上海十三校2009—2010学年高三年级联考数学试（理科）

上海十三校2009—2010学年高三年级联考数学试（理科）

考生注意：

1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，

写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；

2．答卷前，考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。 一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）

1．已知集合A?{(x,y)|y?x2?2x},B?{(x,y)|y?0},则A?B= 。 2．函数y?arccos(x2?1)的定义域为 。 3．函数y?()18?x?2的值域是 。

4．函数f(x)?sinx?cosx的单调减区间为 。 5．不等式(|x|?x)(sinx?2)?0的解集为 。 6．设Sn?11113?????(n?N*),且Sn?1?Sn?2?,则n的值是 。 2612n(n?1)47．已知二次函数f(x)?ax2?2x?c(x?R)的值域为?0,???，则f(1)的最小值为 。

28．设函数f(x)在R上有定义，下列函数：①y??|f(x)|;②y?|x|?f(x)；

③y??f(?x);④y?f(x)?f(?x)中偶函数的有 （写出所有正确的序

号）

9．已知定义在R 上的函数f(x)，都有f(x?2)??f(x)成立，设an??f(n)，则数列{an} 中值不同的项最多有 项。

10．用数学归纳法证明：(n?1)?(n?2)???(n?n)?n(3n?1)(n?N*)的第二步中，2当n?k?1时等式左边与n=k时的等式左边的差等于 。

11．已知an?2?n?3,bn?2n?1,则满足anbn?1?an?bn的正整数n的值为 。

1*}(n?N)中可以找出无限项构成一个新的等比数列{bn}，使得该新数列的n21各项和为，则此数列{bn}的通项公式为 。

71213．若关于x的方程log2(ax?2x?2)?2在区间[,2]上有解，则实数a的取值范围

212．从数列{为 。

14．已知a?0,定义在D上的函数f(x)和g(x)的值域依次是[?(2a?3)?,a?6]和

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1

3 [a2?25251,(a2?)?4],若存在x1,x2?D,使得|f(x1)?g(x2)|?成立，则a的取444值范围为 。

二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）

15．“a=1”是“函数f(x)?|x?a|在区间???,1?上为减函数”的（ ）

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

16．Rt?POB中,?PBO?90?,以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A，若弧AB等

分?POB的面积，且?AOB??弧度，则（ ） A．tan??? B．tan??2? C．sin??2cos? D．2sin??cos?

17．设函数f(x)?(x2?10x?c1)(x2?10x?c2)(x2?10x?c3)(x2?10x?c4)(x2?10x?c5) 设集合M?{x|f(x)?0}?{x1,x2,?x9}?N*,设c1?c2?c3?c4?c5，则c1?c5

为（ ）

A．20

B．18

C．16

D．14

a18．设实数a1,a2,a3,a4是一个等差数列，且满足1?a1?3,a3?4。若定义bn?2n，给

出下列命题：（1）（2）（4）b1?b2;（3）b2?4；b4?32；b1,b2,b3,b4是一个等差数列：（5）b2:b4?256.其中真命题的个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5 三、解答题（本大题满分78分，共5小题） 19．（本题满分14分）

在?ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边的长，已知

tanB?3,cosC?1， 3 b?36。求边AB的长与?ABC的面积。

20．（本题满分14分）

某农村在2003年底共有人口1500人，全年农业生产总值为3000万元，从2004

年起计划10年内该要的总产值每年增加50万元，人口每年净增a人。设从2004年起

的第x年年底（2004年为第一年，x?N）该村人均产值为y万元。

（1）写出y与x之间的函数关系式； （2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增量不能超过多少人？ 21．（本题满分16分）

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已知定义在区间[??,时，f(x)??sinx.

3???]上的函数y?f(x)图像关于直线x?对称，当x?244 （1）作出y?f(x)的图像； （2）求y?f(x)的解析式；

（3）若关于x的方程f(x)?a有解，将方程中的a取一确定的值所得的所有的解的和

记为Ma，求Ma的所有可能的值及相应的a的取值范围。

22．（本题满分16分）

a2x?a2?2(x?R,x?0)，其中a为常数，且a?0. 已知函数f(x)?2x?1 （1）若f(x)是奇函数，求a的取值集合A； （2）当a=-1时，设f(x)的反函数为f?1?1且函数y?g(x)的图像与y?f(x?1) (x)，

的图像关于y?x对称，求g(1)的取值集合B。

（3）对于问题（1）（2）中的A、B，当a?{a|a?0,a?A,a?B}时，不等式 x?10x?9?a(x?4)恒成立，求x的取值范围。 23．（本题满分18分）

已知函数f(x)?kx?m,当x?[a1,b1]时，f(x)的值域为[a2,b2]，当x?[a2,b2]

时，f(x)的值域为[a3,b3]，依次类推，一般地，当x?[an?1,bn?1]时，f(x)的值域

为

2[an,bn]，其中k、m为常数，且a1?0,b1?1.

（1）若k=1，求数列{an},{bn}的通项公式；

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（2）项m=2，问是否存在常数k?0，使得数列{bn}满足limbn?4?若存在，求k的

n??值；若不存在，请说明理由；

（3）若k?0，设数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求 (T1?T2???T2010)?(S1?S2???S2010)。

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参考答案

一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分） 1．{（0，0）（2，0）} 2．[?2,2] 4．[2k??6．5 9．4 12．[,12]

3．(0,??) 5．(0,??) 8．②④ 11．2

?4,2k??5?](k?Z) 47．4

10．3k+2

3213．bn?()

18n14．（0，1）

二、选择题（本大题满分16分，共4小题，每小题满分4分）

15．A 16．B 17．C 三、解答题（本大题满分78分，共5小题） 19．（本题满分14分） 解：在?ABC中,因为tanB?18．C

133,cosC?,则sinB?,

32

????2分

sinC?1?cosC?222 3 由正弦定理

cbc36 ?得?sinCsinB22332

????5分

解得c=8，即AB=8。 ????7分

又A+B+C=π，则sinA?sin(C?B)?sinCcosB?cosCsinB??9分

因cosB? S?ABC?122?3,则sinA?, 26

????11分 ????14分

1bcssinA?62?83. 2 综上，AB=8，S?ABC?62?83.

