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第一章 一元函数微分学

1．理解函数概念，知道函数的表示法；理解函数的两要素，会求函数的定义域．

①定义：设x和y是两个变量，D?R，若?x?D，变量y按一定的规则有一个确定的值与之对应，则称y是x的函数，记为y?f(x)．

②表示法：1）显式表示y?f(x)；2）隐式表示F(x,y)?0；3）分段函数表示；4）参数方程表示；5）表格表示法或图形表示法．

③两要素：对应规则和定义域，只有这两者都相同才是同一函数． ④定义域：x的允许取值范围即自然定义域． ⑤特殊函数：1）绝对值函数y?x?x2；2）符号函数y?sgnx；3）取整函数y??x?．

2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性等定义．

①奇偶性：设函数y?f(x)的定义域D是关于原点对称的，若?x?D，都有f(?x)??f(x) （f(?x)?f(x)），则称函数f(x)为奇函数（偶函数）．

偶函数的图形是关于y轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的．

②单调性：设函数y?f(x)在区间I上有定义（I是函数的定义域或者是定义域的一部分）．如果对于任意的x1,x2?I,当x1?x2时,都有f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(x2)?，则称函数y?f(x)在区间I上单调增加（单调减少）．

③周期性：对于函数f(x)，如果存在一个非零正常数T，对定义域内的一切x均有

f(x?T)?f(x，则称函数)f(x)为周期函数．并把T称为f(x)的周期．应当指出的是，通常讲的周

期函数的周期是指最小的正周期．

④有界性：若有正数M存在，使函数f(x)在区间I上恒有f?x??M，则称f(x)在区间I上是有界函数；否则，称f(x)在区间I上是无界函数．

3．了解复合函数与反函数的定义．

①复合函数：若y?f?u?u???x?，当??x?的值域落在f?u?的定义域内时称函数y?f???x??是由中间变量u复合而成的复合函数．

②反函数：设函数的定义域为Df，值域为Vf．对于任意的y?Vf，在Df上至少可以确定一个x与y对应，且满足y?f?x?．如果把y看作自变量，x看作因变量，就可以得到一个新的函数：

x?f?1?y?．我们称这个新的函数x?f?1?y?为函数y?f?x?的反函数，而把函数y?f?x?称为直

- 1 -

接函数．直接函数y?f?x?与反函数y?f?1?x?的图形是关于直线y?x对称的．

4．知道基本初等函数的性质与图象．

①幂函数 y?xa?a?R?

它的定义域和值域依a的取值不同而不同，但是无论a取何值，幂函数在x??0,???内总有定义．当

a?N或a?1，n?N时，定义域为R． 2n?1②指数函数 y?ax?a?0，a?1?

它的定义域为???，???，值域为?0，???．指数函数的图形如图1-2所示． ③对数函数 y?logax?a?0，a?1?．对数函数y?logax是指数函数y?ax的反函数．其

图形见图1-3．定义域为?0，???，值域为???，???．

在工程中，常以无理数e＝2.718 281 828?作为指数函数和对数函数的底，并且记

ex?expx，logex?lnx，而后者称为自然对数函数．

图1-2

图1-3

④三角函数：正弦函数y?sinx、余弦函数y?cosx、正切函数y?tanx、余切函数y?cotx、正割函数y?secx和余割函数y?cscx．

⑤反三角函数：反三角函数主要包括反正弦函数y?arcsinx、反余弦函数y?arccosx、反正切函数y?arctanx和反余切函数y?arccotx等．

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这六类函数叫做基本初等函数．这些函数在中学的数学课程里已经学过．

通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数．

例如，y?ln?sinx?4?，y?e2xsin?3x?1?，y?3sinx，?都是初等函数．初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到．例如符号函数y?sgnx，取整函数

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y??x?等分段函数就是非初等函数．

在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的．

例1-1 把下列复合函数分解为基本初等函数： 1）y?cot2）y?2sin2xx?y?u,u?cotv,v?． 22(x?lnx)?y?2u,u?v2,v?sinw,w?x?lnx．

3）y?3sinx?y?3u,u?sinv,v?x2． 4）y?cosx?y?cosu,u?v,v?x2． 5）y?arcsine3x2?y?arcsinu,u?ev,v?3x．

5．了解各类极限概念，熟练掌握求各类极限的方法．

①定义1 limf?x??A????0,???0,当0?x?x0??时，有f?x??A??．

x?x0 左极限：limf?x??A????0,???0,当x0???x?x0时，有f?x??A??． ?x?x0 右极限：limf?x??A????0,???0,当x0?x?x0??时，有f?x??A??． ?x?x0当x?x0时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等．

②定义2 limf?x??A????0,?X?0,当x?X时，有f?x??A??．

x??③函数极限的性质

1）唯一性：如果limf?x??A存在，那么这极限唯一．

x?x02）局部有界性：如果limf?x??A存在，那么存在常数M?0和??0，使得当0?x?x0??x?x0时，有f(x)?M．

3）局部保号性：如果limf?x??A，而且A?0（或A?0），那么就存在着点x0的某一去心邻

x?x0域，当x在该邻域内时，就有f?x??0（或f?x??0）．

4）函数极限与数列极限的关系：如果limf?x?存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0x?x0的数列，且满足：那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且limf?xn??limf?x?． xn?x0(n?N?)，

n??x?x0④极限运算法则和准则

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1）四则运算法则：如果limf?x??A，则mlimg?x??B，il?f?x??g?x??、limf(x)g(x)、limf(x)g(x)存在，且lim? ?f?x??g?x????limf?x??limg?x??A?B；limf?x?g?x??limf?x??limg?x??AB；

limf?x?limf?x?A???B?0?． g?x?limg?x?B2）夹逼准则：如果数列?xn??（1）yn?xn?zn、yn?及?zn?满足下列条件：

?n?1，（2） 2，3...?，

limyn?a，limzn?a，那么数列?xn?的极限存在，且limxn?a．

n??n??n??3）单调有界准则：单调有界数列必有极限． ⑤无穷小及阶的比较：

1）定义：当在给定的x?＊下，f?x?以零为极限，则称f?x?是x?＊下的无穷小量； 2）无穷小量的性质

性质1 两个无穷小量之和仍为无穷小量．

性质2 有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量．（注：常用此性质求极限） 性质3 两个无穷小量之积仍为无穷小量． 性质4 若f(x)为无穷大量，则其倒数

1为无穷小量；若f(x)为无穷小量，且f(x)?0，则f(x)其倒数

1为无穷大量． f(x)x?x0(?)A?fx(?)A??，其中?为当x?x0时的无穷小量． 性质5 limfx3）无穷小量阶的比较：设变量?、?都是自变量x在同一变化过程中的两个无穷小量，

??0，就说?是比?高阶的无穷小，记作??????； ??如果lim??，就说?是比?低阶的无穷小；

??如果lim?c?0，就说?是和?同阶无穷小；

??如果limk?c?0，k?0，就说?是关于?的k阶无穷小；

??如果lim?1，就说?与?是等价无穷小，记作?~?．

?如果limx2（几个常用等价关系式：x?0时①sinx∽x;②tanx∽x;③1?cosx∽;④arcsinx∽x;⑤arctanx

2?∽x;⑥e?1∽x;⑦ln(1+x) ∽x;⑧(1?x)?1∽?x.一定要记住这几个无穷小等价关系式）

x- 4 -

2)nis(nis)(B)1xC1(x1n()l3)??xD?例1-2 （1）x→0时，与x等价的无穷小量是（ C ）．(Ax1xx?

（2）??1?cosx,??2x2,则x?0时( B ) ．

(A)α∽β (B) α与β为同阶无穷小 (C)???(?) (D)???(?)

（3）下列无穷小中，在x→0时是同阶无穷小的是（ B ）．

(A)3x2?x4与x (B)3x2?x4与x2 (C)3x2?x4与x3 (D)3x2?x4与x4

（4）在x→0时，下列函数与x相比是高阶无穷小的是（ D ）．

(A)sinx (B)x?2 (C)x (D)1?cosx

（5）在x→0时，f(x)??sinx0sint2dt与g(x)?x3?x4比较是（ B ）的无穷小．

1． 6(A)等价 (B)同阶非等价 (C)高阶 (D)低阶

（6）当x→0时，f(x)?x?sinax与g(x)?x2ln(1?bx)是等价无穷小，则a?1,b??⑥求极限的方法（※为重点考试方法） 1）代入法（用极限法则或连续函数的定义）：

例1-3 ①lim(2x?1)?2?3?1?5．

x?317?22x?x?7xx?1． 2）化无穷大为无穷小法：②lim2?limx??2x?x?4x??142??2xx22?x2?9?lim?x?3??6． 3）消去零因子法： ③ limx?3x?3x?34）分子（或分母）有理化法： ④limx????x2?1?x?lim?1x?1?x2x????0．

⑤limx?2x2?5?32x?1?5??limx?2?x2?5?32x?1???2x?1?5?

5??2x?1?5??x?5?3?x2?5?32???limx?2(x2?4)(2x?1?5)(2x?4)(x2?5?3)?limx?2(x?2)(2x?1?5)2(x2?5?3)?25． 3※5）用无穷小性质求：⑥ limsinx1?lim?sinx?0（无穷小量乘有界量为无穷小）．

x??x??xx⑦limxarctan?x?1?x?lim?arctan(x?1)?0．

x??x??3x2?x?13x2?x?1- 5 -

1?1?x1?2?2x?1?2x??e?e2．※6）用重要极限：⑧ lim?（详细内容见下面第6点） ?lim????3x??2x?3x??3????1??e22x??7）用极限准则：⑨lim?n??x?12?n?1?1n?22????n?1,??xn??22n?n?n?n1nn?12．

1?3x1?t21?t268）变量代换法：⑩lim． (令t?x)?lim?lim?x?11?xt?11?t3t?11?t?t23(11)lim(1?x)tanx?1??u?2????x(令1?x?u)?limutan??u??limucotu?lim?cosu?．

u?0u?0?222??22?u?0sinu2ln(1?2x)2x2?lim?；

x?0x?0sin3x3x3※9）等价无穷小代换法：(12)limx22x?2sinx?sin2x2sinx(1?cosx) (13)lim?lim?lim32?1． 33x?0x?0x?0xxx代换原则：乘除可换，加减忌换．

※10）洛必达法则：详细内容见后面15页．

6．掌握应用两个重要极限求极限的方法．

①limsin??x?sinxsin??1，lim ?1或lim?1；两个??x?（或Δ）应该是一模一样的无穷小量．

x?0?(x)?0??0x??x??21?cos2x2sin2x2?sinx?例1-4 1）lim?lim?lim??x?0sin23xx?0sin23x9x?0?x?sin23xsin23x2）lim?9lim?9； 22x?0x?0x(3x)3）limn?3x?2????； sin3x??92sin(x?1)sin(x?1)11?lim??． 2x?1x?1x?1x?1x?12x11?1??1?②lim?1???e； lim?1?x?x?e；lim?1???e；lim?1???x???(x)?e ；

?(x)?0n??x??x?0?n??x?11??lim?1???e；lim?1?????e．

??0???????成立的条件是在给定趋势下，两个??x?（或Δ）是一模一样的无穷小量；Ο是是一模一样的无穷大量． 用此公式的步骤：①1识别；②先得内，再得外；③内一翻，再还原．

1ln?1?x????x?limln(1?x)x?lne?1； 例1-5 ①lim1?2x?lim??1?2x?2x??e?2； ②limx?0x?0x?0x?0x???21?- 6 -

