数学建模中的综合评价方法 

综合评价

评价是人类社会中一项经常性的、极重要的认识活动，是决策中的基础性工作。在实际问题的解决过程中，经常遇到有关综合评价问题，如医疗质量的综合评价问题和环境质量的综合评价等。它是根据一个复杂系统同时受到多种因素影响的特点，在综合考察多个有关因素时，依据多个有关指标对复杂系统进行总评价的方法；综合评价的要点：（1）有多个评价指标，这些指标是可测量的或可量化的；（2）有一个或多个评价对象，这些对象可以是人、单位、方案、标书科研成果等；（3）根据多指标信息计算一个综合指标，把多维空间问题简化为一维空间问题中解决，可以依据综合指标值大小对评价对象优劣程度进行排序。

综合评价的一般步骤

1．根据评价目的选择恰当的评价指标，这些指标具有很好的代表性、区别性强，而且往往可以测量，筛选评价指标主要依据专业知识，即根据有关的专业理论和实践，来分析各评价指标对结果的影响，挑选那些代表性、确定性好，有一定区别能力又互相独立的指标组成评价指标体系。

2．根据评价目的，确定诸评价指标在对某事物评价中的相对重要性，或各指标的权重； 3．合理确定各单个指标的评价等级及其界限；

4．根据评价目的，数据特征，选择适当的综合评价方法，并根据已掌握的历史资料，建立综合评价模型；

5．确定多指标综合评价的等级数量界限，在对同类事物综合评价的应用实践中，对选用的评价模型进行考察，并不断修改补充，使之具有一定的科学性、实用性与先进性，然后推广应用。

目前，综合评价有许多不同的方法，如综合指数法、TOPSIS法、层次分析法、RSR法、模糊综合评价法、灰色系统法等，这些方法各具特色，各有利弊，由于受多方面因素影响，怎样使评价法更为准确和科学，是人们不断研究的课题。下面仅介绍综合评价的TOPSIS法、RSR法和层次分析法的基本原理及简单的应用。

8.1 TOPSIS法（逼近理想解排序法）

Topsis法是系统工程中有限方案多目标决策分析的一种常用方法。是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中的最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。

8.1.1 基本原理

TOPSIS法是Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution的缩写，即逼近于理想解的技术，它是一种多目标决策方法。方法的基本思路是定义决策问题的理想解和负理想解，然后在可行方案中找到一个方案，使其距理想解的距离最近，而距负理想解的距离最远。

理想解一般是设想最好的方案，它所对应的各个属性至少达到各个方案中的最好值；负理想解是假定最坏的方案，其对应的各个属性至少不优于各个方案中的最劣值。方案排队的决策规则，是把实际可行解和理想解与负理想解作比较，若某个可行解最靠近理想解，同时又最远离负理想解，则此解是方案集的满意解。

8.1.2 距离的测度

采用相对接近测度。设决策问题有m个目标fj（j?1,2,?,m），n个可行解Zi?（Zi1,Zi2,?,Zim）（i?1,2,?,n）；并设该问题的规范化加权目标的理想解是Z*，其中

??Z??（Z1?,Z2,?,Zm），

那么用欧几里得范数作为距离的测度，则从任意可行解Zi到Z的距离为：

S??i??(Zj?1mij?Z?j)2 i=1 ，…，n ， (8.1)

式中，Zij 为第j个目标对第i个方案（解）的规范化加权值。

??T同理，设Z=（Z1?,Z2,?,Zm）为问题的规范化加权目标的负理想解，则任意可行解Zi到负理想解

?Z?之间的距离为：

1

S??i?(Zj?1mij2?Z?j)i=1 ，…，n ， (8.2)

那么，某一可行解对于理想解的相对接近度定义为：

Si? 0≤Ci ≤1,i=1，…，n ， (8.3) Ci???Si?Si于是，若Zi是理想解，则相应的Ci =1；若Zi是负理想解，则相应的C i =0。Zi愈靠近理想解，Ci 愈

接近于1；反之，愈接近负理想解， Ci 愈接近于0。那么，可以对 Ci 进行排队，以求出满意解。

8.1.3 TOPSIS法计算步骤

第一步： 设某一决策问题，其决策矩阵为A. 由A可以构成规范化的决策矩阵Z′，其元素为Z′ij，且有

?? Zijfij?fi?1n i?1,2,?,n;j?1,2,?,m (8.4)

2ij式中，fij 由决策矩阵给出。

(8.5)

第二步： 构造规范化的加权决策矩阵Z，其元素Zij

Zij =Wj Z′ij i=1，…，n； j =1，…，m (8.6)