20．（本题满分14分） 解：（1）由题意得，第x年总产值为（3000+50x）万元 人口数为1500+ax， 则y?f(x)?????1分

????2分 ????5分 ????6分

3000?50x,

1500?ax*

x?[1,10],x?N

（2）方法一、由题意得，任取x1,x2?[1,10],x1?x2,

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f(x2)?f(x1)? 恒成立，

3000?50x23000?50x1(x2?x1)(50?1500?3000a)???0

1500?ax21500?ax1(1500?ax2)(150?0ax1)

????11分 ????13分 ????14分

则50?1500?3000a,得a?25,

因a是自然数，则该每年人口的净增量不能超过24分。

方法二，由题意得，f(x?1)?f(x)?0,x?[1,9],x?N*恒成立??8分 又f(x?1)?f(x)?0?3000?50(x?1)3000?50x，????11分 ?1500?a(x?1)`500?ax

????13分 ????14分

所以3000a?1500?50得a?25,

因a是自然数，则该每年人口的净增量不能超过24分。

21．（本题满分16分） 解：（1）y?f(x)的图像如图所示。

????4分

（2）任取x?[??, 则f(x)?f( 又当x??4],则??3???x?[,],因函数y?f(x)图像关于直线x?对称， 2424

????6分

?2?x)

?4时,f(x)??sinx,则f(x)?f(?2?x)??sin(?2?x)??cosx??8分

?????cosx,x???,????4?? 即f(x)????sinx,x?[?,3?]?42? （3）当a=-1时，f(x)?a的两根为0，

????10分

?2,则Ma??2;

????11分

当a?(?1,?2?)时,f(x)?a的四根满足x1?x2??x3?x4, 24????13分

由对称性得，x1?x2?0,x3?x4??,则Ma??;

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当a??2?时,f(x)?a的三根满足x1?x2??x3， 24 由对称性得，x3?x1??2,则Ma?3?; 4????14分

?2???,1时,f(x)?a两根为x,x,则对称性得,M?.??15分 当a???12a?22?? 综上，当a?(?1,?223?)时,Ma??;当a??时Ma?; 224

????16分

?2???,1?{?1}时,M?. 当a??a?2?2??22．（本题满分16分）

解：（1）由必要条件f(?1)?f(1)?0得a2?a?2?0,a?0, 所以a=-1，

????2分

1?2x 下面 证充分性，当a=-1时，f(x)?， x1?2 任取x?0,x?R，

1?2?x1?2x2x?11?2x??x??0恒成立，????4分 f(?x)?f(x)??xxx1?21?22?11?2 由A={-1}。

????5分

1?2xy?1 （2）法一，当a=-1时，由y?f(x)?得x?log, 2y?11?2x 互换x，y得f 则f?1?1(x)?log2x?1, x?1

????6分 ????7分

(x?1)?log2x， x?2?2x?1 从而y?g(x)?x

2?1 所以g(1)??4, 即B={-4}

????8分 ????9分 ????10分

1?2x?1由y?f(x?1)得, 法二、当a=-1时，由f(x)?x1?2x?1?f(y),x?f(y)?1,

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7

?2x?1 互换x，y得y?g(x)?f(x)?1?x

2?1 所以g(1)??4 即B={-4}

????8分 ????9分 ????10分

（3）原问题转化为g(a)?(x?4)a?(x2?10x?9)?0,a?{a|a?0,a??1,a??4}

恒成立，则??x?4?0

?g(0)?0

????12分

或??x?4?0

g(0)?0?

????14分 ????16分

则x的取值范围为[，4]。

23．（本大题满分18分）

解：（1）因为f(x)?x?m,当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调增函数, 所以其值域为[an?1?m,bn?1?m]

????2分 ????4分 ????6分

于是an?an?1?m,bn?bn?1?m(n?N*,n?2) 又a1?0,b1?1,所以an?(n?1)m,bn?1?(n?1)m.

（2）因为f(x)?x?mf(x)?kx?m(k?0),当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调增函数

所以f(x)的值域为[kan?1?m,kbn?1?m],因m?2,则bn?kbn?1?2(n?2)??8分 法一：假设存在常数k?0，使得数列{bn}满足limbn?4,则limbn?klimbn?1?2，

n??n??n??得4?4k?2,则k?1符合。 2 ????12分

法二：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足limbn?4.

n??当k=1不符合。??9分

当k?1时,bn?kbn?1?2(n?2)?bn?则bn?(1?22?k(bn?1?)(n?2)， k?1k?1????11分 ????12分

22)kn?1?, k?1k?121?4,得k?符合. 当0?k?1时,limbn?n??1?k2 （3）因为k?0,当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调减函数,

所以f(x)的值域为[kbn?1?m,kan?1?m]

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8

????13分

于是an?kbn?1?m,bn?kan?1?m(n?N*,n?2) 则bn?an??k(bn?1?an?1) 又b1?a1?1

????14分 ????15分

?i,(k??1)?则有Ti?Si??1?(?k)i

,(k?0,k??1)??1?k进而有

????16分

,(k??1)?2021055?(T1?T2???T2010)?(S1?S2???S2010)??2010?2011 k?k2011,(k?0,k??1)?(1?k)2?

????18分

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