2015年高考真题 - 江苏卷（word版含解析）

数学Ⅰ试题

参考公式

圆柱的体积公式：V圆柱=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高。 圆锥的体积公式：V圆锥

1Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高。 3一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合A??1，，23?，B??2，，45?，则集合AB中元素的个数为_______.

2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 3.设复数z满足z2?3?4i（i是虚数单位），则z的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________.

5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.

6.已知向量a=（2,1），b=（1，-2），若ma?nb=（9，-8）（m，n?R），则m-n的值为______. 7.不等式2x2?xvvvv?4的解集为________.

1，则tan?的值为_______. 78.已知tan???2，tan??????9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 。

10.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx?y?2m?1?0(m?R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

*11.数列{an}满足a1?1，且an?1?an?n?1（n?N），则数列{1}前10项的和an 1

为 。

12.在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2?y2?1右支上的一个动点。若点P到直线

x?y?1?0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 。

?0,0?x?113.已知函数f(x)?|lnx|，g(x)??2，则方程|f(x)?g(x)|?1实根的个

|x?4|?2,x?1?数为 。

k?k?k?,sin?cos)(k?0,1,2,?,12)，则14.设向量ak?(cos666为 。

?(ak?012k?ak?1)的值

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）

在VABC中，已知AB?2,AC?3,A?60. (1)求BC的长； （2）求sin2C的值。

16.（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AC?BC,BC?CC1.设AB1的中点为D，

oB1C?BC1?E.

求证：（1）DE//平面AACC11

(2)BC1?AB1

17.（本小题满分14分）

2

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y?模型.

a（其中a，b为常数）2x?b

（I）求a，b的值；

（II）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f?t?，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. 18.（本小题满分16分）

x2y22如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为，且右

ab2焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

3

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

19.（本小题满分16分）

已知函数f(x)?x3?ax2?b(a,b?R)。 （1）试讨论f(x)的单调性；

（2）若b?c?a（实数c是与a无关的常数），当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(??,?3)?(1,)?(,??)，求c的值。

20.设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d?0)的等差数列 （1）证明：21,22,23,24依次构成等比数列；

（2）是否存在a1,d，使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列？并说明理由；

（3）是否存在a1,d及正整数n,k，使得a1n,a2n?k,a3n?2k,a4n?3k依次构成等比数列？并说明理由。

aaaa3232

4

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.

1.2 2.6 3.

55 4.7 5. 6 6.-3 7.x ︱-1?x?2（或（-1,2））??2028.3 9.7 10.(x?1)?y?2 11. 11 12. 2 13.4 14. 93

22二、解答题

15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数关系与二倍角公式，考查运算求解能力.满分14分。

?C2???2??C2?2????C?cos??4?9?2?2?3?解：（1）由余弦定理知，所以?C?7． （2）由正弦定理知，

1?72，

???C??2sin6021?，所以sinC?． ?sin???sinCsin??C77327． ?77因为????C，所以C为锐角，则cosC?1?sin2C?1?因此sin2C?2sinC?cosC?2?212743. ??77716.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分。

（1）由题意知，?为?1C的中点， 证明：

又D为??1的中点，因此D?//?C．

又因为D??平面??1C1C，?C?平面??1C1C， 所以D?//平面??1C1C．

（2）因为棱柱??C??1?1C1是直三棱柱， 所以CC1?平面??C．

5

因为?C?平面??C，所以?C?CC1．

又因为?C??C，CC1?平面?CC1?1，?C?平面?CC1?1，?C所以?C?平面?CC1?1．

又因为?C1?平面?CC1?1，所以?1C??C．

因为?C?CC1，所以矩形?CC1?1是正方形，因此?C1??1C． 因为?C，?1C?平面?1?C，?CCC1?C，

?1C?C，所以?C1?平面?1?C．

又因为??1?平面?1?C，所以?C1???1．

17. 本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用，考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.