??3??3?③lim?1???lim??1??x??x????x??x??2x?x3?????6?2??1??2?xe?2x????6??e； ④lim???3?e． ??limxx??3?xx????(?3)e???3?3?1???x?xx??(?2)2练习1-1 1、求下列极限 （1）limln(2x?1)x?1?x?1?limlim(3?cosx)；（2）；（3）??x??x??x3?1x??x?1sinx??2x?42；（4）limx?01?tanx?1?sinx；

x(1?cosx)（5）lim4x2?x?1?x?1x2?sinx????x??????；（6）lim?1??x???x?x?k?1?x?21?xcot（7）lim； (??0,k为常数)；???x?1??1?x??1?12x（8）limx?sinln?1?x??3??1??1??lim；（9）?sinln1???????x?0x?1x????x??；（10）lim??2?x?? x?02?x??1xx2?ax?b?5，求a,b．2、设lim（参考答案：a??7,b?6）

x?11?x参考答案：

1?1??1、（1）0．（2）2．（3）e．（4）．（5）1．（6）e．（7）2．（8）2．（9）e2．（10）e．

2?1

7．理解函数连续与间断的定义；知道间断点的分类；会利用连续性求极限；会判别间断点的类型．

①连续的定义：lim?y?0或limf?x??f?x0?．连续的三个条件：有定义；极限存在；极限值

?x?0x?x0等于函数值．f(x)在点x0处左连续且右连续?f(x)在点x0处连续．不连续点称为间断点．

??可去间断点：左右极限相等。?第一类间断点：左右极限都存在?②间断点：??跳跃间断点：左右极限不相等。

??第二类间断点：左右极限中至少有一个不存在：无穷与振荡间断点。③判断f(x)在点x0处连续的方法：先考查f(x)是否为基本初等函数，x0点是否为f(x)定义域内的点．如果给定函数为分段函数，且x0点又是分段点，则需利用连续的定义来判定．特别是在分段点两侧函数表达式不同的时候，函数在该点处的连续性应该用左连续、右连续判定．由于初等函数在其定义域内都是连续的，所以求函数间断点一般是考查不在函数定义域中的点，对于分段函数，则考查分段点的连续性．

④如何判断间断点：

1）考察f(x)在x0处有无定义，若f(x0)无意义，则x0为间断点；

2）如f(x0)存在，再考察limf(x)是否存在？若limf(x)不存在，则x0为间断点；

x?x0x?x0- 7 -

3）如limf(x)存在，最后考察其值是否等于f(x0)？若不等，则x0为间断点．

x?x0初等函数在没有定义的孤立点是间断点，分段函数的分段点可能是间断点，也可能是连续点，要具体判断，要用左右极限判定．

1?arctan,x?0????x?x?0是跳跃间断点； 例1-6 ①f(x)??，左极限是?，右极限是，22??,x?0??2?sinx,x?0?②f(x)??x，?limf(x)?1?f(0)?x?0是可去间断点．

x?0?0,x?0?8．了解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理、零点存在定理，会应用零点存在定理证明某些具体方程有实根．

①有界性定理：在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界．

②最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值．

③介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)?A及

f(b)?B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点?，使得f(?)?C(a???b)．

④零点存在定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)?f(b)?0）,那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点??a???b?使f(?)?0．

零点定理常常用来判定方程f(x)?0根的存在性与根的范围．

应用此定理应注意以下几点：1）[a,b]区间的选择，在证明过程中有明确的提示；2）验证f(x)在

[a,b]上的连续性；3）验证f(x)在两端的符号；4）此定理不能确定f(x)是否具有唯一零点，但有唯

一性要求时，应验证f(x)的单调性．

例1-7 证明方程e?3x至少存在一个小于1的正根．

证明：令f(x)?e?3x，它在[0，1]上为连续函数，且f(0)=1>0,f(1)=e-3<0. 由零点定理，至少存在一点ξ∈（0，1），使f(ξ)=0. 即ξ是方程e?3x的一个根，且为小于1的正根．

例1-8 设f(x)在[0，2a]上连续，且f(0)=f(2a)，证明???[0,a],使f(?)?f(a??)． 证明：设?(x)?f(a?x)?f(x)．因为f(x)在[0，2a]上连续，所以?(x)在[0，a]上连续，且

xxx?(0)?f(a)?f(0),?(a)?f(2a)?f(a)?f(0)?f(a)???(0)．

若?(0)?0,则??0或??a,结论成立．

- 8 -

若? （0）?0，则（?0）（??a）?0，由零点定理知，存在???（0,a）,使?(?)?0，即f(?)?f(a??)．综上，???[0,a],使f(?)?f(a??)． 练习1-2

1、证明：xe?2在（0，1）内有一实根． 2、证明：x?2x?x?1至少有一正根． 3、证明： x?3x?x?1至少有一正根，有一负根． 4、证明：ln(x?1)?3至少有一正根.

42x329．理解导数的定义，会根据定义求函数的导数．

①定义：y?x?x?lim0f?x0??x??f?x0?f?x0?h??f?x0??y?lim；f??x0??lim；

h?0?x?0?x?x?0h?xf??x0??limx?x0f?x??f?x0?．

x?x0xf?x?h??f?x?ax?h?axah?1xx?lim?alim?alna． 例1-9 f?x??a，f??x??limh?0h?0h?0hhh例1-10 已知f??x0??A，求limh?0f?x0?h??f?x0?h?．

h解：limh?0?f?x0?h??f?x0????f?x0?h??f?x0?? f?x0?h??f?x0?h??limh?0hh ?lim??f?x0?h??f?x0?f?x0?h??f?x0???2f??x0??2A． ??h?0h?h??x?0例1-11 已知f?0??1，limf?2x??1?4，求f??0?．

3x解： ?limx?0f?2x??1f?2x??f?0?2f?2x??f?0?2?lim?lim??f??0??4． ?f??0??6．x?0x?03x3x32x3f(x0)?f(x0?h)f[x0?(?h)]?f(x0)?lim?f?(x0)．

h?0h?0h?hf(x0?3h)?f(x0)f(x0?3h)?f(x0)?3lim?3f?(x0)． 例1-13 limh?0h?0h3h②函数在点x0处可导的充分必要条件是左导数f???x0?和右导数f???x0?都存在且相等．

例1-12 lim左导数：f???x0??lim?h?0f?x0?h??f?x0?f?x0?h??f?x0?，右导数：f???x0??lim．

h?0?hh?x2?1，x?1例1-14 讨论f?x???在点x?1处的连续性与可导性．

?2x，x?1f?x??f?1?2x?2f?x??f?1?x2?1?2???f1?lim?lim?2．?f???1??lim?lim?2解：， ?x?1?x?1?x?1x?1?x?1?x?1x?1x?1- 9 -

?f??1??2，f?x?在x?1可导，当然在x?1点连续． 注意：分段函数求导时，对于分段点一定要用导数定义来求．

③导数的几何意义：y=f(x)在x0的导数f??x0?是曲线y?f?x?在点?x0，f?x0??处的切线的斜率．

10．知道可导与连续的关系．可导必连续，反之不成立．

11．熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数求导法、对数求导法及参数方程求导法（限于一阶）．

①16个基本求导公式：

?（1）?C??0，（2）x??????x??1，（3）?sinx??cosx， （4）?cosx???sinx，

??22（5）?tanx??secx， （6）?cotx???cscx， （7）?secx??secxtanx，

???x（8）?cscx???cscxcotx，（9）a?????axlna， （10）ex????ex，

（11）?logax???11?1?， （12）?lnx??， （13）?arcsinx??，

2xxlna1?x（14）?arccosx????11?x2?，（15）?arctanx???11???arccotx??， （16）．

1?x21?x2?②求导法则：1）?u?v??u??v?，?Cu??Cu?（C是常数），?uv??u?v?uv?，

??u?v?uv??u????v2?v????1??v?0?；2）?f(x)??1． f?(y)③复合函数求导法则：设y?f?u?，而u???x?且f?u?及??x?都可导，则复合函数y?f???x??的导数为

dydydu??或y??x??f??u?????x?．如y?arctan(sin2x)． dxdudxdy． dx例1-15 y?lnsinx，求解：

dy1??sinx???cosx?cotx． ??lnsinx??dxsinxsinxdy例1-16 y?31?2x2，求．

dx1?2?dy?1?4x23?2?3??1?2x??1?2x?1?2x2?解：

dx?3?331?2x2????????2．

例1-17 y?lncose． ??，求dydxxx解：所给函数可分解为y?lnu，u?cosv，v?e．因

- 10 -

dy1dudv?，?ex，故 ??sinv，duudvdx

dy1sinexx????sinv??e???ex??extanex． xdxucose??????不写出中间变量，此例可这样写：

dy1?sinexx?x?x?xx． ?lncose?cose?e??etanexxdxcosecose??????????????????练习1-3 1、填空题

（1）设函数f(x)在x?2处可导，且f?(2)?1，则limh?0f(2?h)?f(2?h)= ．

2h（2）若f?(x0)?1,f(x0)?0，则limhf?x0?h??（3）设f?(1)?1，则lim??1??= ． h?f(x)?f(1)= ．

x?1x2?1f(2x)?f(0)1?，则f?(0)= ． （4）设limx?0x22、求下列各函数的导数

12?xcosx?x(x?1)2(x?2)3x（1）；（2）ln；（3）y?arcsinx；（4）y?sine；（5）y?；

2?xx2x?3(x?4)参考答案：

1、（1）1.（2）-1.（3）

11．（4） 2414(1?sinx)x?2cosx?2x111x2、（1）?；（2）2；（3）；（4）?2ecosex； 3x?4xx2x?x2(x?1)2(x?2)3?2311?（5）????x?1x?22(x?3)x?4?；

x?3(x?4)??④隐函数求导法：方程两边同时对x求导，用复合函数求导法则． 隐函数求导方法小结：

（1）方程两端同时对x求导数，注意把y当作复合函数求导的中间变量来看待， （2）从求导后的方程中解出y?来．

（3）隐函数求导允许其结果中含有y．但求一点的导数时不但要把x值代进去，还要把对应的y值代进去．

例1-18 求由方程e?xy?e?0所确定的隐函数y的导数

ydy． dx解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数．方程左边对x求导得

dydydye?xy?e?ey?y?x， dxdxdx??- 11 -

方程右边对求导得 ?0??0．

?dydy?y?x?0， dxdxdyyy??x?e?0． 从而 ydxx?e在这个结果中，分式中的y是由方程ey?xy?e?0所确定的隐函数．

由于等式两边对x的导数相等，所以ey??⑤对数求导法：先取自然对数，然后求导，用隐函数求导法．幂指函数y?u?x?适宜用此法．

例1-19 求y?xsinxv?x?和连乘积函数

?x?0?的导数．

解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数．为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得lny?sinx?lnx；

上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得

11y??cosx?lnx?sinx?， yx于是 y??y?cosx?lnx???sinx?sinx?sinx???x?cosx?lnx??． x?x??例1-20 求y??x?1??x?2?的导数．

?x?3??x?4?lny?1?ln?x?1??ln?x?2??ln?x?3??ln?x?4??， 2解：先在两边取对数（假定x?4），得

上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得

11?1111?y???????， y2?x?1x?2x?3x?4?于是 y??y?1111??????．

2?x?1x?2x?3x?4?当x?1时，y??1?x??2?x?；当2?x?3时，y??x?1??x?2?； ?3?x??4?x??3?x??4?x?用同样方法可得与上面相同的结果．

?dy???t??x???t???⑥参数方程求导法（限于一阶）：?．

???dx?t??y???t?例1-21 设函数y?f(x)由参数方程??x?costdy确定，求．

dx?y?sint?tcostdyyt?tsint????t． 解：

dxxt??sint- 12 -

练习1-4 求下列各函数的导数 1、y?xtanx?x；2、y?4x3exsinxx1； xdyd2y,3、求由方程x?arctany?y所确定的隐函数y的导数． dxdx2参考答案：1、y??xtanx?tanx?xxx?1?lnxx?； ??xx?x?1?lnx?lnx??2??x??cosx2、y??4x3ex1?1111?dy1d2y2(1?y2)． sin???cot?；3、?1?2,2??25x?4x1224xx?dxydxy12．熟练掌握初等函数的一阶和二阶导数的求法，会求某些简单函数的高阶导数，会求曲线上指定点的切线方程和法线方程．

