米，才能投入篮圈A点？ （结果保留根号）

例9．如图，足球场上守门员在禁区开出一高球，球从离地面1米的处飞出(在y轴上)，运

动员甲在距守门员开球点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点距守门员多少米？(取43?7)

（3）运动员甲要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？(取26?5)

y421OBCDMx例10．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，已知拱桥的最大高度

为5米，跨度AB的长为20米.

（1）以AB为x轴建立图中的直角坐标系，且拱桥的最高点C在y轴正半轴上，求此抛

物线的解析式；

（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地毯，地毯的

价格为20元 / m，求购买地毯需多少元？

（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH（H、G分别在抛物线的左右侧

上），并铺设斜面EG.已知矩形EFGH的周长为27.5米，求斜面EG的倾斜角∠GEF的正切值.

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 22 页 共 36 页

2☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 24．【几何证明探究与有关线段的计算】

（1）全等、相似（常规边、角相似或平行（A形、x形、双A形、双x形比例）的运用；

注意简单形式结论证明的常规常法（平行、垂直、中点、等角、等长） （2）解决问题的常规方法：

①思维的延续性（图形从特殊到一般）：思维方法从全等到全等或从全等到相似； ②结论的延续性（条件的增加）：运用已证明的简单结论求证新的结论或进行有关的计算；

（3）注意基本图形条件的隐藏、转化；

（4）结合勾股定理、相似、求证型结论进行几何的有关计算. （5）命题背景性质的分析与运用 例题分析:

（一）折叠背景问题

例1．矩形ABCD中，AD=nAB，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.

（1）如图1，若直线l过点B，且n=2时，

AOAE= ，= ； OBDE（2）如图1，若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇

重合，求n的值； （3）如图2，若直线l与AB相交于点F，且AO=

的面积为矩形ABCD的面积的

1AC，当n= 时，五边形BCDEF47；（直接写出你的结论不需要证明） 8AE（4）如图3，平移直线l，使得E、F两点分别在边AD、BC上，当= 时（用

DEn 的代数式表示），四边形AFCE为菱形.

例2．阅读材料： （1）操作发现: 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，

且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．

（2）问题解决:①在（1）的条件下，若AB=4，BC=6，则FG= ，tan∠CBF= ；

②在（1）的条件下，若DC?nDF，则

AD的值为 ； ABAD 的值. AB（3）类比探究: 在（1）的条件下，延长EG交BC于H，若BH?2CH，求

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 23 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆

例3．如图，E为正方形ABCD的边BA延长线上的点，沿CE折叠△BCE得到△FCE，延长AD

交EF于点G.

（1）若AE=3，AB=4，则EG= ，FG= ； （2）如图2，连接BF、CG交于点H，求证：AH⊥CG；

（3）如图1，当tan?AGE= 时，四边形BCFE的面积恰好为正方形ABCD的面

积的2倍. EE

DGDAGA

FF

H BCBC图2 图1

例4．矩形ABCD，M是BC的中点，E在直线AB上，将△BME沿ME折叠，使F点刚好落在对

角线BD上，直线EF交直线AD于点N.

（1）若AB=6，AE=

3，求BC的长； 4（2）延长EF交CD于点Q，求证：点Q是CD的中点； （3）若AN=DN，请直接写出：

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 24 页 共 36 页

BC的值为 . AB☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例5．如图，矩形ABCD中，N为AB的中点，P为BC延长线上一点，PN交CD于F，将△PBN沿PN折叠，使点B正好落在对角线BD上的E点，PE交CD于点M. （1）如图1，若AB=9，AD=6，求四边形BPEN的面积；

（2）如图2，若CM=DM，连接MN交BD于点O，求证：MN平分∠ENF.

例6．已知；正方形ABCD，M是边AB的反向延长线上一点.

（1）如图1，若CN⊥CM交AD的延长线于点N，延长BD交MN于P点，求证：MP=NP； （2）如图2，E为AD边上一点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，且D点的对应点F恰

好落在CM上，延长FE到点N，使CM=CN. ①求证：△CBM≌△CFN；

N②延长BF交MN于点P，求证：P为MN的中点；

M

E DA F

BC

（3）①如图3，若MN∥BC，则

AN图1BAN图2BDEMFPCDEOMFPCAM的值为 ； AB图2②如图2，AM=1，AB=3，直接写出线段CP的长为 .