解：（1）由题意知，点?，?的坐标分别为?5,40?，?20,2.5?．

?a?40??a?1000a?25?by?将其分别代入，得?，解得?．

ab?0x2?b???2.5??400?b（2）①由（1）知，y?1000?1000?5?x?20（），则点的坐标为??t,2?， x2?t?2000 3，x设在点?处的切线l交x，y轴分别于?，?点，y???则l的方程为y?10002000?3t??3000??,0???x?t，由此得，?????0,2?．

2t?t2t3???223t??3000?324?106t?5,20?故f?t??????2??，??． t?42t?2??t?4?10616?106②设g?t??t?，则g??t??2t?．令g??t??0，解得t?102． 45tt2?当t??10

当t?5,102时，g??t??0，g?t?是减函数；

?2,20时，g??t??0，g?t?是增函数．

?6

从而，当t?102时，函数g?t?有极小值，也是最小值，所以g?t?min?300， 此时f?t?min?153．

答：当t?102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．

18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查分析问题及运算求解能力.满分16分.

a2c2（1）由题意，得?且c??3，解得a?2，c?1，则b?1，

ca2x2?y2?1所以椭圆的标准方程为2．

（2）当???x轴时，???2，又C??3，不合题意．

当??与x轴不垂直时，设直线??的方程为y?k?x?1?，??x1,y1?，??x2,y2?， 将??的方程代入椭圆方程，得1?2k?2?x2?4k2x?2?k2?1??0，

则x1,2?2k2?2?1?k2?1?2k22?2k2?k?,C，的坐标为?22?，且

?1?2k1?2k?2????x2?x1???y2?y1???1?k??x22?x1??222?1?k2?1?2k2．

若k?0，则线段??的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．

k1?2k2????x? 从而k?0，故直线?C的方程为y?22?，

1?2kk?1?2k??2?3k2?1?1?k25k2?2??，从而?C?则?点的坐标为??2,． 22??k1?2kk?1?2k?????因为?C?2??，所以

2?3k2?1?1?k2k?1?2k2??42?1?k2?1?2k2，解得k??1．

此时直线??方程为y?x?1或y??x?1．

19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分。

7

解：（1）f??x??3x?2ax，令f??x??0，解得x1?0，x2??222a． 3当a?0时，因为f??x??3x?0（x?0），所以函数f?x?在???,???上单调递增； 当a?0时，x????,???2a??3??0,???时，f??x??0，x????2a?,0?时，f??x??0， ?3?2a???2a???,?fx0,??所以函数??在??上单调递增，在??,0?上单调递减； ?，?3???3?当a?0时，x????,0?2a??2a????,??x?0,?fx?0时，，??????时，f??x??0，

33????2a??2a???,??0,?fx??,0所以函数??在??，??上单调递增，在??上单调递减．

3??3??（2）由（1）知，函数f?x?的两个极值为f?0??b，f???2a?43a?b，则函数f?x???327???a?0?27?2a??43??有三个零点等价于f?0??f????b?a?b??0，从而?43或

?3??27???a?b?0?a?0?43． ?0?b??a?27?又b?c?a，所以当a?0时，

434a?a?c?0或当a?0时，a3?a?c?0． 2727设g?a??43a?a?c，因为函数f?x?有三个零点时，a的取值范围恰好是 27?3??3??3??3?1,,??1,,????,?3ga?0，则在上，且在????????上g?a??0????22?????2??2????,?3?均恒成立，从而g??3??c?1?0，且g?32?3???c?1?0，因此c?1． ?2?2此时，f?x??x?ax?1?a??x?1???x??a?1?x?1?a??，

因函数有三个零点，则x??a?1?x?1?a?0有两个异于?1的不等实根，

2所以???a?1??4?1?a??a?2a?3?0，且??1???a?1??1?a?0，

222 8

解得a????,?3??1,??,???． 综上c?1．

20.本小题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力.满分16分.

?3??3?2??2??2an?1解：（1）证明：因为a?2an?1?an?2d（n?1，2，3）是同一个常数，

2n所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列．

a，（2）令a1?d?则a1，a2，a3，a4分别为a?d，a，a?d，a?2d（a?d，a??2d，

d?0）．

假设存在a1，d，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列， 则a??a?d??a?d?，且?a?d??a4362234?a?2d?4．

令t?d1364，则1??1?t??1?t?，且?1?t???1?2t?（??t?1，t?0）， a2化简得t3?2t2?2?0（?），且t2?t?1．将t2?t?1代入（?）式，

