高数复习卷1答案

2011-2012学年第二学期《高等数学B》复习卷（一）标答

一、填空题（每格3分，共15分）

ln33 1、2；2、30；3、；4、 dy yf(x,y)dx；5、x y 2z 0。 0e42

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、B；2、D；3、A；4、D；5、C

三、计算题:（每题7分，共56分）

1、解：设u (x2 y2),v xy则z ue v

z z u z v ev 2x uev y exy(2x x2y y3) x u x v x

z z u z v ev 2y uev x exy(2y x3 xy2) y u y v y

dz z zdx dy exy(2x x2y y3)dx exy(2y x3 xy2)dy x y

2222、解：F(x,y,z) x y z xf( y

x

yyyyyyFx 2x f() xf () ( 2) 2x f() f () xxxxxx

y1yFy 2y xf () 2y f ()，Fz 2z xxx

yyy2x f() f ()F z, x xFz2z

3、解：设：y f() 2yFy z yFz2z f(x,y)d A,则 f(x,y)d 3 xyd 2A d DDDD

12x1

000即：A 3xyd xdxydy 2x dx D1 2

则f(x,y) 3xy 1

4、解：1 xy1xyd d 1 x2 y2 1 x2 y2 1 x2 y2d

DDD

D关于x轴对称，函数xyxy关于y为奇函数，所以d 0 22221 x yD1 x y

1 1 xy1 2d 则 d d d ln2 222220 21 D1 x yD1 x y2

5、解：22xzdV x dx 2dy zdz

1x011y1121211282 xdxydy (x x)dx 2 1x 126276、解: P(x,y) 2y xe2y, P Q 2 2xe2y;Q(x,y) x2e2y 8, 2xe2y y x

添加有向线段AO,则

(2y xeL AO2y)dx (x2e2y 8)dy (D Q P )dxdy 2 dxdy 4 x yD

而 (2y xe2y)dx (x2e2y 8)dy AO 4xdx 8 0

所以 L(2y xe2y)dx (x2e2y 8)dy 4 8

237、解: P(x,y) axy y, P Q 2axy 3y2;Q(x,y) 6x2y bxy2, 12xy by2 y x

P Q ,即2axy 3y2 12xy by2 a 6,b 3 y x

34

12要使积分在整个XOY面内与路径无关,则有(3,4)则 (1,2)(6xy2 y3)dx (6x2y 3xy2)dy (24x 8)dx (54y 9yh2)dy 236

P Q R 2;Q 3y 2, 3;R z, 1 x y z8、解: P 2x 1,

添加曲面 1:z 1(x2 y2 1)取上侧: (2x y)dydz (3y 2)dzdx zdxdy dxdy

1Dxy

1 (2x y)dydz (3y 2)dzdx zdxdy ( P Q R )dV 6 dV 2 x y z

所以 (2x y)dydz (3y 2)dzdx zdxdy 2

四、应用题（8分）

解:设切点(x0,y0,z0),F(x,y,z) x y z 4,Fx 2x,Fy 2y,Fz 2z 222

则切平面方程为2x0(x x0) 2y0(y y0) 2z0(z z0) 0,即x xy yz z 1 444

x0y0z0

431321四面体的体积为: V 6x0y0z03x0y0z0

问题转化为求: u xyz在条件x2 y2 z2 4下的极大值: 设F(x,y,z, ) xyz (x2 y2 z2

4)

F yz 2 x 0 x

Fy xz 2 y 0 x y z 处u最大,则V最小

, V Fz xy 2 z 0 222

x y z 4 0

五、证明题：（6分）

2f 2f 0，证明：函数z f(x y,x y)满足设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足 u2 v2

2z 2z 0。 x2 y2

证明:设u x y,v x y

z fu fv , x 2z fuu fuv fvu fvv 2 x

z fu fv , y 2z ( fuu fuv ) ( fvu fvv ) fuu fuv fvu fvv 2 y

22 2z 2z f f 2f 2f 2( ) 0 uuvv2222 x y u v

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