MPNAEFDB图3C2012年武汉市中考数学知识点解读 第 25 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ （二）旋转背景问题 例7．如图1，将Rt△ABC绕A点旋转角?，得到Rt△ADE，CE延长交BD于点F.

（1）求证：△ABD∽△ACE； （2）求证：F为BD的中点；

（3）如图2，设AC=3，BC=4，旋转角?=90°时，则CF= ；EF= ； （4）如图2，设AC=3，BC=4，旋转角?=2∠ABC时，求线段EF的长.

BFBFBD DEEE CFDA图1C图2ACA图3（三）全等、相似构造问题

例8．已知正方形ABCD中，点P是边AD上一动点，E为DP的中点，F为AB上一点，AF=DE，

连接BP、EF.

（1）如图1，若P为AD的中点，AB=4，则EF= ，BP= ； （2）如图2，若P不是AD的中点，求证：BP=2EF；

（3）过点B作EF的平行线交CD于点Q，当tan∠ABP= 时，Q为CD的中点. PEDAPEAD

F

F

BCBC图1图2

例9．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在

边AD上，EF=nCD，DG=nAE，连结ED，FG，交点为H． （1）如图1，当n?1时：

①求∠EHF的度数；

DE的值； FG1（2）如图2，当n?，请判断当点E在AB上运动时，tan?EHF的值是否发生变化？

2②求

若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其值； （3）如图2，请用含n的式子表示：

DE的值为 ． FG2012年武汉市中考数学知识点解读 第 26 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ G GAAD HE

H

E

BBC

FF 图1图2例10．已知在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，NH⊥MC于点H.

DC（1）如图1，连接BD，若NH∥BD，求

AB的值； BC（2）若E为NH的中点，延长ME交BC于点F.

①如图2，若AB=4，AD=6，求

NF的值； CF②如图2，连结BH交MF于点P，求证：BH⊥MF.

AMDHBN图1C例11．已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足

∠MAN=45°，连接MC、NC、MN.

（1）①求证：△ABM∽△NDA；

②直接写出你的答案：BM2DN= （用含a的代数式表示）；

（2）求∠MCN的度数；

（3）猜想线段BM、DN和线段MN之间有何确定的数量关系？写出你的结论并证明.

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 27 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例12．在正方形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点， N为MD的中点，点E在线段CF上（点E与点C不重合）.

（1）如图1， 若点M、A重合，E为CF的中点，试求tan?ENF的值；

C B E

A(M)N DF图1

（2）如图2，若点M、A不重合，BN=NE，求证：BN⊥NE；

（3）如图3，在（2）的条件下，当tan?ADM= 时，

B

M

N

A

（三）平行比例应用问题

CEBCE1?. EF2CEMD图2FNAD图3F例13．如图1，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交边AB、AD的延长线于

M、N两点，

（1）若AM=6，AN=8，试求MC和NC的长；

（2）如图2，连接DM与BC交于点E，连接BN与DC交于点F，连接AF、EF.现

给出两个正确的结论：①EF∥MN；②DM⊥AF．请任选其中一个结论说明你的理由. ．．．．．．

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 28 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例14．已知在等腰△ABC中，AB=AC，AD∥BC，CD⊥AC，连接BD交AC于点P. （1）如图1，若AB=5，BC=6，求

AP； CPAP3?； CP2（2）如图2，过点C作CH⊥AB于点H，CH、BD交于点E，求证：CE=HE. （3）在（2）的条件下：①当tan?ABD= 时，

②当tan?ABD?3AP时，= . 4CP ADAD

H PP

E

BC BC图1图2

例15．已知□ABCD的对角线交于点O，M为OD上一点，过点M的直线分别交AD、CD于P、Q

两点，与BA、BC的延长线于E、F两点.