①二阶导数：y????y???d2yd?dy?或???．求高阶导数就是多次接连地求导数． dx2dx?dx?1(x?x0)． f?(x0)②切线方程：y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，法线方程：y?f(x0)??13．了解微分的定义、可微与可导的关系，以及一阶微分形式的不变性；掌握微分运算与求导运算的关系；会求函数的微分．

①定义：?y?A?x?0??x?，其中A是不依赖于?x的常数，而0??x?是比?x高阶的无穷小，那么称函数y?f?x?在点x0是可微的，而A?x叫做函数y?f?x?在点x0相应于自变量增量?x的微分，记作dy，即 dy?A?x．

②可微与可导的关系：函数f?x?在点x0可微的充分必要条件是函数f?x?在点x0可导．

?③一阶微分形式的不变性：dy?y?xdx?yudu．无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微

分形式dy?f??u?du保持不变．这一性质称为微分形式不变性．

④微分运算与求导运算的关系：dy?y?dx．

xsinx⑤函数的微分的求法：dy?y?dx，如y?e,y??exsinx(sinx?xcosx),?dy??．

练习1-5 求下列函数的微分

2xx（1）y?secx?tanx；（2）y?xlnsinx；（3）y?ecos3x；（4）y?earctanx．

参考答案：

（1）dy?secx(tanx?secx)dx；（2）dy?(lnsinx?xcotx)dx；（3）dy?e(2cos3x?3sin3x)dx； （4）dy?e?arctanx?x2x??1?dx． 2?1?x?- 13 -

14．了解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理的内容．

①罗尔(Rolle)定理：如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在开区间(a,b)内可导，（3）在区间端点处的函数值相等，即

f(a)?f(b)? 那么在(a,b)内至少存在一点?(a???b) ? 使得函数

f(x)在该点的导数等于零，即f?(?)?0．

例1-22 证明方程x5?5x?1?0有且仅有一个小于1的正实根．

5证明：设f(x)?x?5x?1, 则f(x)在[0,1]上连续，且f(0)?1,f(1)??3．

由零点定理得存在设另有

x0?(0,1)使f(x0)?0，即x0为方程的小于1的正实根．

之间满足罗尔定理的条件, 所以至少存

x1?(0,1),x1?x0,使f(x1)?0．因为f(x)在x0,x1在一个?（在x0,x1之间）使得f?(?)?0．

但

f?(x)?5(x4?1)?0,(x?(0,1))，矛盾．所以x0为方程的唯一实根．

②拉格朗日(Lagrange)定理：如果函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点?(a???b)? 使得等式f(b)?f(a)?f(?)(b?a)成立．

拉格朗日中值定理可用于1）证明等式；2）证明不等式． 例1-23 证明arcsinx?arccosx?证明：设f(x)?arcsinx?arccosx,由于f?(x)?'?2(?1?x?1)．

x?[?1,1]

11?x2?(?11?x2)?0，所以f(x)?C,x?[?1,1]．

????． ?，即C?． 故arcsinx?arccosx?2222又f(0)?arcsin0?arccos0?0?例1-24 证明：当x?0时，

x?ln(1?x)?x． 1?x 证明: 设f(x)?ln(1?x), 则f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的条件．

于是

xf(x)?f(0)?f?(?)(x?0),(0???x)．又f(0)?0,f?(x)?1，于是 ln(1?x)?．

1?x1??而0???x，所以1?1???1?x, 故

11??1． 1?x1??从而

xxx?ln(1?x)?x． ??x, 即1?x1?x1??- 14 -

15．熟练掌握用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限的方法．

①洛必达(L’Hospital)法则（求

0?或型极限常用的有效方法） 0?定理 设(1)当x?a时，函数f(x)和F(x)都趋于零；(2)在a点的某去心邻域内，f?(x)和F?(x)都存在且F?(x)?0；(3) limx?af?(x)f(x)f?(x)存在(或无穷大)，则lim． ?limx?ax?aF?(x)F(x)F?(x)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则． 将x?a改为x?a?,x?a?,x??,x???,x???也有相应的洛必达法则． ②类型：

0?，（基本类型）；0??,???,00,1?,?0． 0?③使用洛必达法则时需注意以下几个问题：

1）在用洛必达法则时必须验证条件；2）如果使用洛必达法则之后，问题仍是未定型极限，且仍符合洛必达法则的条件，可以再次使用洛必达法则；3）如果“

0”型或“?”型极限中含有非零因子，该非0?零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法则运算，以简化运算；4）使用洛必达法则要注意运用一些技巧：变量替换、等价无穷小因子替换、恒等变形等．

sec2xtanx(tanx)?0?1． 例1-25 求lim．(型) 解： 原式=lim=limx?0x?0x?0x(x)?102x3?3x?26x3x?30例1-26 求lim3． (型) 解： 原式= = lim?3． lim22x?1x?x?x?1x?16x?2x?13x?2x?120?例1-27 求 lim2x????arctanx1x12x2．(0型) 解： 原式=lim1?x=lim2=1． x???1?xx???01?2x?例1-28 求 limcosbxlnsinax．(?型) 解： 原式= limacosax?sinbx= lim=1．

x?0x?0lnsinbxx?0cosaxbcosbx?sinax?tanx?xtanx?xtan2x1sec2x?11例1-29 lim2= lim= lim=lim=．

x?0xtanxx?0x?0x333x23x?0x2lnxlimx?0?1x1limx1x?0??2x例1-30

x?0?xlnxx?0?elimx?lim?ex?0?xlimxlnx?e?e?e0?1．

例1-31 若limsin6x?xf(x)6?f(x)，求． ?0limx?0x?0x3x26?f(x)6x?xf(x)6x?sin6x?sin6x?xf(x)sin6x?xf(x)6x?sin6x?lim?lim?lim?limx?0x?0x?0x?0x?0x2x3x3x3x3解：

6?6cos6x36sin6x?0?lim?lim?36.x?0x?03x26xlim- 15 -

例1-32 求I?lim?ntan?n???1??． n?x2n21x2ln(xtan)1??x解：设f(x)??xtan??e，则

x??1tanttantln(xtan)ln?111tant?t?0?x(令t?)?limt?limtlimx2ln(xtan)?lim?lim?型?x???1t?0?t?0?xx???xt?0?t2t2t3?0?

x2sec2t?11?cos2tsin2t1?lim?lim?lim?.2222t?0?t?0?3tcostt?0?3tcost3t23所以，原式I?e．

1300?取对数??1?????步骤：

?0??练习1-6 求下列极限

1x?0?ln0????ln1?0??． ?0?ln??(1?x)?eex?esinx1??1ln(1?x)2（1）lim；（2）lim；（3）lim(tan；（4）；（5） x)limxlnx；lim???xx?0x?0x?sinxx?0xx?0?x?0?xe?1??（6）lim??x(e?1)?2(e?1)11??sinx?； lnx；（7）；（8）；（9）lim(1?xlnx)limlim????x?0x?0x2x?0?x?0??xsin2xx?tan2x??xx1x??1??1ln1??cos1??x??xcosx?ln(x?2)??xx??（10）lim；（11）lim(x?e)；（12）lim(lnx)x?1；（13）lim． x2?x?0x?1x???x?2arccotxln(e?e)（14）lime?ecosx1?x2?1x?03；（15）lim(1?cosx)[x?ln(1?tanx)]．

x?0sin4x151e．（2）1．（3）1．（4）．（5）0．（6）．（7）1．（8）（9）1．（10）1．

266231（11）e2．（12）1．（13）cos2．（14）e．（15）．

24参考答案：（1）?16．知道极值的定义、极值存在的必要条件及两个充分条件．

①极值的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域U(x0)内有定义，如果对于去心邻域U(x0)内的任意x，都有f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)），则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）．

②极值存在的必要条件：设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0处的导数为零，即f?(x0)?0．可导函数的极值点?驻点．

- 16 -

?

③极值的第一充分条件：设函数f(x)在点x0处连续，在x0的某去心邻域U(x0,?)内可导． 当x在x0的邻近渐增地经过x0时，如果f?(x)的符号由正变负，那么f(x)在x0处取得极大值；如果f?(x)的符号由负变正，那么f(x)在x0处取得极小值；如果f?(x)的符号并不改变，那么f(x)在x0处没有极值．

④极值的第二充分条件：设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f?(x0)?0， f??(x0)?0．那么 (1)当f??(x0)?0时，函数f(x)在x0处取得极大值；(2)当f??(x0)?0时，函数f(x)在x0处取得极小值．

?17．会求函数的单调区间和极值；会求闭区间上连续函数的最大值与最小值；会求一些简单应用问题的最值，会应用单调性证明不等式．

①求函数的单调区间和极值：求定义域、求驻点或不可导点、列表、得结论． 例1-33 求函数f(x)?(x?4)3(x?1)2的极值．

解 显然函数f(x)在(??,??)内连续，除x??1外处处可导，且f?(x)?驻点x?1；x??1为f(x)的不可导点． 列表判断：

5(x?1))?0得．令f?(x33x?1x f'(x) f(x) (??,?1) ? ↗ ?1 不可导 0 3(?1,1) ? ↘ 1 0 ?334 (1,??) ? ↗ 所以极大值为f(?1)?0? 极小值为f(1)??34．

例1-34 求出函数 f(x)?x?3x?24x?20的极值．

2解 f?(x)?3x?6x?24?3(x?4)(x?2)．

32M令f?(x)?0得驻点x1??4,x2?2，由于f??(x)?6x?6，

m由于f??(?4)??18?0，所以极大值f(?4)?60； 而f??(2)?18?0，所以极小值f(2)??48．如图所示．

②求最值：求驻点和不可导点、求端点和驻点及不可导点的函数值、比较大小得结论． ③最值应用题：(1)建立目标函数； (2)由实际问题求最值.

例1-35 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就多一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房

- 17 -

租定为多少时可获得最大收入？最大收入是多少？

解：设房租为每月x元，则租出去的房子有?50???x?180??套． 10?每月总收入为R(x)?(x?20)?50???x?180??， 10?xx?x????1?R(x)?(x?20)?68??，R?(x)??68???(x?20)????70?．

510?10????10?． R?(x)?0?x?350 （唯一驻点）

故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为R(x)?(350?20)?68?④证明不等式：设函数、求导及判断符号、利用单调性得结论． 例1-36 证明：当x?1时? 2x?3?证明：令f(x)?2x??3???350???10890(元)． 10?1． x??1111??，则f(x)???(xx?1)． ?22xx?xx因为当x?1时f?(x)?0，因此f(x)在?1,???上单调增加，从而当x?1时? f(x)?f(1)．又由于

1?1?f(1)?0，故f(x)?f(1)?0，即2x??3???0，也就是2x?3? (x?1)．

xx??2例1-37 证明：当0?x?2时? 4xlnx?x?2x?4?0．

2x)?4nlx2?x2,(?F)x0? 证明：令F(x)?4xlnx?x?2x?4，则F?(?有且仅有一个根x?1，

F??(x)?4?2?0(0?x?2)．所以F(x)在x?1取极小值，即有F(1)?1， x2F(0)?lim(4xlnx?x?2x?4)?4，F(2)?8ln2?4?0． ?x?0所以当0?x?2时? F(x)min?0．因此F(x)?4xlnx?x2?2x?4?F(x)min?0(0?x?2)．

2故当0?x?2时? 4xlnx?x?2x?4?0．

练习1-7

1?x． 1?xarctanx2、当0?x时，试证：ln(1?x)?．

1?x?2x1、当0?x?1时，试证：e?23、当x?2时，试证：3x?x?2．

- 18 -

4、当0?x??时，试证：sinxx?． 2?5、讨论y?3x4?8x3?6x2?5、y?(x?1)3x2的单调性与极值．

6、欲围一个面积为150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元．问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用材料费最少？（长10米、宽15米）

18．了解函数的凹凸性及拐点的定义，会求函数的凹凸区间及拐点．

①凹凸性的定义：设f(x)在区间I上连续? 如果对I上任意两点x1,x2，恒有

f(f(x1?x2f(x1)?f(x2)? ?那么称

)?22x1?x2f(x1)?f(x2)? 那么称

)?22f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)．?