Wj为第j个目标的权。

第三步： 确定理想解和负理想解。如果决策矩阵Z中元素Zij值越大表示方案越好，则

（Z1,Z2,?,Zm）?{maxZijj?1,2,?,m} (8.7) Z?i????（Z1,Z2,?,Zm）?{minZijj?1,2,?,m} (8.8) Z?i????第四步：计算每个方案到理想点的距离Si和到负理想点的距离S -i 。

第五步：按式(8.3)计算Ci，并按每个方案的相对接近度Ci 的大小排序，找出满意解。

多目标综合评价排序的方法较多，各有其应用价值。在诸多的评价方法中，TOPSIS法对原始数据的信息利用最为充分，其结果能精确的反映各评价方案之间的差距，TOPSIS对数据分布及样本含量，指标多少没有严格的限制，数据计算亦简单易行。不仅适合小样本资料，也适用于多评价对象、多指标的大样本资料。利用TOPSIS法进行综合评价，可得出良好的可比性评价排序结果。

8.1.4应用实例

1、TOPSIS法在医疗质量综合评价中的应用

试根据表8.1数据，采用Topsis法对某市人民医院1995~1997年的医疗质量进行综合评价。

表8.1 某市人民医院1995~1997年的医疗质量

出入院手术前危重病

床位 三日 治愈 院内

床位周平均 诊断符后诊断病死率 人抢救年度 周转率确诊率好转率感染率

转次数 住院日 合率符合率（%） 成功率

（%） （%） （%） （%）

（%） （%） （%）

1995 20.97 113.81 18.73 99.42 99.80 97.28 96.08 2.57 94.53 4.60 1996 21.41 116.12 18.39 99.32 99.14 97.00 95.65 2.72 95.32 5.99 1997 19.13 102.85 17.44 99.49 99.11 96.20 96.50 2.02 96.22 4.79

在原始数据指标中，平均住院日、病死率、院内感染率三个指标的数值越低越好，这三个指标称为低优指标；其它指标数值越高越好，称为高优指标。是低优指标的可转化为高优指标，其方法为是绝对数低优指标x可使用倒数法（

100），是相对数低优指标x，可使用差值法（1?x）。这里，平均住院日采用x2

倒数转化，病死率、院内感染率采用差值转化。转化后数据见表8.2。

表8.2 转化指标值

出入院

床位

床位周平均 诊断符年度 周转率

转次数 住院日 合率

（%）

（%）

1995 20.97 113.81 5.34 99.42 1996 21.41 116.12 5.44 99.32 1997 19.13 102.85 5.73 99.49 手术前后诊断符合率（%） 99.80 99.14 99.11 危重病

三日 治愈 院内

病死率 人抢救

确诊率好转率感染率

（%） 成功率

（%） （%） （%）

（%）

97.28 96.08 97.43 94.53 95.40 97.00 95.65 97.28 95.32 94.01 96.20 96.50 97.98 96.22 95.21

根据表8.2数据，利用公式（8.4）进行归一化处理，得归一化矩阵值，如表8.3。

Zij?fij??f?iji?12n （8.9）

2例如计算1995年床位周转次数归一化值，由公式（8.9）得：

Z11? 其余归一化数值以此类推。

床位周床位 平均 转次数 周转率 住院日

0.592 0.604 0.535

0.560 0.570 0.601

20.9720.97?21.41?19.1322?0.509

年度

1995 0.590 1996 0.602 1997 0.538

表8.3 归一化矩阵值 出入院手术前危重病

三日 治愈

诊断符后诊断病死率 人抢救

确诊率 好转率

合率 符合率 成功率 0.577 0.580 0.580 0.577 0.577 0.572 0.577 0.576 0.578 0.575 0.576 0.577 0.578 0.576 0.574 0.580 0.580 0.583

院内 感染率 0.581 0.572 0.579

由式（8.7）和式（8.8）得最优方案和最劣方案：

??Z??（Z1?,Z2,?,Zm）

? （8.10） ??0.602,0.604,0.601,0.578,0.580,0.580,0.580,0.580,0.583,0.581??Z??（Z1?,Z2,?,Zm）

? （8.11） ??0.538,0.535,0.560,0.577,0.576,0.574,0.575,0.576,0.572,0.572??由式（8.10）、（8.11）和式（8.1）、（8.2）计算各年度D和D，见表8.4。

??例如计算1997年S和S：

S???0.602?0.538???0.604?0.535?????0.581?0.579?（8.12）

?0.094

222S???0.538?0.538???0.535?0.535?????0.572?0.579?（8.13）

?0.044

222其余各年依次类推。

由式（8.3）计算各年度Ci，见表8.4。 例如计算1997年Ci：

Ci?0.044?0.319 （8.14）

0.094?0.044

表8.4 不同年度指标值与最优值的相对接近程度及排序结果 年份

其余各年以次类推。

D? D?