（1）如图1，若M为OD的中点，EF∥AC，求证：PE+QF=2PQ； （2）如图2，若M为OD的中点，EF与AC不平行时，（1）中的结论是否仍然成立？

请说明你的理由；

（3）如图3，若BM=nDM，EF与AC不平行时，请直接写出：

（请用含n的式子表示）

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 29 页 共 36 页

PE?QF的值为 .PQ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 25．【二次函数的综合运用及图形中的探索研究】 （1）已知二次函数的解析式，根据两个抛物线之间的特殊关系，求特定条件下（图象变

换）的新抛物线的解析式；

①轴对称变换；②新抛物线过定点；③新抛物线的顶点在定线上； （2）已知抛物线的解析式，直接写出特征点的坐标； （3）动点中建立函数关系（图象变换后的特征动点或定抛物线上的动点）：相似构造、

线段长度、周长及面积等，注意结合最值问题；

（4）探索动点的存在性问题（图象变换后的特征动点或定抛物线上的动点）：

Ⅰ、直角问题：注意转化为直角梯形的相似；

Ⅱ、构成特殊图形：①等腰直角三角形、45°、正方形（全等或轴对称）；②等腰

三角形或等边三角形（中垂线或勾股定理、轴对称）；③梯形（平行→角→正切值或平行直线解析式中的k相等）；④等腰梯形（勾股定理）；⑤平行四边形（平移或中心对称）；⑥矩形（90°+平行四边形）；

Ⅲ、平行、平移与比例线段（位似）问题：构造直角三角形相似，解方程组或利用

根与系数的关系；

Ⅳ、相似三角形问题：注意分类讨论；

Ⅴ、面积问题：注意面积的等积转化或转化为线段的比例关系； Ⅵ、角度关系问题：转化为求角的正切值，然后构造相似；

基本思维方法：利用已有点的坐标，结合探索的几何条件，转化为探求点（未知点）的线段关系，用坐标转化线段，通过解方程（组）求点的坐标（或进而求线的解析式. 一、图象变换问题

例1．如图，抛物线C1：y??x2?2的顶点为P，与x轴交于A、B两点，将抛物线C1沿x轴作轴对称变换，得到抛物线C2.

（1）抛物线C2的解析式为 ； （2）将抛物线C2沿x轴正方向平移m个单位（m＞0），分别求符合下列条件的m的值. ①平移后的抛物线C3恰好经过原点O：m= ；

②平移后的抛物线C4恰好经过抛物线C1的顶点P：m= ； ③平移后的抛物线C5的顶点Q在抛物线C1上：m= ；

④设Q为平移后的抛物线C6的顶点，若PQ恰好经过点B：m= ；

yy

C3C4C2PP

AA BBOO xx QC1C12012年武汉市中考数学知识点解读 第 30 页 共 36 页 12

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例2．如图1，已知抛物线C1：y??2x2?2的顶点为P，将抛物线C1：y??2x2?2沿x轴

翻折，得抛物线C2.

（1）请直接写出抛物线C2的解析式： ；

（2）如图2，将抛物线C2向上平移得到新抛物线C3，若新抛物线C3的顶点为Q，与原

抛物线C1交于A、B两点，若四边形APBQ为正方形，则新抛物线C3的解析式： ；

（3）如图3，将抛物线C2向上平移得到新抛物线C4，若新抛物线C4与原抛物线C1交

于A、B两点，若△PAB为等边三角形，则新抛物线C4的解析式： ；

y

C3y

yC4 PPC2 AB C2C2 QAB xOxOOx C1C1 C1

（4）现将抛物线C1向左平移m个单位长度（m＞0），平移后得的新抛物线C5的顶点为

M，与x轴的交点从左到右依次为A，B两点；将抛物线C2向右平移n个单位长度（n＞0），平移后得到的新抛物线C6的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E两点.分别求出符合下列条件的m、n满足的数量关系： ①平移后的抛物线C5经过点N，平移后的抛物线C6经过点M； ②B，D是线段AE的三等分点；

③若m=n，在平移过程中，是否存在这样的m值，使得以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

yy OxOx 备 用 图备 用 图

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 31 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例3．如图1，已知抛物线C1：y??(x?1)2?4与x轴交于A、B两点，将抛物线C1沿x轴翻

折后，再作适当平移得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点恰好在B点，抛物线C2与抛物线C1交于点Q.

