2005年高考湖北省理科数学试题

数学试题

2005年高考数学试卷及答案 王新敞

新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: wxckt@ 第1页 （共11页）

2005年高考理科数学湖北卷试题及答案

源头学子小屋 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60在每小题给出的上个选项中，中有

一项是符合题目要求的）

1．设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={a+b|a ∈P ，b ∈Q}若P={0，2，5}，Q={1，2，

6}，则P+Q 中元素的个数是

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6 2．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：

①“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件；

②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a>b ”是“a 2>b 2

”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件 其中真命题的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 3．

i

i i ++-1)

21)(1(=

A ．-2-i

B ．-2+i

C ．2-i

D ．2+i 4． 函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是 （ ）

A B C D

5．双曲线

)0(12

2

≠=-

mn n

y

m

x

的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y

42

=的焦点重合，

则mn 的值为

A ．

16

3 B ．

8

3 C ．

3

16 D ．

3

8

6．在x y x y x y y x

2cos ,,log ,22

2====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使

2

)

()()2

(212

1x f x f x x f +>

+恒成立的函数的个数是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7．若)2

0(tan cos sin π

αααα<<=+，则∈α

A ．（0，

6

π

） B ．（

6

π

，

4

π

） C ．（

4

π

，

3

π

） D ．（

3

π

，

2

π

）

8．若1)11(

lim 2

1

=--

-→x

b x

a x ，则常数a ，

b 的值为

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A ．a=-2，b=4

B ．a=2，b=-4

C ．a=-2，b=-4

D ．a=2，b=4 9．若2

0π

<

<x ，则2x 与3sinx 的大小关系：

A ．2x>3sinx

B ．2x<3sinx

C ．2x=3sinx

D ．与x 的取值有关 10．如图，在三棱柱C B A ABC '''-中，点

E 、

F 、H 、K 分别

为C A '、B C '、B A '、C B '' 的中点，G 为ΔABC 的重心从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为

A ．K

B ．H

C ．G

D ．B '

11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年

级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④305784111138165192219246270 关于上述样本的下列结论中，正确的是

A ．②、③都不能为系统抽样

B ．②、④都不能为分层抽样

C ．①、④都可能为系统抽样

D ．①、③都可能为分层抽样

12．以平行六面体D C B A ABCD ''''-的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为

A ．

385

367 B ．

385

376 C ．

385

192 D ．

385

18

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分 ,共16分把答案填写在答题卡相应的位置上） 13．已知向量a=（-2，2），b=（5，k |a+b|不超过5，则k 的取值范围是

14．5

)212

(

++

x

x 的展开式中整理后的常数项等于 15．设等比数列{n a }的公比为q ，前n 项和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为

16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35

千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元在满足需要的条件下，最

少要花费 元

三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知向量a =(2

x ，x+1)，b = (1-x ，t)若函数)(x f =a ·b 在区间（-1，1）上是增函数，

求t 的取值范围 18．（本小题满分12分）

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在ΔABC 中，已知6

6cos ,3

64=

=

B AB ，A

C 边上的中线BD=5，求sinA 的值

19．（本小题满分12分）

某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P —ABC 右，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点

（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离

21．（本小题满分12分）

设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点

（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由22．（本小题满分14分）

已知不等式

][log

2

113

12

12

n n

>

+

++

，其中n 为大于2的整数，][log

2

n 表示不超过n 2

log

{n a }的各项为正，且满足1

11,)0(--+≤

>=n n n a n na a b b a ，

,4,3,2=n

（Ⅰ）证明：]

[log

222

n b b a n +<

， ,5,4,3=n ；

（Ⅱ）猜测数列{n a }是否有极限？如果有，写出极限的值； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当n>N 时，对任意b>0，都有<

n a

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参考答案

1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B

7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A

13．[-6，2] 14．2263

15．-2 16．500

17．解法一：依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(

则t x x x f ++-='23)(2， 若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)(x f '≥0

∴)(x f '≥0x x t 232-≥?在（-1，1）上恒成立 考虑函数x x x g 23)(2-=，由于)(x g 的图象是对称轴为31=

x ，开口向上的抛物线，

故要使x x t 232-≥在（-1，1）上恒成立)1(-≥?g t ，即t ≥5 而当t ≥5时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数故t 的取值范围是t ≥5 解法二：依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=2

32)1()1()(，

t x x x f ++-='23)(2 若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)(x f '≥0

∵)(x f '的图象是开口向下的抛物线，

∴当且仅当01)1(≥-='t f ，且05)1(≥-=-'t f 时，

)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数故t 的取值范围是t ≥5

18．解法一：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且36221==

AB DE ，设在ΔBDE 中利用余弦定理可得：

BED ED BE ED BE BD cos 2222?-+=，

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新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: wxckt@ 第

x x 6

63

6223

852

?