②凹凸性的判定：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数．那么 (1)若在(a,b)内

f??(x)?0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；(2)若在(a,b)内f??(x)?0?，则f(x)在[a,b]上的图形

是凸的．

③拐点：连续曲线y?f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点．?

拐点的必要条件：设函数f(x)二阶可导，若点(x0,f(x0))为曲线拐点，则f??(x0)?0．?拐点的充分条件：设f??(x0)?0，且f??(x)在x0点的某邻域内存在．若经过点x0时f??(x)变号，则点(x0,f(x0))为曲线y?f(x)的拐点；若f??(x)过点x0时不变号，则点(x0,f(x0))不是曲线的拐点．

④求曲线y?f(x)的凹凸区间和拐点的步骤：

(1)确定函数y?f(x)的定义域；(2)求出二阶导数f??(x)；(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点；(4)判断或列表判断，确定出曲线凹凸区间和拐点．

例1-38 求曲线y?3x4?4x3?1的拐点及凹、凸区间．

解：(1)函数y?3x?4x?1的定义域为(??,??)； (2) y??12x?12x，

4332y???36x2?24x?36x(x?2)； (3)解方程y???0? 得x1?0? x2?2；(4)列表判断：

33

- 19 -

x (??? 0) 0 (0? 2/3) 2/3 (2/3? ??) f ??(x) ? 0 ? 0 ? f(x) ? 1 ? 11/27 ?

在区间???,0?和?,???上曲线是凹的，在区间?0,?上曲线是凸的；点(0,1)和?,?都是

33327曲线的拐点．?

例1-39 求证：方程x?p?qcosx?0恰有一个实根，其中p,q为常数，且0?q?1． 证明：令f(x)?x?p?qcosx，由于limf(x)?lim(x?p?qcosx)???，则存在b?0，

x???x????2????2????211???使f(b)?0．又limf(x)?lim(x?p?qcosx)???，则存在a?0，使f(a)?0．

x???x???由于f(x)?x?p?qcosx在[a,b]上连续，由零点定理可知f(x)?0在(a,b)内至少有一实根． 而f?(x)?1?qsinx?0，故f(x)在(??,??)上严格单调增加．所以方程f(x)?0在(??,??)内最多有一个实根．综上所述方程x?p?qcosx?0恰有一个实根． 例1-40 设f(x)在[a,b]上可导，且f?(x)?M,f(a)?0，证明

?baf(x)dx?M(b?a)2． 2证明：由题设对?x?[a,b]，可知f(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理，于是又

f(x)?f(x)?f(a)?f?(?)(x?a),??(a,x)

因为f?(x)?M，所以f(x)?M(x?a)．由定积分的性质有

? ?

练习????

baf(x)dx??M(x?a)dx?abM(b?a)2． 21、求函数y?x3?3x2?1的单调区间、极值及曲线的凹凸区间和拐点．

2、已知曲线y?ax3?bx2?cx上点（1，2）处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求a，b，

c的值，并写出此曲线的方程． （y??x3?3x）?

???

- 20 -

第二章 一元函数积分学

1．了解不定积分和定积分的概念和性质．

①原函数和不定积分：设f(x)是定义在某区间I上的函数．如果存在函数F(x)，使得对任一

x?I，都有F?(x)?f(x) 或 dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)在区间I 上的原函数．

原函数存在定理：若函数f(x)在某区间上连续，则函数f(x)在该区间上的原函数一定存在． 定义 如果F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)的带有任意常数项的原函数，称为

f(x)在区间I上的不定积分，记为?f(x)dx．即?f(x)dx?F(x)?C，（C为任意常数）．

②不定积分的性质：1）dd?f(x)dx?f(x)dx；F?(x)dx?F(x)?C；f(x)dx?f(x)； 2）3）??dx4）dF(x)?F(x)?C；5）[f(x)?g(x)]dx?③定积分：

?? ?f(x)dx??g(x)dx；6）?kf(x)dx?k?f(x)dx．

?baf(x)dx=I=lim?f(?i)?xi；分割、代替、求和、取极限．

??0i?1n1） 定积分是一个数值，只与f(x)和积分区间有关，与积分变量用什么字母无关； 2） 当f(x)?0时,?baf(x)dx表示曲边梯形的面积；

3） 可积→有界，连续→可积．

④定积分的性质： 1）2）

?[f(x)?g(x)]dx??abbaf(x)dx??ba（有限个函数的代数和的积分等于积分的代数和） g(x)dx；

?bakf(x)dx?k?ba（性质1）2）称为积分的线性性） f(x)dx；

3）可加性：如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设a?c?b，则

?baf(x)dx??caf(x)dx??bcf(x)dx；

4）非负性：如果在区间[a,b]上f(x)?0，则5）

?baf(x)dx?0(a?b)；

?baf(x)dx??baf(x)dx；

6）估值定理：设M与m分别是函数f(x)在[a,b]上的最大值及最小值，则

m(b?a)??ba； f(x)dx?M(b?a)（a

7）中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点?，使下式成立：

- 21 -

?baf(x)dx?f(?)(b?a) （a???b）

2．熟练掌握不定积分的基本公式．

x??11) ?kdx?kx?C(k为常数)； 2) ?xdx??C(???1)；

??1?3) 5)

dxdx?ln|x|?C； 4) ?x?1?x2?arctanx?C；

??dx1?x2?arcsinx?C； 6）?cosxdx?sinx?C；

dx2?sec?cos2x?xdx?tanx?C；

7）sinxdx??cosx?C； 8）9）

dx2?sin2x??cscxdx??cotx?C；10）?secxtanxdx?secx?C；

xx11）cscxcotxdx??cscx?C； 12）edx?e?C；

??ax?C； 14）?shxdx?chx?C； 13）?adx?lnax15）chxdx?shx?C 16）tanxdx??lncosx?C； 17）cotxdx?lnsinx?C； 18）secxdx?lnsecx?tanx?C； 19）cscxdx?lncscx?cotx?C； 20）

?????dx1x?arctan?C(a?0)； ?a2?x2aa21）

dxxdx1x?a； 22）?arcsin?C(a?0)； ?ln?C(a?0)?a2?x2?x2?a22ax?aa23）

?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C(a?0)；24）?dxx2?a2 ?ln(x?x2?a2)?C(a?0)．

对上基本积分表中的前13个公式必须熟记．

3．熟练掌握不定积分的第一换元积分法和分部积分法．

①直接积分法：就是可以直接按基本积分公式得出结果，或者只需对被积函数进行简单的恒等变形（三角恒等变形或代数运算，如：拆分或加一项减一项）并利用基本积分性质就可求出结果．

1?x?x2(1?x2)?x11例2-1 ?dx?dx?dx?dx?ln|x|?arctanx?C． 222???x(1?x)x(1?x)x1?x例2-2 求sinx?2dx．

1?cosx1112xdx??dx??dx??cosxdx?(x?sinx)?C． 解：?sin22222②第一换元积分法（凑微分法）：?f[?(x)]??(x)dx?[?f(u)du]．

2u??(x)- 22 -

例2-3

111111?dx?(3?2x)dx?d(3?2x)?ln|3?2x|?C． ?3?2x2?3?2x2?3?2x2例2-4

11x?1dx1?dx?d(x?1)?arctan?C． ?x2?2x?3?x2?2x?1?2?(x?1)2?(2)222dx?sin2x?2sinx．

例2-5 求

解：

dxdxdx ???sin2x?2sinx?2sinx(1?cosx)?x3x??xx8sincos4tancos22222??1?tan2x2dtanx?1lntanx?1tan2x?C． x242824tan2dx?sin2xcosx．

dtanx2例2-6 求

dxdcosxsin2x?cos2x1dcosx1dcosx?????????解：? 222222??sin2xcosx2sinxcosx2sinxcosx2cosx21?cosx ?111?coxs??C．

2cosx41?cosxlntanx?sin2xdx．

例2-7 求

解：

lntanxlntanx1lntanx11 dx?dx?dtanx?lntanxdlntanx?(lntanx)2?C．?sin2x?sinx2??2tanx242cosxcosx③分部积分法：udv?uv?vdu．

??例2-8

?xcosxdx??xdsinx?xsinx??sinxdx?xsinx?cosx?C． ?例2-9 求xarctanxdx．

2?2?1?21x122??xarctanx?xdarctanx?xarctanx?dx解：原式??arctanxdx? 2???2?2?1?x2?? ?1?21?12xarctanx?(1?)dx??2??xarctanx?x?arctanx???C． ?2?1?x2??例2-10 求e?sinxxcos3x?sinxdx． 2cosx解：e?sinxxcos3x?sinx1esinx1sinxsinxsinxsinxsinxdx?xde?ed?xe?edx??ecosxdx 2????cosxcosxcosxcosx- 23 -

1?sinx???x??e?C．

cosx??例2-11 求

?dx(a?x?b)．

(x?a)(b?x)解1：

?dx1x?a?x?a?1?t22(b?a)t??dx?令t???tdt?2arctant?C ?222???x?ab?x?b?x?(b?a)t(1?t)(x?a)(b?x)x?a?2arctan?C．

b?x解2：原式??dx?x?(a?b)x?ab2??a?bdx2?C． ?arcsinx22b?aa?b??b?a??????x??22??2??x?4．掌握不定积分的第二换元法（限于三角代换法、简单根式代换法）．

第二换元积分法：设x??(t)单调可导，且??(t)?0．若

?f[?(t)]??(t)dt?F(t)?C，则

?f[?(t)]??(t)dt?F(??1(x))?C，其中t???1(x)表示反函数．

①三角代换：三种三角代换，即x?asint或x?acost，x?atant与x?asect，分别适用于

三类函数f(a2?x2)，f(x2?a2)与f(x2?a2)．“倒代换”x?也属于第二类换元法．

例2-12 求

1t?a2?x2dx(a?0)．

解：令 x?asint，??2?t??2，则a2?x2?acost，dx?acostdt，因此有

?a2?x2dx??acotsacotdts?a2?co2stdt?a2?1?co2stdt2

a2a2a2a2t?sin2t?C?t?sintcots?C ?2422a2xa2x?arcsin?2a2a②简单根式代换： 例2-13 求

6a2?x2a2x1?C?arcsin?xa2?x2?C.a2a2?(1?dx3x)x5．

解：x?t，得 dx?6tdt．

dx6t5dtt2166??6dt?6(1?)dt?6(t?arctant)?C?6(x?arctanx)?C． 2322?(1?3x)x?(1?t)t?1?t?1?t

- 24 -

练习2-1 计算下列不定积分 （1）

1dxx11?xdxdx；（2）；（3）；（4）；（5） dxdx?x4?1?sin4xcos2x?x?x?1?ex?1；?xx（6）

?xdx2x212arctanxdx；；（7）?sinxdx；（8）?2（9）?（10）?xlnxdx； dx；

222x?14?xx1?x?dx1?x?dx2ln1?dx（11）??，(x?0)；（12）?；（13）?(arcsinx)dx；（14）?； ?42??xsinxcosxxe?1??（15）e?sinxxcos3x?sinx4xln(1?x)dx． dx；（16）2?cosx5325221x?11参考答案：（1）ln（2）x2?(x?1)2?(x?1)2?C； ?arctanx?C；

