近世代数中的反例（修订）

数学与信息科学学院

本 科 学 年 论 文

课 题 近世代数中的反例 专 业 数学与应用数学 指导教师 刘 熠 班 级 2008级3班 姓 名 彭 杰 学 号 20080241141

2011年5月28

目 录

摘 要.......................................................................................................................... 2 关键词.......................................................................................................................... 2 0引言 ........................................................................................................................... 3 1反例的作用 ............................................................................................................. 3

1．1构造反例，正确理解概念，否定猜想........................................................ 3 1．2构造反例，化抽象为具体............................................................................ 4 1．3构造反例，重视定理形成的条件，正确理解结论.................................... 4 1．4构造反例，区分相近概念与性质................................................................ 5

2构造反例的方法 ................................................................................................... 5

2．1否逆构造法.................................................................................................... 5 2．2逆向构造法.................................................................................................... 6 2．3顺向构造法.................................................................................................... 6

3近世代数中的几个典型反例 ............................................................................ 6 结束语........................................................................................................................ 10 参考文献 ................................................................................................................... 10

1

近世代数中的反例

摘 要：针对近世代数内容抽象，定理和性质易混淆错误的特点，通过分

析反例在近世代数中的作用和构造反例的方法，并结合近世代数中典型问题的实例研究，来加深对近世代数中易错概念、性质的理解和掌握，并由此提高学生分析问题解决问题的能力．

关键词：近世代数；反例；反例的构造；反例的引用

A Brief Analysis of Counter-example in Modern Algebra

Abstract: For the characteristics of the modern algebra that the content is abstract，the theories and the natures are easily-mixed，though the analysis of the function of counter example in modern algebra and the method of forming counter example，combining the study of typical problems in modern algebra，we can have a better understanding as well as master the easily-mixed conceptions and natures of modern algebra．By doing so the students' ability to analyze and solve can be improved.

Key words: Ethical algebra; Counterexample; Counterexample tectonic;

Counterexample reference

2

0引言

对于数学命题，证明与构造反例是两种不同的“论证”方法，具有同样的说服力，前者是肯定命题，后者是否定命题．正如美国数学家B．R．盖尔鲍姆所说：“数学由两大类——证明和反例组成，而数学也是朝着这两个目标——提出问题和构造反例而发展．”而对于近世代数，学会构造反例并从反例中加深对概念、性质的理解和掌握，是学好近世代数的一个非常有用的方法．近世代数课程理论性强、内容抽象，学习起来有一定的困难，特别是对一些概念的理解、性质的运用容易出现偏差，因此反例对理解概念、掌握性质等，提高同学们分析问题、解决问题的能力有着重要的作用．

文献中，作者运用反例，给出了近世代数中许多定理、性质的近似命题或逆命题的否定．从而加深了对原命题的理解和掌握．

文献[2][4]中，作者介绍了构造反例在近世代数中的作用，并给出了构造反例的思维原则及构造反例的常用方法，为构造近世代数中的反例指引了方向，为进一步学习近世代数打下了基础．

[1]

1反例的作用

如果要断定一个命题为假，只需找出一个适合条件而结论不真的例子就可以了，所以反例的举出是一个创造性的过程．它是我们理解、深化知识，辨析正误，培养思维能力的有效工具．

1.1构造反例，正确理解概念，否定猜想

近视代数中有很多性质和定理，在学习过程中不免会让人有猜测，它的逆命题或者否命题是否正确．然而近世代数中大多数性质和定理的逆命题或者否命题都是错误的，如果此时我们能给出一个实际的反例，来否定这些猜想，将会对我们正确的理解概念起到重要的作用．

例1：我们在学习直积时有A?B?{(a,b)|a?A,b?B}，这容易使我们想到在经典代数中关于乘法的交换律A?B?B?A，那么直积是不是也有这个性质？

反例：设有两个集合，A?{1,2}，B?{3,4}，根据直积的运算

A?B?{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}， B?A?{(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，

显然有A?B?B?A．

从上面的反例1我们就能很清楚的知道，直积是不具有交换律的．

3

例2：[1]对于命题“交换群的子群是交换群”是正确的，而其否命题“非交换群的子群都是非交换群”却是错误的．

反例：S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}是一个非交换群，H?{(1),(12)}是

S3的一个子群，但H是交换群．

同样的我们还能得到一个非循环群S3有一个子群H?{(1),(12)}?[(12)]是循环群．

1.2构造反例，化抽象为具体

性质和概念常常是以文字语言所描述的，判断其正误的时候都有一定的抽象性，因此反例此时能起到简化思想，化抽象为具体的作用．

例3：1)“环R有单位元，子环S有单位元”．（命题错误）

反例：R是整数环Z，有单位元1，而子环S是偶数环，没有单位元． 2)“环R无单位元，子环S无单位元”．（命题错误） 反例：[1]设R??????0???a?0??a,b是整数??b????a?00???Rb?，A??，B???c?00???Rd?，