?

++

=，解得1=x ，3

7-

=x （舍去）

故BC=2，从而3

28cos 22

2

2

=

?-+=B BC AB BC

AB AC ，即3

21

2=

AC

又6

30sin =

B ，故

6

30321

2sin 2=

A

，70

sin =

A

解法二：以B 为坐标原点，BC 为x 轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A 位于第一象

限

由6

30sin =

B ，则)3

54,

3

4(

)sin 3

64,

cos 3

64(

==B B BA ，

设BC =（x ，0），则)3

52,

6

34(

x BD +=

由条件得)

3

52(

)6

34(

||2

2

=++=x BD 从而x=2，3

14-

=x （舍去）故)3

54,

3

2(-

=CA

于是14

14

39

80949

8091698098cos =+?

+

+-

=

=

A

∴70

cos

1sin 2

=

-=A A

解法三：过A 作AH ⊥BC 交BC 于H ，延长BD 到P 使BP=DP ，连接AP 、PC 过窗PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则3

54,34cos =

=

=AH B AB HB ，

3

10)

3

54(

)52(2

2

2

2

2

2

=

-=-=-=AH

BP

PN

BP

BN ，

而3

4==HB CN ，∴BC=BN=CN=2，3

2=HC ，

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新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: wxckt@ 第6页 （共11页） 321

222=+=HC AH AC 故由正弦定理得630

3

212sin 2

=A ，∴70sin =A

19．解：ξ的取值分别为1，2，3，

ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P （ξ=1）=0.6

ξ=2，

表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P （ξ=2）=（1-0.6）×0.7=0.28ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故

P （ξ=3）=（1-0.6）×（1-0.7）×0.8=0.096

ξ=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故

P （ξ=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024

∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为

∴ξ的期望E ξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544 李明在一年内领到驾照的概第为

1-（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.9）=0.9976

20．解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A （0，0，0），

B （3，0，0），

C （3，1，0），

D （0，1，0），

P （0，0，2），E （0，21

，2）

从而AC =（3，1，0），PB =（3，0，-2）

设AC 与PB 的夹角为θ，则

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14

737

23cos =

=

=

θ，

∴AC 与PB 7

（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，0，z ）， 则)1,2

1,

(z x ME --=

由NE ⊥面PAC

可得：?????=?=?,

0,

0AC NE AP NE 即

???

???

?

=?--=?--,

0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,2

1,(z x z x 化简得??

???==

???

?

??=+-=-.1,63

.

021

3,

01z x x z 即N 点的坐标为（6

3，0，1），从而N 点到AB 、AP 的距离分别为13

解法二：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，

∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角

在ΔAOE 中，AO=1，OE=

2

1PB=

2

7，AE=

2

1PD=

2

5，

∴1417

31

2

7

245

4

7

1cos =??-

+

=

EOA 即AC 与PB 17

（Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则=

∠ADF

连PF ，则在Rt ΔADF 中DF=3

tan ,3

32cos =

==ADF AD AF ADF

AD

设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，

∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面从而NE ⊥面

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∴N 点到AB 的距离=

2

1AP=1，N 点到AP 的距离=

2

1AF=

3

21．（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB 的方程为y=k （x-1）+3，

代入λ=+223y x ，整理得：

0)3()3(2)3(2

22

=--+--+λk x k k x k

设A （11,y x ），B （22,y x ），则1x ，2x 是方程①的两个不同的根， ∴0])3(3)3([422>--+=?k k λ，② 且3

)

3(22

21+-=

+k

k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得21x x +=2，

∴)3(2+=-k k k 解得k =-1，代入②得12>λ， 即λ的取值范围是（12，+∞）

于是直线AB 的方程为)1(3--=-x y ，即04=-+y x

解法二：设A （11,y x ），B （22,y x ），则有

0)())((3.