5534x?12?1?x?131?x（3）tanx?2cotx?cotx?C；（4）?2； ?lnx??1????C3xx??4?x2（5）2ln(e?1?1)?x?C；（6）?（7）?2xcosx?2sinx?C； ?C；

4xx211x3lnxx31?x222??C； （8）xarctanx?ln(1?x)?(arctanx)?C；（9）?（10）?C；

2239x?1?x?11?ln(1?x?x)?x(1?x?x)?C（11）xln?1?；（12）2ln(ex?1?1)?x?C； ???2x2??（13）x(arcsinx)2?21?x2arcsinx?2x?C；（14）tanx?2cotx?cotx?C； （15）esinx133x2ln(1?x4)?x2?arctanx2?C． （16）(x?secx)?C；

25．知道变上限定积分定义的函数并会求它的导数．

①设f(x)在[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上任一点，则?(x)?②如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数?(x)??xaf(t)dt称为积分上限函数．

?xaf(t)dt在[a,b]上具有导数，并且

它的导数是

dx??(x)??f(t)dt?f(x)（a?x?b）．

dxa?f(t)dt?f(?(x))???(x)，

公式：

???(x)a????(x)?(x)?f(t)dt?f(?(x))???(x)?f(?(x))???(x)．

?③求复合变上限积分函数的导数：看被积函数中是否含有x，如果为

?x0xf(t)dt，应该将x提到积

- 25 -

分号之外再求导；如果为

?x0f(t?x)dt可以先进行变量替换，如u?t?x，换为?f(t?x)dt?

0x?2xxf(u)du，使得被积函数中不再含有x，这时再求导；如果是复合变上限积分函数，先找到中间变

量，再按照复合函数求导数的方法进行．

6．熟练掌握牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，并会用换元积分法和分部积分法计算定积分．

①牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

?baf(x)dx?[F(x)]ba=F(b)?F(a)．

②换元积分法：

??baf(x)dx???f??(t)???(t)dt．换元必换限．

?1?例2-14

?20cos5xsinxdx．

?0?t6?1552cos5xsinxdx?2cos5xdcosx??tdt?解：设t?cosx，则?=?==． tdt???1?000?6?061例2-15

?4x?22x?10dx．

t2?1解：设t?2x?1，则x?．x?0时t?1；x?4时t?3．

2t2?13?2333??1t221x?2tdt=??t2?3?dt=??3t??dx=?2．

11t22?332x?1?1故

?40 例2-16

?3dx(x?1)41?2x?2x22．

解：因为x?2x?(x?1)?1,?令x?1?sect,dx?tantsectdt,t:2?4??3．

??3dx(x?1)41?2??secttant3233???3dt?costdt?(1?sint)dsint??4??2x?2x4secttant44??13?335???sint?sint??3?2.?3812??4

③分部积分法：

?baudv?[uv]ba??vdu．准备、代公式、整理三步．

ab④计算定积分时常用到如下性质：

- 26 -

设f(x)为[?a,a]上的连续函数(a?0)，则

?a?af(x)为奇函数?0,?f(x)xdx??a．

2f(x)xdx，f(x)为偶函数???0例2-17

?120arcsixndx．

解：设u=arcsinx,v?x,则

?120arcsinxdx=?xarcsinx???例2-18 计算

12120111xdx=arcsin+

2221?x21?12011?x2d(1?x2)=

?12?3?1． 2?e011xdx．

解：设x?t，则

?10exdx=?etdt2=2?tetdt=2?tdet=2tet00011??10?2?0etdt=2e?2(e?1)=2．

12?3?1?x,x?0 例2-19 设f(x)???x，求I??f(x?2)dx．

1??e,x?0解：令x?2?t，则

I??31?1?f(x?2)dx??f(t)dt??(1?t2)dt??e?tdt??t?t3??e?t?1?10?3??1101010?7?1?e． 3?例2-20 对任意实数?，求I?解：令x???201dx．

1?tan?x?2?t，则

????111tanx222I??2dx?dt?dx?dx???0??01?tan?x00?1?cotx1?tanx1?tan?(?t)2

?????1tanx??2?2I??2??dx?dx??I?.????0024?1?tanx1?tanx?计算定积分时应注意以下几点： （1）对于

?a?af(x)dx，首先要考查f(x)的奇偶性；

（2）定积分的被积函数中含有绝对值符号时，计算的一般原则是将积分区间分为几个子区间，使取绝对值的函数在每个子区间内保持同号，从而可以消除绝对值符号；

（3）定积分的被积函数中含有开偶次方根时，要注意开方的结果应带有绝对值，化为上述情形（2）处理；

（4）定积分的被积函数为分段函数时，应按函数的不同表达式将积分区间分为若干个子区间，在

- 27 -

每个子区间上被积函数仅有一个表达式．

例2-21 计算

x?x??22?x2dx．

222222xx?xxxx22dx??dx??dx?0?2?dx??dx?ln(2?x)?ln3． 解：?0?22?x2?22?x2?22?x202?x202?x22练习2-2 计算下列定积分 （1）

?30?12asinxcosxx2?a2dx2x2dx； ；（2）?；（3）；（4）xedxdx(a?0)4??01?cos2x0ax(1?x)x（5）

??ln20（6）?x?2dx；（7）lim?esinnxdx；（8）?e?1dx；

1x31?xln5n??00exex?1dx；

ex?3?（9）

40e(tanx?1)dx；（10）?x(1?x)dx．

02x21342参考答案：（1）

123????．（2）2．（3）e?2．（4）ln2．（5）2?1??．（6）1．（7）0．

238a?4??2（8）4??．（9）e．（10）

3?． 327．掌握定积分的微元法，会求直角坐标系下的平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转的旋转体的体积．

①微元法：把有限区间[a,b]无限分割，记小区间为[x,x?dx]，其长为dx，量P在小区间对应的量为dP，先求出dP?f(x)dx，再无限累加，即P??badP??f(x)dx．

ab②平面图形的面积：由曲线y?f(x)与y?g(x) 及直线x?a,x?b(a?b)所围成的平面图形的面积A??baf(x)?g(x)dx．

例2-22 求抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积．

12y2y3y)dy?(?4y?)?18． 解：A??(y?4??2226?244 例2-23 求心脏线r?a(1?cos?)(a?0)所围成的图形的面积．

解： 由于心脏线关于极轴对称，

21222?2??24?24A?2?a(1?cos?)d??a??2cos?d??4a?cosd?令??t8acostdt ?222?200?00??2??

- 28 -

?8a2(4?1)!!?32??a?． 4!!22③平面图形绕坐标轴旋转的旋转体的体积： 1）绕x轴旋转：V??2）绕y轴旋转：V???[f(x)]dx，V???[faab2b2(x)?g2(x)]dx(f(x)?g(x))；

?dc[f(y)]2dy，V???[f2(y)?g2(y)]dy(f(y)?g(y))．

cd例2-24 求抛物线y?x2和y?1x所围成图形绕y轴旋转所得旋转体的体积．

1322225?????． 解：V???(y)?(y)dy???y2?y5???00?10例2-25 求由曲线y?的立体的体积．

r?x及直线x?0，x?h(h?0)和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而生成h解：取x为积分变量，则x?[0,h]

2??r2?r?V????x?dx?2hh??0 练习2-3

hh2x?dx?0?3r2h． 21、求抛物线y?x?1与直线x??2及y?0所围成的封闭平面图形的面积． （答案：

8） 32、求由曲线y?sinx,y?cosx与直线x?0,x??所围成的平面图形的面积． （答案：22） 3、求曲线y?x?3x?2在x轴上介于两个极值点间曲边梯形的面积． （答案：4） 4、求抛物线y?2x与该曲线在点?,1?处的法线所围成平面图形的面积． （答案：

23?1??2?16） 35、求曲线y?sinx,y?cosx?0?x??????与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体体积． 4?6、求曲线y?lnx,x?e与y?0所围成的封闭平面图形绕x、y轴旋转所得两个旋转体的体积． （参考答案：5、

- 29 -

??2． 6、Vx??(e?2),Vy?(e?1)．） 22

第三章 多元函数微积分学

1．理解二元函数的概念，会求一些简单二元函数的定义域．

①二元函数：设D是平面上的一个点集．称映射f:D?R为定义在D上的二元函数，通常记为 ． z?f(x,y)，(x,y)?D（或z?f(P)，P?D）

②定义域：使式子z?f(x,y)有意义的(x,y)的取值范围，亦即自然定义域．

③二元函数定义域的求法：求二元函数定义域与一元函数类似，需要遵循以下几个原则： 1）分式的分母不能为0；2）开偶次方根号下的表达式必须大于或等于0；3）对数的真数部分必须大于0；4）arcsin(f(x,y)),arccos(f(x,y))中的f(x,y)?1；5）求复合函数定义域时，宜于由外层到里层进行；6）求多个函数进行四则运算所得的新函数的定义域时，要先分别求每个函数的定义域，再求这些定义域的交集．

例3-1 ①函数z?ln(x?y)的定义域为{(x,y)x?y?0}；

22②函数z?arcsin(x2?y2)的定义域为{(x,y)x?y?1}．

222222③函数z?1?x?y?ln(y?2x?1)的定义域为{(x,y)x?y?1,y?1?2x}．

练习3-1 求下列函数的定义域 ①z?xy111ln(x?y)；②z?arcsin?arccos；③z?；④z?ln(x2?y?1)； ?23x?1xy⑤z?x?y?1；⑥z??R2?x2?y2?1x?y?r222(R?r)．

参考答案：①{(x,y)x?1?0,x?y?0}；②{(x,y)?2?x?2,?3?y?3}；③{(x,y)x?0,y?0}；

22222④{(x,y)y?x?1}；⑤{(x,y)r?x?y?R}．

2．熟练掌握显函数的一阶、二阶偏导数的求法．

①一阶偏导数的求法：设z?f(x,y)，则求作常数，利用一元函数求导法只对x求导即可．

例3-2 ①求z?xsin2y的偏导数．

2?z?f?，, z?x或fx(x,y)时只需将f(x,y)中的y看

?x?x?z?z?2xsin2y, ?2x2cos2y． ?x?y?z?z?zy2?z2xy ②设z?tan(xy),求,．． ?,?2222?x?y?xcos(xy)?ycos(xy)2- 30 -

③设z?ln?x???y??z?z．,求?1． ?2x??x(1,0)?x(1,0)?2z???z??2z???z?????(x,y)； ②二阶偏导数：2?； ?f(x,y)?xx?????fxy?x?x??x??x?y?y??x????z??2z???z??2z??(x,y)； ??(x,y)． ????=?y?x?fyx??y??=?y2?fyy?x??y?y?????z?2z???z????fx?(x,y)中的y看作常数，与求一求二阶偏导数2?时将偏导数函数?f(x,y)xx???x?x?x??x?阶偏导数的方法相同，求其它偏导数的方法与此相同．

?z?2z?2z22?y?3xy，所以例3-3 ①设z?xy?xy，求．因为?2y?3x2． ?x?x?y?x?y23?2z ②设z?x，求

?x?yy?2z?2zy?1?x(1?ylnx)，所以x?2．因为

?x?y?x?yy?3x?2y?3?4(1?3ln2)．

练习3-2

1、求下列函数的一阶偏导数： ①z?ex2?y；②z?arctany；③z?ln(lnx?lny)． x2、求下列函数的二阶偏导数：

?2z22①设z?xye，求；②z?sinxy；③z?ln(x?xy?y)．

?x?yxy3、设z?(x?e)，求参考答案：1、①2xex2yx?z?x(1,0)．

?y,ex?y；②?2yx11,,；③．

x2?y2x2?y2x(lnx?lny)y(lnx?lny)2、①exy(1?3xy?x2y2)；②?y2sinxy,cosxy?xysinxy,?x2sinxy；