1t?t?1??2?t?1??2?t2?3t?t?1?3t?4t?1?0，则t??．

4显然t??1不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 4234因此不存在a1，d，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列．

nn?kn?2kn?3k （3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列，

则a1?a1?2d?nn?2k??a1?d?2?n?k?，且?a1?d?及a1?n?k2n?2k?n?k?a1?3d?n?3k??a1?2d?2?n?2k?．

分别在两个等式的两边同除以a1?则?1?2t?n?2k2n?k?，并令t?n?3kd1（t??，t?0）， a132?n?2k???1?t?2?n?k?，且?1?t??1?3t???1?2t?．

将上述两个等式两边取对数，得?n?2k?ln?1?2t??2?n?k?ln?1?t?，

9

且?n?k?ln?1?t???n?3k?ln?1?3t??2?n?2k?ln?1?2t?． 化简得2k??ln?1?2t??ln?1?t????n??2ln?1?t??ln?1?2t???， 且3k??ln?1?3t??ln?1?t????n??3ln?1?t??ln?1?3t???．

再将这两式相除，化简得ln?1?3t?ln?1?2t??3ln?1?2t?ln?1?t??4ln?1?3t?ln?1?t?（??）．

令g?t??4ln?1?3t?ln?1?t??ln?1?3t?ln?1?2t??3ln?1?2t?ln?1?t?，

2222??1?3t?ln?1?3t??3?1?2t?ln?1?2t??3?1?t?ln?1?t???． 则g??t????1?t??1?2t??1?3t?令??t???1?3t?ln?1?3t??3?1?2t?ln?1?2t??3?1?t?ln?1?t?， 则???t??6???1?3t?ln?1?3t??2?1?2t?ln?1?2t???1?t?ln?1?t???．

222??t??6?令?1?t?????t?，则?1?3ln?1?3t??4ln?1?2t??ln?1?t???．

??t????t?，则?2令?2?t???112?0．

1?t1?2t1?3t????????t??0， 由g?0????0???1?0???2?0??0，?2知?2?t?，?1?t?，??t?，g?t?在??,0?和?0,???上均单调．

故g?t?只有唯一零点t?0，即方程（??）只有唯一解t?0，故假设不成立． 所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1，a2

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nn?k?1?3??，a3n?2k，a4n?3k依次构成等比数列．

数学Ⅱ（附加题）

21、（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A、?选修4-1：几何证明选讲

?（本小题满分10分）

如图，在?ABC中，AB?AC，?ABC的外接圆eO的弦AE交BC于点D 求证：?ABD:?AEB

B、?选修4-2：矩阵与变换

?（本小题满分10分）

?x1??1?已知x,y?R，向量????是矩阵A???的属于特征值?2的一个特征向量，求矩

?1y0????阵A以及它的另一个特征值。

C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

2已知圆C的极坐标方程为??22?sin(???4)?4?0，求圆C的半径.

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 解不等式x?|2x?3|?3

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22.如图，在四棱锥P?ABCD中，已知PA?平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，

?ABC??BAD??2,PA?AD?2,AB?BC?1

(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长

23.（本小题满分10分）

已知集合X?{1,2,3},Yn?{1,2,3,.....,n}(n?N*)，设

Sn?{(a,b)|a整除b或b除a,a?X,b?Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.

（1）写出f(6)的值；

（2）当n?6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明。

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21.[选做题]

A.（选修4—1：几何证明选讲）

本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分10分。 证明：因为????C，所以???D??C．又因为?C???，所以???D???， 又????为公共角，可知???D∽????．

B[选修4—2：矩阵与变换]

本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识，考查运算求解能力.满分10分。

解：由已知，得????2?，即??x1??1??x?1???2??????， ?????y0???1??y??2?则??x?1??2?x??1??11?，即?，所以矩阵????．

y?2y?220????从而矩阵?的特征多项式f???????2????1?，所以矩阵?的另一个特征值为1．

C[选修4—4：坐标系与参数方程]

本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等知识，考查运算求解能力.满分10分。

解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点?，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系x?y．

?2?2圆C的极坐标方程为??22???2sin??2cos????4?0，

??2化简，得?2?2?sin??2?cos??4?0． 则圆C的直角坐标方程为x2?y2?2x?2y?4?0，

13

即?x?1???y?1??6，所以圆C的半径为6． D[选修4—5：不等式选讲]

本小题主要考查含绝对值不等式的解法，考查分类讨论的能力。满分10分。

2233???x???x??22????x?3?2?3x?3?2．

解：原不等式可化为?或?解得x??5或x??1． 3综上，原不等式的解集是?xx??5或x???．

??1?3?22.【必做题】本小题主要考查空间向量、二面角和异面直线所成角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分。

