十三个球的问题

十三个球的问题

1694年，英国天文学家格雷戈里和牛顿在讨论体积不同的星星在天空中如何分布时，提出了这样一个问题：一个单位球(半径为1)能否与13个互不相交的单位球相切？格雷戈里认为这是可以的，而牛顿却持相反意见．

在单位球A与单位球O相切时，O到球A的切线形成一个圆锥，这个圆锥含有球O的一个球冠，切点A1就是球冠的顶点．如图6－85所示，又因为AD1⊥OD1，AO＝2，AD1＝1，于是∠AOD1＝

?，根据弧长公式可知，A1与这个球冠上任一点的球面距离小于等6

??于，称为这个球冠的半径．66同样，对另一个与球O相切的单位球B，也有一个以B1点为顶点，

?为半径的球冠．6于是，格雷戈里的猜测可转化为如下问题：单位球面上能否有13 ?个半径为的互不重叠或相交的球冠．6通过作实验，可以知道，至少有12个单位球可同时与一单位球相切．最简单的实验是：把同样大小的乒乓球一层一层地堆起来，最上面1个，第2层4个，第3层9个，第4层16个．那么，在第3层核心的那个球既与上一层的4个球相切，又与下一层的4个球相切，还与同一层的4个球相切．

当然，也可利用数学方法进行证明，这里不再详细介绍．

同时，还可以证明与单位球O相切且互不重叠的单位球不超过14

?个，考虑半径为的球冠，如图6－86，设球冠的高为h，则

6h＝AB＝OA－OB ＝OA－OCcos30°

＝1－3 2∴S球冠＝2πAO·AB ＝2π·1·AB

3＝2π·1·(1－)＝π(2－3)

2又 S球＝4πR2＝4π

?∴半径为的互不重叠的球冠个数6

4?≤=4(2＋3)≈14.9?(2?3)由以上叙述可知，与单位球相切的单位球个数n的范围是：12≤n≤14． 14是比较粗糙的界．通过利用球面几何的知识，可以证明n不仅≤13，而且n≤12，也就是说，牛顿的猜测是正确的．虽然大多数人倾向于牛顿的观点，但是严格的证明却姗姗来迟，直到1953年(事隔260年之后)才由许特与范·德·瓦尔登给出．

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