?2x2?2xy?y2x2?4xy?y2x2?2xy?2y2③． 3、2ln2?1． ,?2,22222222(x?xy?y)(x?xy?y)(x?xy?y)3．熟练掌握二元函数全微分的求法．

欲求dz，只需先求

?z?z?z?zdx+dy．如果求函数在某一点P(x0,y0)的全微分和，则dz=

?x?y?x?y?z?zdx+dy，再将x0,y0代入dz中即得． ?x?y- 31 -

dzx?x0y?y0，只需先求出dz=

例3-4 设z?ln(x2?y2)，求dz． 解 因为

?z?z2x?z2y?z2dzdxdy?2?(xdx?ydy)． ，，所以=+=

?x?xx?y2?yx2?y2x2?y2?y练习3-3 求下列各函数的全微分dz ①z?exy(x2?y2)；②z?arcsin2y；③z?xe?xy?sin(xy)；④z?ln(3x?2y?3)． x参考答案：①dz?exy(x?y2)[(3x2y?y3)dx?(3y2x?x3)dy]；②dz?1xx?y22(?ydx?xdy)；

③dz?[e?xy(1?xy)?ycos(xy)]dx?[?x2e?xy?xcos(xy)]dy；④dz?1(3dx?2dy)．

3x?2y?34．熟练掌握用直角坐标计算二重积分的方法．

①D：a?x?b,c?y?d，

??Df(x,y)d???dx?f(x,y)dy??dy?f(x,y)dx．

accabddd②D：a?x?b,?1(x)?y??2(x)，

??f(x,y)d???Dbadx?d?2(x)?1(x)f(x,y)dy． f(x,y)dx．

③D：c?y?d,?1(y)?x??2(y)，

??Df(x,y)d???dy?c?2(y)?1(y)计算时，首先要画积分区域D，根据D的形状及被积函数的形式，选择直角坐标或极坐标，然后结合图形用不等式组表示积分区域D，根据不等式组确定累次积分的积分限，最后代入公式转化为计算两个定积分．

④交换积分次序：对于给定的积分次序，例如

?badx??2(x)?1(x) f(x,y)dy，交换积分次序的一般步骤是：

（1）按照给定积分次序确定积分区域D，并画出D的草图； （2）根据D的图形确定交换次序以后的积分上、下限． 例3-5 计算

22，其中D由抛物线与直线y?x所围成的平面图形． y?xxydxdy??D解：积分区域D:0?x?1,x?y?x． 所以??xydxdy??dx?2xydy??xy0x0322D1x13111415178??dx?(x?x)dx?x5?x8??040． x23?03?x2⑤二重积分化二次积分时应注意的问题 （1）积分区域的形状

两类积分区域的形状具有一个共同点:对于X型(或Y型)区域, 用平行于y轴(x轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点．如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化

归为X型(或Y型)区域的并集． （2）积分限的确定

- 32 -

二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键．这里介绍配置二次积分限的方法--几何法． 画出积分区域D的图形(假设的图形如下 )

在?a,b?上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D的边界有两个交点?x,?1(x)?与?x,?2(x)?,这里的?1(x)、又因x?2(x)就是将x看作常数而对y积分时的下限和上限；是在区间?a,b?上任意取的,所以再将x看作变量而对x积分时,积分的下限为a、上限为b．

例3-6 计算

2D, 其中是由抛物线y?x及直线y?x?2所围成的区域． xyd???D解：积分区域可用下列不等式表示D:?1?y?2,y2?x?y?2．

??xyd???D2?1dy?2yy?2y?212452?251??． xydx??xy2dy???y(y?2)?ydy????y?1?2?12825．会用极坐标计算二重积分．

①各变量之间的关系：

??f(x,y)dxdyDx?rcos?y?rsin?dxdy?rdrd???f(rcos?,rsin?)rdrd?D

②积分区域D可表示成如右图所示形式， D:?????,?1(?)?r??2(?)．其中函数?1???,?2???在??,??上连续．

则

??Df(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D??2(?)??1(?)f(rcos?,rsin?)rdr．

③积分区域D:?????,0?r??(?)．显然,这只是②的特殊形式?1????0． ( 即极点在积分区域的边界上 )． 故

??Df(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd???d??D??(?)?0f(rcos?,rsin?)rdr．

④积分区域D为下图形式

- 33 -

显然,这类区域又是上情形的一种变形( 极点包围在积分区域D的内部 ),D可剖分成D1与D2,而

D1:0????,0?r??(?)，D2:????2?,0?r??(?)．

故D:0???2?,0?r??(?)． 则

??f(x,y)d????f(rcos?,rsin?)rdrd???DD2?0d???(?)0f(rcos?,rsin?)rdr．

由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D用极坐标变量r,?表示成如下形式：?????,?1(?)?r??2(?)． ⑤使用极坐标变换计算二重积分的原则

(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；

22?(2) 被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含(x?y), ?为实数 )．

例3-7 计算I??a0dx??a?a2?x222dyx?y?4a?(x?y)222?x(a?0)． 解：此积分区域为D:0?x?a,?x?y??a?a2?x2．区域的简图为 该区域在极坐标下的表示形式为D:? ?4???0,0?r??2asin?．

0?2asin?I???Drdrd?r4a?r22???d???40?2asin?0r??????arcsin??2a?04a2?r24?drd??????d???40?232．

练习3-4 1、计算2、计算3、计算

222，其中D由抛物线与所围成的区域． y?xx?y(x?y)dxdy??D22，其中D由抛物线与y?1?xy?x?1所围成的区域． (x?y)dxdy??D??yeD2xydxdy，其中D为x?0,y?x,y?1所围成的区域．

f(x,y)dy的积分次序．

- 34 -

4、交换

?120dx?1?xx

5、交换

?10dy?f(x,y)dx??dy?01y22?y0f(x,y)dx的积分次序．

6、计算二重积分7、计算累次积分8、计算二重积分9、计算二重积分

22D?{(x,y)(x?1)?(y?1)?2,y?x}． ，其中(x?y)dxdy??D?104dy?11?xdx． 3y1??Dy?xdxdy，其中D?{(x,y)x2?y2?1}． xdxdy，其中D?{(x,y)x2?y2?x}．

??D1?x2?y22210、计算二重积分??，其中D为x?y?1在第一象限的部分． dxdy221?x?yD112?xy11?y33e2参考答案：1、；2、0；3、?1；4、5、 ?0dx?xf(x,y)dy；?0dy?0f(x,y)dx??12dy?0f(x,y)dx；14026、?

81842??1?；7、；8、；9、；10、?ln2??． 361532?2?第四章 微分方程

1．理解微分方程的定义及阶、解、通解等概念．

①定义：一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程．未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程．

②微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶． ③微分方程的解：设函数y??(x)在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，

F[x,?(x),?'(x),?,??n?(x)]?0,那么函数y??(x)就叫做微分方程F(x,y,y?,?,y(n))?0在区间I上的解．

④微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．

⑤特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解．

⑥微分方程的初始条件（初值问题）：设微分方程中的未知函数为y?y(x)，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是x?x0时，y?y0，或写成 y|x?x0?y0．其中x0，y0都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：x?x0时，y?y0，y'?y'0或写

- 35 -

成 y|x?x0?y0，y'|x?x0?y'0其中x0，y0和y'0都是给定的值．上述条件叫做初始条件．求微分方程y??f(x,y)满足初始条件y|x?x0?y0的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题．

2．熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程及一阶线性微分方程的解法．

①可分离变量的微分方程：1）标准形式：g(y)dy?f(x)dx；2）解法：先分离变量，然后两边同时积分得通解．

例4-1

dydy?2xy，分离变量后得?2xdx，两端积分 dxy2dy2?y??2xdx,得lny?x?C1,

从而 y??ex?C1??eC1ex，所以通解为y?Cex．

dxdx2?ydy??y?2arctanx?C． 22??1?x1?x22例4-2 (1?x)yy??1?ydy?例4-3 xydx?(4?x)dy?0?2dyxdxdyxdx??????y?Cex(x?4)4． yx?4yx?4②齐次微分方程：1）标准形式：

?x?dy?y?dx?f??或?f??； dx?x?dy?y?2）解法：令u?ydydudu,即y?ux,求导得?u?x,代入得x?f(u)?u,最后再积分即得通解． xdxdxdx例4-4 解方程xy??y(1?lny?lnx)．

dyyyydydudu?(1?ln)，令u=，则 ?x?u，于是x?u?u(1?lnu) dxxxxdxdxdxdudx?分离变量 两端积分得 lnlnu?lnx?lnC． ulnuxlnu?Cx即u?eCx．故方程通解为 y?xeCx．

解 原式可化为例4-5 解方程xdy?y?x2?y2(x?0) 通解为y?xsin(lnCx)． dx?xy例4-6 解方程(1?e)ydx?(x?y)dy 通解为x?yexy?C．

③一阶线性微分方程

1）标准形式：y??P(x)y?Q(x)或x??P(y)x?Q(y)．

?P(x)dxP(x)dx?P(y)dyP(y)dy2）解法：ⅰ）公式法y?e?(Q(x)e?dx?C)或x?e?(Q(y)e?dy?C)；

??ⅱ）常数变意法 略．

2y?(x?1)2． 例4-7 解方程y??x?15- 36 -

?P(x)dxP(x)dx2解：用y?e?(Q(x)e?dx?C)得到方程的通解，其中，P(x)???x?1，

2Q(x)?(x?1)．代入通解公式可得方程通解y?(x?1)[(x?1)2?C]．

32523例4-8 设连续函数f(x)满足

?x0f(u)du?f(x)?x，求f(x)．

解：在原方程两边对x求导得f(x)?f?(x)?1．记y?f(x)，则有y?y??1． 又由于f(x)??x0f(u)du?x，若x?0，则有f(0)?0，即y??x?0?0．

?(?1)dx??(?1)dxdx?C??Cex?1． 1?e由一阶线性微分方程的通解公式得y?e????将初始条件yx?0?0代入可得C?1．所以原方程的解为y?ex?1，即f(x)?ex?1．

3．了解二阶常系数齐次线性微分方程解的性质及通解的结构．略． 4．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法．

①标准形式：y''?py'?qy?0，其中p,q为常数． ②解法：1）写出上微分方程的特征方程r2?pr?q?0．

2）求出特征方程的两个根r1、r2．

3）根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解：

特征方程r2?pr?q?0的两个根r1,r2 两个不相等的实根r1,r2 两个相等的实根r1=r2 一对共轭复根r1,2???i? 微分方程y???py??qy=0的通解 y?C1er1x?C2er2x y??C1?C2x?er1x y?e?x?C1cos?x+C2sin?x? 例4-9 求微分方程y???2y??3y?0的通解． 解：所给微分方程的特征方程为r?2r?3?0，

其根r,r2?3是两个不相等的实根，因此所求通解为y?C1e?x?C2e3x． 1??1例4-10 求微分方程y???2y??5y?0的通解．

解：所给微分方程的特征方程为r?2r?5?0．其根r1,2?1?2i为一对共轭复根，因此所求通解为y?ex22?C1cos2x?C2sin2x?．

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练习4-1

1、微分方程y??ytanx?cosx的通解是_______________．（答案：y?(x?C)cosx） 2、通解为y?Cex?x的微分方程为_______________．（答案：y??y?1?x）