（1）请直接写出抛物线C2的表达式，并判断Q点是否为抛物线C1的顶点；

（2）将抛物线C2沿抛物线C1平移得到抛物线C3，始终保证抛物线C3的顶点P在第一象

限的抛物线C1上，抛物线C3与抛物线C1交于点Q. ①如图2，若△APQ为直角三角形，求抛物线C3的解析式；

②如图3，过点P作AQ的平行线交x轴于点D，是否存在这样的抛物线C3，使得四边形ADPQ为等腰梯形？若存在，请求抛物线C3的解析式；若不存在，请说明理由.

yQC2QyyC3QPPAAOC1DBxC1AOBxODx图1 图2

2图3 例4．如图1，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A

在点B的左边），且△PAB的面积为15，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2沿y轴正半轴平移1个单位，再沿x轴正方向平移m个单位（m＞0），平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为Q.

（1）求抛物线C1和抛物线C2的解析式； （2）分别求出符合下列条件的m的值：①线段PQ经过点B；②抛物线C3恰好经过点P； （3）点M是抛物线C3上一点，是否存在这样的抛物线C3，使得四边形APMQ为矩形？

若存在，请求抛物线C3的解析式，并直接写出Q、M两点的坐标；若不存在，请说明理由．

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 32 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 二、根与系数的关系（研究直线与抛物线的两个交点问题） 例5．如图，M为y轴上一点，过点M任作直线交抛物线y?12x?1于P、Q两点，PA⊥x轴4

于点A，QB⊥x轴于点B，是否存在这样的点M，使得△ABM恒为直角三角形？

yPMQBxAO例6．如图，A为抛物线y?12x?1的顶点，M为y轴上一点，过点M任作直线交此抛物线于4

P、Q两点，连接PA、PB，是否存在这样的点M，使得△APQ恒为直角三角形？

yQPMAOx例7．如图，M为y轴上一点，过点M任作直线交抛物线y?12x?3于P、Q两点，连接PO、4yQMPQO，是否存在这样的点M，使得△OPQ的内心恒在y轴上？

O2012年武汉市中考数学知识点解读 第 33 页 共 36 页

x☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例8．如图，抛物线y?x2?2x?3与y轴交于点C，过原点O作直线交此抛物线于P、Q两

点，是否存在这样的直线PQ，使得CP⊥CQ？

yQOxPCyGlFEODBxC123x?x?与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，将此抛物线x22例9．如图，抛物线y?轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后的部分与原抛物线x轴上方的部分构成一个新图象，

将直线BC沿y轴正方向平移m个单位长度（m＞0），平移后的直线l与新图象有四个不同的交点.

（1）求m的取值范围；

（2）设平移后的直线l与新图象的四个交点从左到右依次为D、E、F、G四点，是否

存在这样的m值，使得EF=DE+FG？

三、含参数的抛物线解析式（隐藏图象变换）

例10．已知二次函数y?x2?2mx?m2?m?4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的

左边），且与y轴交于点D，M为抛物线的顶点. （1）分别求出符合下列条件的m的值：

①D、M两点重合，则m= ；

②当点D在y轴正半轴时，且△BOD为等腰三角形，则m= ； ③△MAB为直角三角形，则m= ； ④△MAB为等边三角形，则m= ；

⑤△ABC为直角三角形，则m= ；

（2）平行x轴的直线交此抛物线于P、Q两点，若△MPQ为等边三角形，试问当m的值

变化时，等边△MPQ的面积是否发生改变？

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 34 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例11．如图，抛物线C1：y=(x+1)-4的顶点为M，与y轴交于点A.