3,

32121212

22

22

121=-++-??????=+=+y y x x x x y x y x λλ 依题意，2

12121)

(3,x x k x x AB +-

=∴≠

∵N （1，3）是AB 的中点，∴21x x +=2，21y y +=6，从而-=AB k

又由N （1，3）在椭圆内，∴123132

2=+?>λ， ∴λ的取值范围是（12，+∞）

直线AB 的方程为)1(3--=-x y ，即04=-+y x

（Ⅱ）解法一：∵CD 垂直平分AB ，

∴直线CD 的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得

04442

=-++λx x ③

又设C （33,y x ），D （44,y x ），CD 的中点为M （00,y x ）， 则3x ，4x 是方程③的两根，

∴3x +4x =-1，且2

32,2

002

10=

+==+=x y x x x ，即M （2

1-，2

3）

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第9页 （共11页） 于是由弦长公式可得||)1

(||432=-?-+==x x k CD

将直线AB 的方程04=-+y x 代入椭圆方程得

16842=-+-λx x ⑤ 同理可得)12(2||1||212-=-?+=λx x k AB ⑥

∵当12>λ时，)3(2-λ>)12(2-λ，

∴

假设存在12>λ，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心点M 到直线AB 的距离为

2

2|42

3

21|2|

4|00=-+-=-+=y x d ⑦

于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得

2

2222|2|23

212

29

|2|||||CD

AB

d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，|2CD

|为半径的圆上

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A 、

B 、

C 、

D 共圆?ACD 为直角三角形，A 为直角 ?||||||2

DN CN AN ?=， 即)2|

|)(2|

|()2|

|(2d CD d CD AB -+=⑧

由⑥式知，⑧式左边=212

-λ，

由④⑦知，⑧式右边==--=--+-29

23

)22

32)

3(2)(22

32)

3(2(λλλ212-λ

∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆）

解法二：由（Ⅱ）解法一知12>λ，

∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得

04442

=-++λx x ③ 将直线AB 的方程04=-+y x 代入椭圆方程整理得

16842

=-+-λx x ⑤

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解③和⑤式可得2

12

22,1-±=λx ，2

3

14,3-±

-=

λx ，

不妨设A （122

11-+

λ，122

13--

λ）

， C （

23

1--

-λ，

2

3

3--

λ），D （

2

3

1-+

-λ，

2

3

3-+λ

∴???

?

?

?-+

---+

-+=2

3123,

2

3

123λλλλCA ，

???

?

?

?--

----

-+=2

3123,

2

3

123λλλλDA ， 计算可得0=?DA CA ， ∴A 在以CD 为直径的圆上 又B 为A 关于CD 的对称点， ∴A 、B 、C 、D 四点共圆

（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ） 22．（Ⅰ）证法一：∵当n ≥2时，1

10--+≤

<n n n a n na a ，

∴n

a a n a n a n n n n

1111

1

1+

=

++≥---，即

n

a a n n 1111

≥--，

于是有

2

1111

2

≥

-a a ，

3

11123

≥-

a a ，…，

n

a a n n

1111≥

-

-，

所有不等式两边相加可得

a a n

3121111+

++

≥

-

由已知不等式知，当n ≥3时有[log

2

1112

1

n a a n

≥-

∵b a <1，∴

b

n b n b

a n

2]

[log

2][log

2

1112

2

+=

+

>

∴2

a n <

证法二：设n

n f 13

12

1)(+++= ，首先利用数学归纳法证不等式

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,5,4,3,)(1=+≤

n b

n f b a n

（ⅰ）当n=3时，由b

f b a a a a a a )3(11

22331

33331

12

2

23+=

++?

≤+=

+≤

，

知不等式成立

（ⅱ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即b

k f b a k )(1+≤

，则

,

)1(1)1

1

)((1)()1()1()1(1

)(1)1(1

1

11)1()1(1b

k f b b

k k f b

b

b k f k k b

k b b

k f k k a k k a k a k a k

k

k k ++=++

+=

+++++=

++?++≤

+++=+++≤

+ 即当n=k+1时，不等式也成立

由（ⅰ）（ⅱ）知， ,5,4,3,)(1=+≤

n b

n f b a n

又由已知不等式得 ,5,4,3,]

[log

22][log

2

112

2

=+=

+

≤

n n b b b

n b

a n （Ⅱ）有极限，且0lim =∞

→n n a

（Ⅲ）∵

]

[log

2]

[log 222

2

n n b b <

+，令

5

1]

[log

22

<

n ，

则有10242

10][log

log

10

2

2=>?>≥n n n ， 故取N=1024，可使沁n>N 时，都有<n a

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h0y4.html