3、微分方程ydx?(x2?4x)dy?0的通解是_______________．（答案：(x?4)y4?Cx） 4、设y?f(x)是y???2y??4y?0的一个解，若f(x0)?0,f?(x0)?0，则f(x)在点x0（ ）． （A）取得极大值（B）取得极小值（C）某邻域内单增（D）某邻域内单减 答案：A 5、如果函数y1?e2x与y2?e3x均为微分方程y???py??qy?0的解，则常数p=-5，q=6． 6、求微分方程xdy?x?y满足初始条件ydx2xx?2?0的特解．（答案：y?x1?） 2xexx(e?e)） 7、求微分方程xy??(1?x)y?e(x?0)满足初始条件yx?1?0的特解．（答案：y?x8、求微分方程

dy1的通解．（答案：x?Cey?y?1） ?dxx?y9、求方程

(y?1)2y??x3?0的通解.（答案：3x4?4(y?1)3?c）

dyx(1?y2)??10、求初值问题的解，y|x?1?1．（答案：(1?x2)(1?y2)?4） 2dxy(1?x)11、求方程xy??x?sin(x?y)?0的通解.（答案：cotx?y?cx） 212、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（１）xdy?2ydx?0，yx?2?1；（２）y?sinx?ylny，

?xtan2x4? (e?1)）?.（答案：y?2；y?e2；cosy?44xxyx???e；（３）cosydx?(1?e)dy?0，yx?0213、求下列微分方程的通解：（1）xy??y?y2?x2?0；（2）(x2?y2)dx?xydy?0；（3）x（参考答案：y?y2?x2?cx2；y2?2x2(lnx?c)；y?xecx?1） 14、求下列齐次方程满足所给初始条件的特解： （1）(y2?3x2)dy?2xydx?0，yx?0?1；（2）y??（参考答案：y2?x2?y3；y2?2x2(lnx?2)）

15、求微分方程xy?lnx?y?x(lnx?1)的通解．（答案：y?xy?，yx?1?2. yxdyy?yln. dxx

xlnx?c） lnx- 38 -

1116、求方程 ylnydx?(x?lny)dy满足初始条件y|x?1?e的特解．（答案：xlny?ln2y?）

2217、求初值问题的特解y???2y??10y?0，y|x?0?1,y?|x?0?2.（答案：y?e?x(cos3x?sin3x)） 18、求初值问题的特解y???3y??4y?0，yx?0?0，y?x?0??5．（答案：y?e?x?e4x） 19、求微分方程y??xy?,yyxx?1?2的特解．（答案：y?2x2(lnx?2)）

20、求微分方程y?y??1?xy?的通解．（答案：y?C(1?x)?1）

第五章 无穷级数

1．理解无穷级数收敛、发散的概念．（直观上说，无穷级数就是无数多个数或函数相加）

定义 ①给定数列{un}，称和式u1?u2???un??为常数项无穷级数，简称级数，记为②Sn??un?1?n．

?uk?1nk称作级数的前n项部分和，{Sn}称为部分和数列．

的部分和数列?Sn?有极限S，即limSn?S，则称级数

n??③如果级数

?un?1?n?un?1?n收敛，这时极限S叫做这级数的和，记为

?un?1?n?S；如果数列?Sn?没有极限，则称级数?un发散．

n?1?2．知道级数收敛的必要条件和级数的主要性质．

①级数收敛的必要条件：若级数

?un?1?n收敛，则limun?0．若limun?0，则

n??n???un?1?n发散．

②主要性质：性质1 级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变； 性质2 两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减； 性质3 改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性；

性质4 收敛级数中的各项（按其原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级数仍然收敛，而且其和不变．

推论 一个级数如果添加括号后所成的新级数发散，那么原级数一定发散．

3．知道等比级数和P级数的敛散性．

①等比级数：a?aq?aq???aq2n?1??(a?0)，当q?1时收敛且其和为

- 39 -

a，当q?1时发散． 1?q

②P级数：

1111?1???????，当p?1时收敛，当p?1时发散． ?pppp23nn?1n?4．熟练掌握正项级数的比值审敛法．

定义 如果级数

?un?1??n的通项un?0(n?1,2,?)，则称级数

?un?1?n为正项级数．

定理 若正项级数

?un的后项与前项之比值的极限等于?：limn?1un?1??，则当??1时，级数

n??un收敛；??1（或limun?1??）时级数发散；??1时级数可能收敛也可能发散，这时可以用级数收

n??un敛的定义或收敛的必要条件判定．

2n?n!例5-1 判别级数?的收敛性 nn?1n?un?12n?1?(n?1)!nn1?n????2??2?解 ∵ ??nun(n?1)n?12n?n!?n?1??1??1???n?∴limnun?122?lim??1．所以级数收敛． nn??un??e?1?n?1???n?5．理解幂级数的收敛半径与收敛区间的定义．

6．熟练掌握求标准幂级数的收敛半径和收敛区间的方法．

①莱布尼兹定理 若交错级数

?(?1)n?1?n?1un（un?0,n?1,2,3,?）满足：

（1）un?un?1,n?1,2,?；（2）limun?0，则级数

n???(?1)n?1?n?1un必然收敛，且其和s?u1．

②幂级数：称

?axnn?0?n为x的标准幂级数．

③定理 如果一个幂级数

?axnn?0?n不是仅在x?0点收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必然存在

一个正实数R，使得（1）当x?R时，幂级数绝对收敛；（2）当x?R时，幂级数发散；（3）当x?R时，幂级数可能收敛也可能发散．

这样的正数R通常称为幂级数

?axnn?0?n的收敛半径，而开区间??R,R?叫做幂级数的收敛区间．再

- 40 -

由幂级数在x??R处的收敛性就可以决定它的收敛域是??R,R?,??R,R?,??R,R?,??R,R?这四个之一．

④收敛半径和收敛区间的求法

对于收敛半径的计算，可以利用下面这个定理： 定理 如果幂级数

?anxn当n充分大以后都有an?0，且limn?0?an?1??(0?????)，则

n??an? 当0?????时，R?1?；? 当??0时，R???；? 当????时，R?0．

xn例5-2 求幂级数?的收敛域．

n?1n?解 ∵liman?1n??an1?1n?1； ?lim?1 ∴R?1．当x?1时，级数成为?（发散）

n??1n?0nn?(?1)n当x??1时，级数成为?（收敛）∴收敛域为[?1,1)．

nn?1例5-3 求幂级数

?2n?1?xnn的收敛半径．

an?12n?limn?1?lim2解：由于limn??an??n??2n练习5-1

1、判断下列级数的收敛性

n?n?1?20?1，所以该幂级数的收敛半径为R=1．

3n?1?2n?1①?n．因为limun?limnn??n??3?2n?1?1??2??1???3???3??2?1????3?nn?1n?????1?0，所以此级数发散．

3??114n?3n4n?3n??4??3?②?．因为，所以此级数收敛，且其和为． ?????????nn25555n?1n?1n?1??n?1???n③?1??11??11??1?11????????????????n???． 4582512125???????4n5???11因为此级数可看成???n，所以级数发散．

n?14nn?15- 41 -

???n100nn3nn2n2?④?2n（收敛）；⑤?4tann（收敛）；⑥?（收敛）；⑦?n（收敛）；

3n!3n!2n?1n?1n?1n?1?⑧

11?21?2?31?2???n． ???????（收敛）

23?44?5?6(n?1)(n?2)?(n?n)2、求下列幂级数的收敛半径

??xn(?x)n2n1?11?①?（R?2,??2,2?）；②?n（R???,(??,??)）；③?（R?,??,?）；

n222nn(n?1)??n?1n?12nn?1??1en?(?1)nn1?n?R?④??sinn?x（R=2）；⑤?（）． x2e2?nn?1?n?1?

第六章 线性代数

1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．

（1）排列：由1，2，?，n组成的一个有序数组称为一个n级排列．通常同j1j2?jn表示． （2）逆序及逆序数：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数．逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．排列j1j2?jn的逆序数记为?(j1j2?jn)． （3）二阶行列式：

a11a11a12a12a22a32a21a22?a11a22?a12a21．

a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31． a33（4）三阶行列式：a21a31a11a12?a1naa?a2n?（5）n阶行列式：2122?????an1an2?annj1j2?jn?(?1)?(j1?jn)a1j1a2j2?anjn．

- 42 -

通常用D,Dn,aij,aij（6）行列式的性质

n?(aij)，detaij等表示n阶行列式．

性质1 行列式转置，其值不变．

性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号．

性质3 如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式为0．（两行（列）相同指的是两行（列）对应元素都相等）．

性质4 行列式某行（列）元素的公因子可提到行列式符号的外面（相乘）． 推论 行列式中某一行（列）为零，则此行列式为零． 性质5 行列式中两行（列）成比例，则此行列式为0．

性质6 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则行列式可按此行（列）拆成两个行列式之和． 性质7 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变． 注：1）设A，B均为n阶矩阵，一般地，A?B?B?A?A?B；

2）设A，B均为n阶矩阵，一般地，AB?BA，但是AB?BA?A?B； 3）设A为n阶矩阵，则kA?knA，切记kA?kA．

2．掌握四阶及其以内的行列式的计算．

①方法：用行列式的性质结合展开定理．

②定义：在行列式aij中划去元素aij所在的第i行与第j列，剩下(n?1)2个元素按原来的排法构成一个n?1级的行列式称之为元素aij的余子式，记为Mij．令Aij?(?1)余子式．

③展开定理：

i?jMij，称之为元素aij的代数

??Dl?j按j行展开,D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj1）a1lA1j?a2lA2j???anlAnj??；

??0l?j?Dk?i按i行展开,即D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAinaA?aA???aA?2）k1i1． ?k2i2knin0k?i?12341103411例6-1 D1???10341210412141231012313．会用克莱姆（Cramer）法则．

1234102342341341241?10231000?23411?3?102?2?21?1?110002341?13?1. 60?0440?04- 43 -

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2①?（1），当b1,b2,?,bn不全为0时，称（1）为非齐次线性方程组；

????an1x1?an2x2???annxn?bn当 b1?b2???bn?0时，称（1）为齐次线性方程组．

②克莱姆（Cramer）法则：如果线性方程组（1）的系数行列式D?0，则方程组（1）有唯一解：

DD1D,x2?2,?,xn?n， DDD其中Dj(j?1,2,?,n)是把行列式D中第j列的元素用方程组（1）的常数项b1,b2,?,bn代换所得的一

x1?个n阶行列式．

?x1?x2?x3?x4?5?x?2x?x?4x??2?1234例6-2 用克莱姆（Cramer）法则求方程组?的解．

2x?3x?x?5x??2234?1??3x1?x2?2x3?11x4?0111112?14解：D???142?0，D1?2?3?1?5312115111?22?14??142，

?2?3?1?501211． D2??284，D3??426，D4?142．所以方程组有唯一解（1，2，3，－1）用此法求线性方程组的解计算量较大，克莱姆（Cramer）法则主要在理论上运用．

4．熟练掌握矩阵的线性运算及矩阵的乘法．

①矩阵的有关概念

定义：设F是一个数域，aij?F(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)，由这些数排成的一个表格

?a11??a21????am1a12a22?am2?a1n???a2n?称为一个m?n矩阵．记作：A?(aij)m?n,或Am?n．

?????amn?a12?a1n??a22?a2n?称为n阶方阵. ?????an2?ann??a11?a211）方阵：n?n阶矩阵?????an12）行矩阵和列矩阵：只有一行的矩阵叫做行矩阵；只有一列的矩阵叫做列矩阵. 3）零矩阵：所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作0m?n或0．

4）单位矩阵：主对角线上的元素都是 1，其它元素都是 0的方阵就称为单位矩阵，记做E或I.