解：以??,?D,??为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系??xyz， 则各点的坐标为??1,0,0?，C?1,1,0?，D?0,2,0?，??0,0,2?．

（1）因为?D?平面???，所以?D是平面???的一个法向量，?D??0,2,0?． 因为?C??1,1,?2?，?D??0,2,?2?．

???x?y?2z?0设平面?CD的法向量为m??x,y,z?，则m??C?0，m??D?0，即?．

2y?2z?0?令y?1，解得z?1，x?1．

所以m??1,1,1?是平面?CD的一个法向量． 从而cos?D,m??D?m?Dm?33，所以平面???与平面?CD所成二面角的余弦值为3 ．3（2）因为?????1,0,2?，设?Q????????,0,2??（0???1）， 又C???0,?1,0?，则CQ?C???Q????,?1,2??，又D???0,?2,2?， 从而cosCQ,D??CQ?D?CQD??1?2?10?2?2．

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2t229cosCQ,D??2??2设1?2??t，t??1,3?，则5t?10t?9?15?2010．

9????9?t9?2当且仅当t?92310

，即??时，cosCQ,D?的最大值为．5510?因为y?cosx在?0,???上是减函数，此时直线CQ与D?所成角取得最小值． ?2?225

．???55又因为???12?22?5，所以?Q?23.【必做题】本题主要考查计数原理、数学归纳法等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力，满分10分。 解：（1）f?6??13．

??nn?n?2????,n?6t??23????n?1n?1?n?2?????,n?6t?123?????nn?2?n?2?????,n?6t?23???2（2）当n?6时，f?n???（t???）．

?n?2??n?1?n?,n?6t?3???3??2??n?2??n?n?1?,n?6t?4???3??2??n?2??n?1?n?2?,n?6t?5???23???下面用数学归纳法证明： ①当n?6时，f?6??6?2?66??13，结论成立； 23②假设n?k（k?6）时结论成立，那么n?k?1时，Sk?1在Sk的基础上新增加的元素在

?1,k?1?，?2,k?1?，?3,k?1?中产生，分以下情形讨论：

1??5，1）若k?1?6t，则k?6?t?此时有f?k?1??f?k??3?k?2?k?1k?2??3 23 15

??k?1??2?k?1k?1?，结论成立； 23kk??1 232）若k?1?6t?1，则k?6t，此时有f?k?1??f?k??1?k?2???k?1??2??k?1??1??k?1??1，结论成立；

233）若k?1?6t?2，则k?6t?1，此时有f?k?1??f?k??2?k?2?k?1k?1??2 23??k?1??2?k?1?k?1??2，结论成立； ?234）若k?1?6t?3，则k?6t?2，此时有

f?k?1??f?k??2?k?2?kk?2??2 23??k?1??2??k?1??1?k?1，结论成立；

235）若k?1?6t?4，则k?6t?3，此时有

f?k?1??f?k??2?k?2?k?1k??2 23??k?1??2?k?1?k?1??1，结论成立； ?236）若k?1?6t?5，则k?6t?4，此时有

f?k?1??f?k??1?k?2?kk?1??1 23??k?1?k?1??1?k?1??2?，结论成立． ?2??23综上所述，结论对满足n?6的自然数n均成立．

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??k?1??2?k?1k?1?，结论成立； 23kk??1 232）若k?1?6t?1，则k?6t，此时有f?k?1??f?k??1?k?2???k?1??2??k?1??1??k?1??1，结论成立；

233）若k?1?6t?2，则k?6t?1，此时有f?k?1??f?k??2?k?2?k?1k?1??2 23??k?1??2?k?1?k?1??2，结论成立； ?234）若k?1?6t?3，则k?6t?2，此时有

f?k?1??f?k??2?k?2?kk?2??2 23??k?1??2??k?1??1?k?1，结论成立；

235）若k?1?6t?4，则k?6t?3，此时有

f?k?1??f?k??2?k?2?k?1k??2 23??k?1??2?k?1?k?1??1，结论成立； ?236）若k?1?6t?5，则k?6t?4，此时有

f?k?1??f?k??1?k?2?kk?1??1 23??k?1?k?1??1?k?1??2?，结论成立． ?2??23综上所述，结论对满足n?6的自然数n均成立．

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