?a加法：A?B???00??c?+?b??00??c??b??00??a+b?=?d??00??ac?=?d??00??0?0??， b+d?乘法：AB???a?0，

容易验证R是环，R显然没有单位元．

而S=????a?0??0??a是整数0???是R??的子环，子环S有单位元??1?00??． 0?1.3构造反例，重视定理形成的条件，正确理解结论

在学习数学定理时， 普遍存在一个问题， 就是只去注意定理的结论， 而忽略了定理成立的条件．通过缺少某些条件的反例，来否定命题的结论，就能引起对定理形成的条件的重视，而正确的理解结论．

例4：在学习环的性质时有：若R是交换环，则?a,b?R，有?n?N，

?ab?n?abnn．当把条件“R是交换环”去掉，即对任意的环而言，该命题是错

?1?00???R2??1?22???R1?误的．

反例：设环R?(M2(F),?,?)，A??因为

?1AB???00??1??2??22??1???1??42??1???2??24??1???2??22??1??1??00???BA， 2?，B??，

4

所以R?(M2(F),?,?)不是交换环，当n?2时，(AB)2?A2B2．

我们知道某些定理结论的成立是需要一定特殊条件的，而通过上面的例子，很容易就能证明这一点，这就提醒我们在学习定理是要对定理成立的条件引起足够的重视．

1.4构造反例，区分相近概念与性质

近世代数课程中，一些概念、性质较类似，初学者容易混淆．如，同构映射与同态映射、群(环)的同构与同态、群的阶与元素的阶、置换群与变换群、零理想与单位理想等概念，这些容易模糊、混淆的概念、性质，可以通过例子(反例)加以说明，使之区别开来．因此，构造反例是区别相近概念、性质很好的方法．

例5：设群G与群G的代数运算分别是?与 ?．

如果存在满射?:G?G，使?a、b?G都有?（a?b）=?(a)??(b)．则称?是群同态满射，并称群G与群G是同态的．

如果存在双射?:G?G，使?a、b?G都有?（a?b）=?(a)??(b)，则称?是群同构映射，并称群G与群G是同构的．

群G与群G同态或同构的区别在于它们之间存在一个保运算的满射还是保运算的双射．为了便于理解，举一些反例让学生加以区别．

反例：1)设模2的剩余类加群Z2?{[0],[1]}及二次单位根群U2?{?1,1}作映射：?:Z2?U2，[0]?1，[1]??1，则?是Z2到U2的同构映射，从而Z2与U2是同构的；

2)设G是正有理数乘群，G为整数加群．注意，任一个正有理数都可以表为2nba 的形式(a与b是互素的奇数，2为整数)．作映射??2n??b?则???n，

a?是Z2到U2的同态满射，从而Z2与U2是同态．但?不是单射，从而不是同构映射．

2构造反例的方法

构造反例，就是举出一个实例，说明命题不成立，或从矛盾方面说明概念的实质等．因此我们在利用反例否定一个命题的时候，要研究好这个命题所包含的条件是什么，以及有什么样的结论．在文献[2] 中，作者给出了构造反例的否逆构造法、逆向构造法、顺向构造法等方法．下面举出实例加以说明．

2.1否逆构造法

否逆构造法即否定结论，然后寻求否定后的结论成立的条件，且该条件满足原命题的要求，再通过条件构造反例．

5

例６：我们知道，当H是子群时，有HH?H．但其反命题：当HH?H时，有H是子群．（反命题不成立）

分析：要否定这个反命题，先否定它的结论，即找一个集合H，但它不是群，并且要求有HH?H．找到这样一个集合，便可以否定这个错误的命题．

反例：设H所以奇数构成的集合，显然有HH?H，而奇数是所有自然数的子集，而自然数集是群，但是H却不是群，因为H中出1外都没有逆元．

2.2逆向构造法

逆向构造发同样从结论入手，推到结论成立的条件，再构造一个不符合此条件的例子即得到反例．

例７：对于命题“阶是素数的群一定是循环群．”其反命题为“循环群的阶一定是素数．”．

分析：先确定这个反命题的条件是要满足群是一个循环群，而它想得到的结论是这个群的阶是素数，那么我们在否定这个命题时就可以找一个循环群而它的阶是偶数．

反例：设S6?(a)?{e,a,a2,a3,a4,a5}，显然S6是一个循环群，而S6的阶为6阶，是一个偶数，即反命题错误．

2.3顺向构造法

根据否定性原则，从“符合条件”入手，继而考虑“否定结论”，再构造反例，即顺向构造法．

例８：否定命题“群G的两个子群的并集也是子群”