- 44 -

5）对角矩阵：主对角线上的元素为任意常数，其它元素都是 0的矩阵就称为对角矩阵．

6）三角矩阵：主对角线下方元素全为零的方阵称为上三角矩阵；主对角线上方元素全为零的方阵称为下三角矩阵，上、下三角矩阵统称为三角矩阵． 7）对称阵与反对称阵：A?A，A??A． 8）方阵的行列式：A或degA．

例6-3 A为三阶方阵，且A=3，则?2A?(?2)3A??8?(?3)?24． ②矩阵的运算

1）相等：同型矩阵A?B?aij?bij； 2）加减法：C?(cij)mn?(aij?bij)mn?A?B； 3）数乘：A?(aij)mn,k?P，kA?(kaij)mn；

4）乘法：设A?(aij)m?k,B?(bij)k?n，则s?n矩阵C?(cij)m?n，称为A与B的积，其中

TTcij?ai1b1j???aikbkj??ailblj，i?1,2,?,m，j?1,2,?,n．记为 C?AB．

l?1k5）转置：A或A?． ③运算性质

1）加法：A?B?B?A；A?0?A；A?(B?C)?(A?B)?C；A?(?A)?0． 2）数乘：1?A?A；(k?l)A?kA?lA；k(A?B)?kA?kB；k(lA)?(kl)A．

T(AB)C=A(BC)；A(B?C)?AB?AC；(kA)B?A(kB)?k(AB)． 3）乘法： ?5?1??40?16????307?20???????1845?． 例6-4 ?1253????47???????371?2????23?2???13?4）转置：(A?)??A；(A?B)??A??B?；(kA)??kA?；(AB)??B?A?．

④注意

1）AB?2B?(A?2E)B，ABC?AC?A(B?E)C；2）只有方阵才有矩阵的幂A；3）矩阵乘法不满足交换律即AB?BA，也不满足消去律即由AB?0推不出A?0或B?0．

n5．理解矩阵的逆矩阵及矩阵的秩的概念．

①逆矩阵：A可逆（或非奇异的，非退化的，满秩的）

1）定义 设A为n级方阵，若有n级方阵B，使AB?BA?E，则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵．注：若A可逆，则A的逆唯一，记为A；E- 45 -

?1?1?E．

?1?12）性质：且(A')?1?(A?1)'；(AB)?1?B?1A?1；(A1A2?Am)?1?AmAm?1?A1?1；A可逆?A可逆，

'(A?1)?1?A;(kA)?1?②矩阵的秩

1?111?A；A?1?;A?1?A． kAA1）定义1 矩阵的行秩＝矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩＝矩阵的列向量组的秩．矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，记作r(A)．

2）定义2 矩阵A的最高阶不等于0的子式的阶数r叫做A的秩，记为r(A)?r． 3）定理 n阶方阵A的秩r(A)?n?A?0，即A可逆．

4）性质：r(AT)?r(A)；k?0,r(kA)?r(A)；r(A)?min(m,n)；r(A?B)?r(A)?r(B)；

r(AB)?min(r(A),r(B))；若A可逆，则r(AB)?r(B),r(BA)?r(B)．

6．掌握求矩阵的逆和秩的方法．

①逆矩阵的求法（伴随矩阵法、初等变换法、定义法、分块法、解方程组法等）

?A11?A112*?11）伴随矩阵法：A?A?，其中A?为A的伴随矩阵；A????A??A1n伴随矩阵A的性质：AA?AA?AE；(kA)??kn?1A?；(A)?

A21?A22?A2nAn1??An2???adjA． ?????Ann?1 A；(A?)T?(AT)?；

A????1?(A?1)??A??An?1,(A?)??An?2?n,r(A)?nA；r(A?)???1,r(A)?n?1．

?0,r(A)?n?1??1?E??A?作初等行变换??E?A?或???????????????????????2）初等变换法：?A?E??????????????????????作初等列变换???1?．

E???A?3）定义法：若AB?BA?E，则A可逆．

?111????1例6-5 用伴随矩阵法求矩阵A?022的逆A．

????003??22020211解：A?6?0，A11??6，A12???0，A13??0，A21????3，

03030003A22?1111111111?3，A23???0，A31??0，A32????2，A33??2． 0300220202- 46 -

0??6?30??1?121???012?13?． ??1?A?所以A?03?2，因此A?????A??013??002???0??02?1???的逆A?1．

12例6-6 用初等变换法求矩阵A?1?????1?1?1???02?1100??02?1100??020111?????112010???1100?1?2?

12010解：1?????????1?1?1001????001011????001011???100?12?32?52???12?32?52??，所以A?1??12?．

??0101212121212??????011?11??001??0?例6-7 已知A满足A?2A?E?0，试证：A可逆并求A．

证明：A2?2A?E?0?2A?A2?E?A(2E?A)?E，所以A可逆且A?2E?A． 例6-8 若A?A，试证：A?E可逆并求(A?E)?1．

证明：A2?A?A?A2?0?A?A?A2?A?2E?2E?2(A?E)?A(A?E)?2E ?(2E?A)(A?E)?2E?(E?所以A?E可逆且(A?E)?12?12?1A)(A?E)?E． 2?E?A． 2练习6-1：求下列矩阵的逆

7?3??11?1??3?3?45??,B???2?52?,C??2?31?．

A??210??????????1?10????4?103???3?5?1???011??59?1???829?11?1??,B?1???2?30?,C?1???518?7?． ?101?2参考答案：A??????3??????32?1???02?1???1?31??②矩阵的秩的求法：1）初等变换法；2）定义法；3）行列式法．

用初等变换法求矩阵的秩是简便适用的方法，后两种方法较复杂，计算量大．例如

001??12001??1?12?06??06??024102410??????A???1113616??093615??0?????1?19?7?14?340?21?7?14?35?????07．掌握矩阵的初等变换．

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2300010002001?5??,?r(A)?2． 0??0?

①定义 矩阵的行（列）初等变换是指下列三种变换： 1）互换矩阵中的两行（列）的位置； 2）用一个非零的数k乘矩阵的某一行（列）；

3）用数k乘矩阵的某一行（列），然后加到另外的行（列）上． 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换．

②矩阵A经过一系列初等变换得到B，称A与B等价，记为A?B． ③单位矩阵E经过一系列初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．

④n阶矩阵A可逆?A?0?r(A)?n?A?PP12?Ps,Pi是初等矩阵． ⑤经初等变换后矩阵的秩不变．

8．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，掌握非齐次线性方程组解的结构和判定．

（1）齐次线性方程组AmnX?0

①齐次线性方程组有非零解的充分必要条件

1）齐次线性方程组有非零解?r(A)?n；2）当m=n时，AmnX?0有非零解?A?0； 3）当m?n时，AmnX?0必有非零解；4）AnnX?0只有零解?A?0?A可逆．

②解向量的性质

1）可加性：若?1,?2是AX?0的解，则?1??2也是AX?0的解． 2）齐次性：若?是AX?0的解，?k?R则k?也是AX?0的解．

③基础解系

定义1 齐次线性方程组AX?0的解空间的基底?1,?2,?,?t称为AX?0的一个基础解系． 定义2 AX?0的一组解向量?1,?2,?,?t如满足：1）?1,?2,?,?t线性无关；2）AX?0的任一解向量都可以由?1,?2,?,?t线性表出．则向量组?1,?2,?,?t称为AX?0的一个基础解系．

④解空间：由AX?0的一个基础解系?1,?2,?,?t所生成的向量空间称为AX?0的解空间，记为V?{???k1?1???kt?t,ki?R,i?1,2,?,t}．

⑤AX?0的通解：如?1,?2,?,?t是AX?0的一个基础解系，则对任意常数k1,k2,?,kt有

k1?1???kt?t是AX?0的解，称这种形式的解为AX?0的一般解或通解．

⑥定理：设AX?0的r(A)?r?n，则AX?0的基础解系由n?r个解向量构成． （2）非齐次线性方程组AX??

①导出组：AX?0称为与AX??对应的（导出的）齐次线性方程组，简称导出组或对应组．

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?r?n,有唯一解r(A)?r(A)?r②解的存在定理：AX??有解?． ?r?n,有无穷多解?③解的性质

1）AX??的两个解?，?的差???是其导出组AX?0的解．

2）AX??的一个解?0与其导出组AX?0的一个解?的和?0??是AX??的解．

④通解：若?0是AX??的一个特解，?1,?2,?,?t是其导出组AX?0的一个基础解系，则

AX??的通解为???0?k1?1???kt?t,k1,k2,?,kt?R．

9．熟练掌握线性方程组的解法．

①齐次线性方程组AX?0的解法（步骤） 1）对系数矩阵A作初等行变换化为标准形； 2）确定r(A)及基础解系中向量个数n?r(A)； 3）确认主变量与自由未知量；

4）每次只给一个自由未知量赋值1，其余自由未知量为0，代入求解，得基础解系?1，?2， ?，?t；5）得通解：??k1?1???kt?t,ki?R,i?1,2,?,t． ②齐次线性方程组AX??的解法（步骤） 1）对增广矩阵A作初等行变换化为标准行；

2）求导出组AX?0的一个基础解系?1，?2，?，?t； 3）求AX??的一个特解?0；

4）按解的结构写出通解：???0?k1?1???kt?t,ki?R,i?1,2,?,t．

?x1?x2?x3?x4?x5?0x?x?2x?4x?0?1234?3x?2x?x?x?3x?0??12345例6-9 求通解：（1）?3x1?x2?6x3?2x4?0；（2）?．

??x?2x?2x?x?0?x2?2x3?2x4?6x5?0234?1??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?0解：（1）

?1124??1124??1124??102?1??1020????0?20?10???0105???0105???0100?

A??3162?????????????0001????12?21????0305????000?10????0001???x1??2x3?TT同解方程组为?x2?0，所以基础解系为??(?2,0,1,0),通解为??c(?2,0,1,0)．

?x?0?4（2）

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?1?3A???0??51214112311??11111??0?1?2?2?6?1?3???????10?1?1?5?．

?26??01226???01226????3?1??0?1?2?2?6??x1?x3?x4?x5同解方程组为?，所以基础解系为?1?(1,?2,1,0,0)T,?2?(1,?2,0,1,0)T,?3?(5,?6,0,0,1)T．

x??2x?2x?6x345?2因此通解为??C1?1?C2?2?C3?3，其中C1,C2,C3为任意常数．

②非齐次线性方程组的解法：1)求出其导出组的基础解系?1，?2，?，?t；2)求出其一个特解?0； 3)一般解为???0?l1?1???lt?t．

?x1?x2?x3?x4?0?例6-10 求解方程组 ?x1?x2?x3?3x4?1．

?x?x?2x?3x??1234?120?1?110?10?112??1?1?11??????，

解：A?1?11?31?002?41?001?212???????1?1?23?12??00?12?12??00000????????2?r11?rr3?r1?r2?0.5r?r2?1?r3?1r2可见R(A)?R(A)，方程组有解，并有 ???x1?x2?x4?12．

?x3?2x4?12取x2?x4?0，则 x1?x3?12，即得原方程组的一个特解?0?(12,0,12,0)．

下面求导出组的基础解系： 导出组与 ??x1?x2?x4 同解．

?x3?2x4取x2?1,x4=0，得?1?(1,1,0,0)； 取x2?0,x4=1，得?2?(1,0,2,1)． 于是原方程组的通解为

???k1?1?k,0?2?2(、k1 k?．R2)?2x1?x2?3x3?x4?1?3x?2x?2x?3x?3?1234例6-11 求解方程组 ?．

x?x?5x?4x?234?12??7x1?5x2?9x3?10x4?82??108?5?1??2?13?11??1?1?54?3?2?233??0113?9?3??0113?9?3???????? 解：A???1?1?542??0113?9?3??00000????????7?5?9108??0226?18?6??00000?- 50 -

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