矩阵论（正本）

矩阵论

第1章 线性空间和线性变换

1.1线性空间

一个数域F上的非空集合V，V的元素为a、b、c……，定义两种运算，一种是V内元素的加法，一种是V内元素与F域上元素的数乘，这两种运算满足加法交换律、结合律、分配律。线性空间中0元素唯一（具体形式未必是0），某元素的负元素唯一。 实线性空间、复线性空间

最大线性无关组，基表示线性空间，维数，向量在某基下的坐标， a={α}X，a={β}Y，{β}={α}C，∴X=CY

N维线性空间一组向量线性相关/无关，等价于在该空间某基下坐标线性相关/无关 子空间：V中子集W，W的元素关于V中的线性运算仍然构成一个线性空间

零空间N(A)={X|AX=0}，列空间R(A)=L{A1,A2,…,AN}都是Fn的子空间 交空间、和空间，并运算的结果却未必是子空间

直和子空间：线性无关组分成两部分组成两个子空间，W1∩W2={0}，直和子空间，0的表达唯一，即0=w1+w2，w1∈W1，w2∈W2。 1.2内积空间

定义了内积的线性空间，内积的结果是数域上的元素。 内积运算的3个性质：对称性（共轭转置）、线性性、正定性。 实内积空间，欧式空间，向量长度欧几里得范数

复内积空间，酉空间

两个向量在同一个基下不同的坐标X，Y，因此两个向量的内积通过坐标联系，并产生了一个矩阵A，（α，β）=YHAX，该矩阵A为共轭转置相等的矩阵，即Hermite矩阵，而正定的Hermite矩阵又成为Grame矩阵。 正交补子空间 正交??i,?j??1,i?j?? ?0,i?j夹角θ=acos[(α,β)/|α||β|] 内积与矩阵运算的转化： a={α}X=Σαixi，b={α}Y=Σαiyi (a,b)=??xiyi(?i,?j)=YHAX

1.3线性变化 T(α)，α，像与原像

1

线性变换：加法和数乘

零变换，把所有的向量变成零向量；恒等变换；微分变换是线性变换，而积分不是 线性变换把线性相关组变成线性相关组，但不能保持线性无关性不变。 两个或多个线性变换的乘积、和、数乘仍是线性变换，线性变换可逆。 线性变换T在某基下{α}的矩阵A，T与A一一对应。T{α}={α}A 向量的坐标X，T后的坐标Y，则Y=AX 不变子空间：子空间W，T，T（α）∈W

正交变换：T为线性变换，若T不改变向量的内积，即（T（α），T（β））=（α，β），则T为内积空间上的正交变换，若空间为欧式空间，则称正交变换，若为酉空间，则为酉变换。 正交变换=保持向量长度不变=将标准正交基变为标准正交基

正交矩阵行列式值为±1，酉矩阵模长为1，正交矩阵C=C、酉矩阵C=C。

-1

T在某两组基下矩阵分别为A，B，T{αi}={αi}A，T{βi}={βi}B，{βi}={αi}C，则B=CAC 直和补子空间→矩阵分割→对角矩阵

-1

T

-1

H

第2章 Jordan标准型

2.1线性变换的对角矩阵表示

T在某两组基下矩阵分别为A，B，T{αi}={αi}A，T{βi}={βi}B，{βi}={αi}C，则B=CAC

若线性变换T在某组基{ξi}下的矩阵A为对角阵diag{λi}，即T（ξ）=λiξi，则λ为特征值，特征向量{ξi}。 任一组基{αi}变换到{ξi}，有{ξi}={αi}X，T（ξ）={ξi}A={αi}AX=λ{ξi}={αi}λX 有AX=λX，λ仍是特征量，X为A关于λ的特征向量，T的特征向量{αi}X

特征子空间：{ξi}中极大线性无关组张成线性空间，为特征子空间，注意，该空间包括0 2.2Jordan矩阵的求法

代数重数：特征值重根的数量；

几何重数：同一个特征值对应特征向量的极大限线性无关数量。 （1）、求|λI-A|=0的特征多项式和特征值，相异的特征值分属不同的Jordan块，而某个特征值的重根数（代数重数）决定了该Jordan快的阶数（该Jordan块还包括若干子块）

（2）、对每个不同的特征值λi求特征向量，根据式（A-λiI）X=0，求的最大线性无关向量组，如果是有代数重数的特征值，则无关组的个数（几何重数）决定了该特征值的分块数，注意，如果是无重根的特征值，则也是有可能有一个以上的特征向量 （3）、若几何重数小于代数重数，则根据递推式确定广义特征向量，直到递推过程不相容。 (A-λiI)α1=0

(A-λiI)β2=α1 (A-λiI)β3=β2

-1

（4）、上述特征向量和广义特征向量构成Jordan链，组成可逆矩阵P，有JA=PAP

-1

2

2.3最小多项式

矩阵多项式：矩阵为元素代入多项式，进行多项式运算

多项式矩阵：矩阵内元素为多项式 A和g（A）：特征值相同，A的相似阵B，有P-1AP=B，则g(A)也相似于g(B)，有P-1g（A）P=g(B)，若A为对角阵，则g（A）也为对角阵。 ????J(?)??????1?????1??????g(?)??，则g(J(?))???????g'(?)g(?)??g(?)??g(?)??(r?1)!???? ??g'(?)??g(?)??(r?1)?1???化零多项式：矩阵A或线性变换T代入运算为零的多项式，如A的特征多项式f（λ）

最小多项式mT：化零多项式中，次数最小，首项系数为1.