（1）求直线MA的函数解析式；

（2）将此二次函数的图象作适当平移，得抛物线C2：y=(x+1)-4-k，抛物线C2与直线

MA交于B、C两点（点B在点C左侧），设抛物线C2的顶点为N. ①若BC的长度大于42，求k的取值范围；

②是否存在实数k，使得MB⊥NB？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由；

（3）将上述抛物线作适当平移，得抛物线C2：y=(x-h)，当4＜x≤m时，y≤x恒成

M备 用 图2

2

2

立，求m的最大值．

yyOxAOx例12．如图1，点C、B分别为抛物线C1：y1?x?1，抛物线C2：y2?a2x2?b2x?c2的

顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，且AB = BD． （1）求点A的坐标；

（2）如图2，若将抛物线C1：“y1?x2?1”改为抛物线“y1?2x2?b1x?c1”．其

他条件不变，求CD的长和a2的值．

（3）如图2，若将抛物线C1：“y1?x2?1”改为抛物线“y1?a1x2?b1x?c1”，

其他条件不变，求b1?b2的值．

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 35 页 共 36 页

2☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例13．已知:抛物线C1：y?a1x2?b1x?c1，顶点为P，交y轴于C.

(1)若P(-1，4)，C(0，3)，求抛物线C1；

(2)将(1)中的抛物线C1向下平移3个单位，在向右平移m个单位，得到抛物线C2，交x轴于C，D(C左D右)，若PA⊥AC，求m的值；

(3)如图，抛物线C2：y?a2x2?b2x?c2的顶点E在抛物线C1上，且经过P点，过E作EF∥x轴交C1于F，PN∥x轴交C2于N，若PN=PF，求b1?b2.

Py

CO

四、操作与探究

yPNAxDFOEx例14．把一块三角板置于平面直角坐标系中，三角板的直角顶点为P，两直角边与x轴交于

A、B，如图1，测得PA=PB，AB=2.以P为顶点的抛物线y??(x?2)2?k恰好经过A、B两点，抛物线的对称轴x?a与x轴交于点E.

(1) 填空:a? ，k? ，点E的坐标为 ；

(2)设抛物线与y轴交于点C，过P作直线PM⊥y轴，垂足为M.如图2，把三角板

绕着点P旋转一定角度，使其中一条直角边恰好过点C，另一条直角边与抛物线的交点为D，试问：点C、D、E三点是否在同一直线上？请说明理由； (3)在（2）的条件下，若Q(m,n)为抛物线上的一动点，过Q作QF⊥PM，垂足为F， 连结CF、QC.试探索：是否存在点Q，使得△QCF是以QC为腰的等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

2012年武汉市中考数学知识点解读 第 36 页 共 36 页

☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 2012年中考数学 ☆☆☆☆☆ 例13．已知:抛物线C1：y?a1x2?b1x?c1，顶点为P，交y轴于C.

(1)若P(-1，4)，C(0，3)，求抛物线C1；

(2)将(1)中的抛物线C1向下平移3个单位，在向右平移m个单位，得到抛物线C2，交x轴于C，D(C左D右)，若PA⊥AC，求m的值；

(3)如图，抛物线C2：y?a2x2?b2x?c2的顶点E在抛物线C1上，且经过P点，过E作EF∥x轴交C1于F，PN∥x轴交C2于N，若PN=PF，求b1?b2.

Py

CO

四、操作与探究

yPNAxDFOEx例14．把一块三角板置于平面直角坐标系中，三角板的直角顶点为P，两直角边与x轴交于

A、B，如图1，测得PA=PB，AB=2.以P为顶点的抛物线y??(x?2)2?k恰好经过A、B两点，抛物线的对称轴x?a与x轴交于点E.

(1) 填空:a? ，k? ，点E的坐标为 ；

(2)设抛物线与y轴交于点C，过P作直线PM⊥y轴，垂足为M.如图2，把三角板

绕着点P旋转一定角度，使其中一条直角边恰好过点C，另一条直角边与抛物线的交点为D，试问：点C、D、E三点是否在同一直线上？请说明理由； (3)在（2）的条件下，若Q(m,n)为抛物线上的一动点，过Q作QF⊥PM，垂足为F， 连结CF、QC.试探索：是否存在点Q，使得△QCF是以QC为腰的等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

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