分析：举例应该符合要求：①作群G及两个子群H、S；②并集H?S不是子群．

反例：[2]S?{(1),(12)}，H?{(1),(13)}是3次对称群

S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}

的两个子群，但H?S?{(1),(12),(13)}不是S3的子群，因为(12)(13)?(132)?H， 从而得到有H不是S3的子群．

3近世代数中的几个典型反例

例7：群是近世代数中的基础，因此常会遇到判断一个集合是否为群的问题，这里我们就利用一个群和一个同态关系来判断另一个集合是否也是群．

设G是一个群，G是一个有代数运算的集合，如果G~G，则G也是一个

6

群．（正确命题）

有G~G，若G是一个群，则G也是一个群．（错误命题）．

反例：设G?{所有奇数}，代数运算为普通乘法，G?{e}，对于乘法e?e?e来说构成一个群，令?：a?e，显然G到G的一个同态满射，故有G~G，G是群，但G却不是群．因为G中除1外对于任意的元素都不存在逆元．

反例：[2]G?{n|n是不能被3整除的整数}，G?{?1,1}，运算都是普通数的乘法，

?1,?（n）=???1,n被3除余数为1n被3除余数为2，

则?是G到G的同态满射，从而G与G同态，但G是群而G不是群（有些元素没有逆元）．

通过上面的两个反例，我们可以正确理解结论：G是群?G是群，而不是G是群?G是群．这里我们在分析时还发现这两个集合满足的关系式比较强的，即要求为满同态．但是我们在学习时往往会不自觉的降低了它条件要求考虑成以下命题，那么这个命题到底是否正确？

设G是一个群，G是一个有代数运算的集合，如果G与G同态，则G也是一个群．（该命题错误，反例如下．）

x反例：有G?{R,?}，显然G是一个群，令?:G?G为?(x)?e，}，G?{R,?有?不是满射，对?x,y?R，

?(x?y)?ex?y?e?e??(x)??(y)，

xy得到G与G同态，但是G却不是群，因为G中0没有逆元．

综合上面的例子我们看到，在理利用同态关系推一个集合是否为群时，必须要满足是满同态，而且还不能互推，这就留个我们一个思考，那么什么情况下能互推？在文献[3]给出了这样的结论：若G与G个各有一个代数运算的代数系统，且G?G，则当G与G中有一个是群时令一个必然也是群．

例8：Lagrange定理把群的阶和子群的阶联系起来，为判断一个群的子群提供了很好的方法．但是初学者常常会认为，只要一个群的阶有因数m，则这个群就一定有以m为阶的子群或者认为只要群H的阶数是群G的阶数的因数，就有

H为G的子群．同过反例的研究就可以避免犯这种错误． 一个有限G群的子群H的阶能整除G的阶．（正确命题）

若G的阶为n，如果有m|n，那么群G有以m为阶的子群．（错误命题）

7

若G的阶为n，H的阶为m，m|n，则H为G的子群．（错误命题） 反例：[1]A4是交代群，A4的阶为12，而6|12，但A4没有以6为阶的子群． 反例：S6?(a)?{e,a,a2,a3,a4,a5}，S6?6，a4?3，3|6，但是H?(a4)不是S6的子群．因为对?b?H不存在b?1?H．

通过上面的两个反例，能让我们更加清楚的分清群、子群、群的阶及子群的阶的关系，从而在证明子群和求子群的时候能更加清楚明白认识到lagrange定理是一个必要条件而不是从分条件．

例9：在学习陪集的时候知道，左陪集和右陪集一般是不相等的，但是若群是交换群则就相等，这就容易产生一种想法：那么当左陪集和右陪集相等时，这个群是不是就是交换群了喃？这里就通过两个实际的反例来否定这种想法．

若G是交换群，H?G时有Ha?aH．（正确命题） 有H?G，若Ha?aH，则G是交换群．（错误命题）

反例：设S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，H?{(1)}，对任意的a?H，总有Ha?aH，但是存在(13)?S3，(23)?S3，使得(13)(23)?(23)(13)，

故有S3不是交换群．

通过上面的反例我们知道，交换群的左右陪集相等，为左右陪集相等时群却不一定是交换群．

例10：在学习了子群之后我们知道子群是具有传递性的，而在其后学习的正规子群和理想就容易让人产生联想，是否他们也具有传递性，这里通过下面的两个反例来给出说明．

对于子群有命题：N?H,H?G?N?G；（命题正确） 对于正规子群命题：N?H,H?G?N?G；(命题错误) 同样的对于理想：N?H,H?G?N?G．(命题错误) 反例：[1]设有S4 ，K4?{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，