最小多项式与特征多项式具有相同的根，最小多项式在T或A的某特征根上的阶次与T或A的Jordan标准型在某特征根上最高的Jordan子块阶数相同，注意，是子块的最高阶数，而不是几何重数或代数重数，几何重数决定了同一特征根的Jordan块的分块数

几何重数的判断：A为n阶，λi，rank（A-λi）=r，几何重数=n-r，λi对应n-r个Jordan分块

第三章 矩阵分解

3.1 常见矩阵标准型和矩阵分解

等价标准型A?P???I??Q，A为矩阵，不一定是方阵，P、Q可逆 0???1?1?相似标准型A?P??????P?，A为n阶方阵 ?n??3.1.1 矩阵的三角分解

采用Gauss消元法，通过初等变换，进行LU和LDV分解。通过左乘进行行初等变换。 ?l11?l21?LU分解：A?LU??l31??l41??u11????????l44??u12u22u13u23u33u14??u24?，下三角×上三角 u34??u44?l22l32l42l33l43 3

?1?l21LDV分解：A?LDU???l31??l411l32l421l43??d1????????1??d2d3??1????????d4??u121u13u231u14??u24? u34??1?对角线元素为1的下三角和上三角，以及对角阵。LU和LDV的分解一般不唯一。若A的顺序主子式都不为零，则LDV分解唯一。 满秩分解

(LU)矩阵和增广矩阵初等行变换高斯肖元：A|E→U|P，PA=U，A=PU 初等变换中：行变换对应左乘，列变换对应右乘，如上，有PA

3.1.2 矩阵的满秩分解 m×n阶矩阵A分解成列满秩矩阵B和行满秩矩阵C：A=BC。A秩r，则B为m×r阶，C为r×n阶。 ?A同样构建增广矩阵进行初等变换??In?IrIm???0??0???Q000P?Ir??1?0，A?P???0????1?Q0?，即PAQ

-1

左乘行变换，右乘列变换。

或将A进行初等变换求出阶梯矩阵PA???C?? ?0?第三种方法使用Hermite标准型，即每一行首个非零元素为1，且该列其它元素为零，阶梯型矩阵。 根据Hermite标准型，取行首非零元素1所在的列对应到A中列向量，构成B，而Hermite标准型中所有非零行构成C。

3.1.3 对角化谱分解 A的特征值既是A的谱

谱分解：依照特征值，把相似矩阵相似成的对角矩阵分解为矩阵和A=P-1DP，

D???0??i???Iri????0???2??Qi?Qi?iQi，所有Qi之和为单位矩阵，Qi还是幂等矩阵?

QQ?0??ij3.2 Schur分解与正规矩阵

正交矩阵C=C、酉矩阵C=C, 正交相似、酉相似

实对称，共轭转置对称的Hermite矩阵

实对称矩阵正交相似于对角阵A=CDCT，而Hermite矩阵酉相似对角阵A=UDUH。 任意方阵都能相似与他的Jordan标准型

方阵A可逆，其列向量组构成矩阵空间的一组基，进行Schur正交化可得标准正交基，{αi}={εi}R=UR，其中R为上三角矩阵，U为酉矩阵。

Schur分解：对任意n阶方阵A，存在A=PJP-1，P可逆则有P=UR，有A=URJR-1UH= UTUH。即任意n阶方阵A都能酉相似一个上三角阵T，且该三角阵的主对角线元素全为A的特征值，当n阶方阵为正规矩阵时，酉相似一个对角阵。

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-1

T

-1

H

正规矩阵：n阶方阵A，有AAH=AHA。

常见的正规矩阵有对角阵、对称与反对称矩、Hermite与反Hermite矩阵、正交矩阵酉矩阵 A为正规矩阵的充分必要条件是：A酉相似与对角矩阵D 3.3 矩阵的奇异值分解

A为m×n阶矩阵，新矩阵AA或AA都是Hermite矩阵，从而也是正规矩阵，他们的特征是记为λi，则?i?H

H

?i就是矩阵A的奇异值，或称奇值。

AHA或AAH的秩与A的秩相等，AHA或AAH的非零特征值相等，都是半正定矩阵，即特征值≥0. 若A为方阵，则概述奇异值相关不一定成立。 正规矩阵A的奇异值为其特征值的模，正定的Hermite矩阵的奇异值为其特征值，酉等价的矩阵其奇异值也相等。

奇异值分解：任意矩阵A，秩r，存在酉矩阵U和V，有A?U??????V0?H，其中Δ为A的奇异值组

成的正定的对角阵。奇异值分解中U和V不唯一。 MATLAB中为svd函数。

第四章 矩阵的广义逆

Moore-Penrose广义逆 4.1 左逆与右逆

A存在左逆矩阵B，BA=I，A左可逆→列满秩→AHA可逆 存在右逆矩阵，有可逆→行满秩→AAH可逆

如果矩阵存在左逆或者右逆，则左逆或右逆矩阵不惟一 4.2广义逆矩阵

减号广义逆/{1}-逆：对任意矩阵A，若AGA=A，则G为A的一个减号广义逆，记为A-，A的全部广义逆的集合记为A{1}。减号广义逆不唯一。 减号广义逆求法：?-

?A?I2-

I1??I???0??QP??Ir，则PAQ=??0????IrQ，减号广义逆G=??0??vu?uvw任意。 ?P，

w?秩A=秩A-，AA和AA都是幂等矩阵

Moore-Penrose广义逆/加号广义逆：对任意矩阵A，若AGA=A，GAG=G，(AG)H=AG，(GA)H=GA，则称G为A的MP广义逆。A和G互为减号广义逆，AG或者GA是Hermite矩阵。 对任意矩阵都存在，且MP广义逆唯一

求MP广义逆，先从A的BC分解即满秩分解开始：列满秩阵×行满秩阵；或从奇异值分解开始。 MP广义逆性质：

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