3

Ci

排序结果

1995 0.045 0.078 0.634 2 1996 0.034 0.095 0.736 1 1997 0.094 0.044 0.319 3

由表8.4的排序结果可知1996年医疗质量最好。 2 TOPSIS法在环境质量综合评价中的应用实例 在环境质量评价中，把每个样品的监测值和每级的标准值，分别看作TOPSIS法的决策方案，由TOPSIS法可以得到每个样品和每级标准值的Ci 值，对Ci 值大小排序，便可以得到每个样品的综合质量及不同样品间进行综合质量优劣比较。

表8.5列出所选的参评要素和所确定的评判等级及其代表值

表8.5 某海湾沿岸海水侵染程度分级表

分级 参评要素 Ⅰ 级 Ⅱ 级 Ⅲ 级 Ⅳ 级 (无或很轻侵染) (轻度侵染) (较严重侵 染) (严重侵染) 氯离子 (mg/l) 矿化度 (mg/l) 溴离子 (mg/l) rHCO3/rCl 纳 吸 附 比 ＃

＃

100 500 0.25 1.00 1.40 400 1 500 1.25 0.31 2.60 800 2 500 2.50 0.14 4.50 2 200 3 500 9.00 0.02 15.50 测得111和112水样的各参评要素值如表8.6。

＃＃

表8.6 111和112水样监测值 要素 样品号 氯离子 矿化度 溴离子 rHCO3/rCl 纳 吸 附 比 (mg/l) (mg/l) (mg/l) ＃111 134.71 542.15 0 0.882 1.267 1.576 1.366 ＃112 152.44 721.18 0.20

＃＃

取海水侵染Ⅰ～Ⅳ级标准值和111及112样品监测值构成TOPSIS法中的决策矩阵A，那么

由式(8.4)算出A 的规范化矩阵Z′

因在制定海水侵染分级标准时，各因子的重要性已隐含在分级标准值中，因此，本文由标准值来确定权重，其计算式如下：

4

Wi?Si(n?1)/SiI?(Si?1n (8.15)

i(n?1)/SiI)式中，Wi为i因子的权重；n为标准分级数，在本例中n?4；Si(n?1)为i因子的第n?1级标准值；SiI为

i因子的第I级标准值。

式(8.15)适用于低优指标型因子，在本例中如氯离子、矿化度、溴离子、纳吸附比等，权重计算时用SⅢ/SI；而对高优指标型因子如rHCO3/rHCl，计算时用SⅡ/SⅣ。

通过计算得权重向量WT=｛0.198 0.119 9 0.239 8 0.371 7 0.076 7｝ 由式(8.6)得加权后的规范化矩阵Z为

由式(8.7)，式(8.8)得

Z?=｛0.1768 0.0898 0.2288 0.2520 0.0719｝ ?Z- =｛0.0081 0.0128 0 0.0041 0.0064｝

最后，由式(8.1)，式(8.2)和式(8.3)计算Si?，Si?和Ci 值(表8.7)。

表8.7 Si?，Si?和Ci 值表

Ⅰ

C 112＞CⅠ＞C 111＞CⅡ＞CⅢ＞CⅣ

于是可知：112＃样品综合质量优于111＃样品综合质量，112＃样品质量优于I级标准最低界限值，为I级；111＃样品质量介于I级和Ⅱ级最低界限值之间，属于Ⅱ级。因此，111 ＃样品为轻度侵染，112＃样品为无或很轻污染。由监测值也可以知道：111＃有4个因子达到Ⅱ级，1个因子达到I级；112＃有2个因子达到Ⅱ级(接近I级)，3个因子达到I级。因此，本方法评价结果符合客观实际。

把Ci 排序得

Ⅱ Ⅲ Ⅳ 111 ＃112 ＃Si?0.053 5 0.196 2 0.245 5 0.390 5 0.076 7 0.008 7 Si?0.355 0 0.263 1 0.209 3 Ci0.869 0 0.572 8 0.460 2 0 0 0.345 3 0.384 7 0.818 2 0.977 9 8.1.5 结论

TOPSIS法是一种多目标决策方法，适用于处理多目标决策问题。本文提出TOPSIS法应用于环境质量综合评价中，取得较好的效果，与其他方法比较，具有以下优点：

1、与环境标准巧妙结合起来，不仅能确定各评价对象所属的级别，还能进行不同评价对象间质量的优劣比较。

2、 TOPSIS法原理简单，能同时进行多个对象评价，计算快捷，结果分辨率高、评价客观，具有较好的合理性和适用性，实用价值较高。

TOPSIS法的缺点是Ci*只能反映各评价对象内部的相对接近度，并不能反映与理想的最优方案的相对接近程度。

8.2 秩和比法

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h0vd.html