B4?{(1),(14)(23)}，

易知K4是S4的子群，B4是K4的子群，并且K4是S4的正规子群．因为K4是阶为4的群，所以为交换群，故其子群B4是正规子群．

但B4却不是S4的正规子群，因为

(34)[(14)(23)](34)?(13)(24)?B4．

?1反例：

[3]

???x 设 R??????z?y??x,y,z,w?Z??M2?Z?w????，

8

???a1N?????a3????2a1I?????a3??a2??a?2Z??R?ia4???， ，

*??中， *??a2???ai?2Z??Na4????2a1但是??a3a2??x??a4??zy??2a1x?za2???w??*不能保证2a1x?za2是4的除数，所以I未必是R的理想．

通过上面的两个反例，我们清楚的认识到正规子群和理想是不具有传递性的，从而加深了我们对子群传递性的理解．

例11：在学习环的理想时讲到这样一个特殊的性质，除环只有平凡理想．除环是一类特殊的环，而平凡理想也是特殊的理想，那么这两个特殊的概念放到一起时能不能互推，就用下面的反例来说明这个问题．

除环只有平凡理想．（正确命题） 只有平凡理想的环是除环．（错误命题）

[2]

反例：Q2?2??????a11???a21?a12??a是有理数??ija22???，我们说Q2?2只是零理想同单位理想．

a12??0???a22??00??a11???0??01??0???0??0设N是Q2?2的一个理想， N?0，N??an?0，那么

?a11?a210??，不失一般性假设0??1??0?0??10??a11??0??a210??a11??0??a21a12??1??a22??0a12??0??a22??00???N， 0?0???N， a11??a11易知??00???N， a11??1?a11??00??a11?1??a11??00??1???a11??0?1?22??4?0???N， 1?所以N?Q2?2，但Q2?2不是除环，因为?没有逆．

除环只有平凡理想，而只有平凡理想的环却不是除环．排除了我们想当然的以为可以的逆推，从而对除环和平凡理想的概念都有更清晰的理解．

9

结束语

近似代数具有内容抽象的特点，而通过反例的运用，能促进对近世代数中易错概念、性质的理解和掌握，并能培养学生的发散思维和提高学生的逻辑思维能力，这反应了反例的运用在抽象的近世代数的学习中有不容忽视的地位和作用．

参考文献

[1] 胡崇慧．代数中的反例[M]．陕西：陕西科技技术出版社，1983

[2] 徐为坚．近世代数反例的作用和构造方法[J]．玉林师范学院院报（自然科

学），2010．31(2):2-6

[3] 徐德余等．近世代数[M]．成都：四川大学出版社，2006．9

[4] 黄影．浅谈如何提高近世代数的教学质量[J]．沈阳：沈阳师范大学学报（自

然科学），2010．28(4):568-570

[5] 陈秀红．反例及反正法在线性代数中的作用[J]．邵乌达蒙族师专报，

2003．24(2):9-10

[6] 占莹．试论反例的功能与构造[J]． SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION，

2008．14:597-598

[7] 刘江蓉．用构造思想锻炼学生的创造性思维[J]．高等函授学报(自然科学

版)，2010．23(3):6-8

10

结束语

近似代数具有内容抽象的特点，而通过反例的运用，能促进对近世代数中易错概念、性质的理解和掌握，并能培养学生的发散思维和提高学生的逻辑思维能力，这反应了反例的运用在抽象的近世代数的学习中有不容忽视的地位和作用．

参考文献

[1] 胡崇慧．代数中的反例[M]．陕西：陕西科技技术出版社，1983

[2] 徐为坚．近世代数反例的作用和构造方法[J]．玉林师范学院院报（自然科

学），2010．31(2):2-6

[3] 徐德余等．近世代数[M]．成都：四川大学出版社，2006．9

[4] 黄影．浅谈如何提高近世代数的教学质量[J]．沈阳：沈阳师范大学学报（自

然科学），2010．28(4):568-570

[5] 陈秀红．反例及反正法在线性代数中的作用[J]．邵乌达蒙族师专报，

2003．24(2):9-10

[6] 占莹．试论反例的功能与构造[J]． SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION，

2008．14:597-598

[7] 刘江蓉．用构造思想锻炼学生的创造性思维[J]．高等函授学报(自然科学

版)，2010．23(3):6-8

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/h0p6.html