二次函数难题压轴题中考精选- 副本 - 图文

二次函数压轴题中考精选

第一部分：试题

1．如图，二次函数y??9?12?x?c的图象经过点D??3,?，与x轴交于A、B两点．

2?2?⑴求c的值；

⑵如图①，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；

⑶设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）

2．（2010福建福州）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H． AHEF

（1）求证：＝；

ADBC

（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

(第2题)

3．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y＝2x上，过点B作x轴1

的垂线，垂足为A，OA＝5．若抛物线y＝x2＋bx＋c过O、A两点

6

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆．过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由

(图1) (图2)

4．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=23．设直线AC与直线x=4交于点E．

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线

一定过点E；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一

动点，求△CMN面积的最大值．

yDCEAOBx=4x

5．（2010湖南邵阳）如图，抛物线y＝?12x?x?3与x轴交于点A、B，与y轴相交于点4C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴交于点F。

（1）求直线BC的解析式；

（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P。 ①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交 ，求r的取值范围； ②若r=

45，是否存在点P使⊙P与直线BC相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存5在，请说明理由．

6．（2010年上海）如图8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) .

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l

的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

y

4

3

2 1A

-2-1o12345x -1-2

PEF-3

-4

-5

-6图1

7．（2010重庆綦江县）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使，△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．

yPAODBQxC

8．（2010山东临沂）如图，二次函数y?x?ax?b的图象与x轴交于A(?,0),B(2,0)两点，且与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断?ABC的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由

212第8题图

.9．（2010四川宜宾）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B(–3，0)． (1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当 △APE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与（2）中△APE的最 大面积相等?若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2010 山东省 ） (已知二次函数y?ax?bx?c的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．

(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；

(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．

①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形； ②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作 x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ 的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式， 并指出t的取值范围；当t为何值时， S有最大值或最小值．

第12题图 C O M P B Q A N 2y x

13．（2010 山东 ）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y?ax?bx?c交x轴于

2A(2,0),B(6,0)两点，交y轴于点C(0,23).

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线y?2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；

（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

y E D C F O A B x

14．（2010 广东 ）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0,6）；将BCD沿BD折叠（D点在OC边上），使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上.

(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；

(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y?ax?bx?c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；

(3)若点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h=PM-MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PMMN成立的x的取值范围。

2（第24题图）

15．（2010福建 ）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.

⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______； ⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求 ①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式； ②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

2

16．（2010江西）如图，已知经过原点的抛物线y=-2x+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m>0)个单位，所得抛物线与x轴交与C、D两点，与原抛物线交与点P. （1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）

（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）△CDP的面积为S，求S关于m的关系式。

y P B E→ F→ C A D G O C A D x

17．（2010 武汉 ）如图1，抛物线y1?ax?2ax?b经过点A（－1，0），C（0，

23）两2点，且与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线解析式；

（2）若抛物线的顶点为点M，点P为线段AB上一动点（不与B重合），Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设OP=x，MQ=

2y2，求y2于x的函数关系式，并且直接写出2自变量的取值范围；

（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于E、G两点，与（2）中的函数图像交于F、H两点，问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求出m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由． 图 2

图 1

18．（2010四川 ）如图12已知△ABC中，∠ACB＝90°以AB 所在直线为x 轴，过c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为（一1 ， 0）， B 点坐标为（4，0 ） （1）试求点C 的坐标

（2）若抛物线y?ax?bx?c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式．

（3）点D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线y=－x－1 交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B 的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由。

2

D

H

G

19．（2010浙江 ）如图，已知在直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的

正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴于E和F． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；

（3）连接EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时 S最小，并求出这个最小值.

．

20．（2010江苏 ）如图，已知二次函数y?ax?bx?3的图像与x轴相交于点A、C，与y轴相较于点B，A（?29，且△AOB∽△BOC。 ,0）42（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y?ax?bx?3的关系是；

（2）在线段AC上是否存在点M（m,0）。使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

21．（2010江苏 ）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP-CQ。设AP=x （1）当PQ∥AD时，求x的值；

（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；

（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围。

22．（2010 山东滨州）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0,3)，以点C为顶

2y?ax?bx?c 恰好经过x轴上A、B两点． 点的抛物线

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2) 求经过A、B、C三点的的抛物线的解析式；

(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少各单位？

1x?1的图象与x轴交于点A．与y轴交于点B；211二次函数y?x2?bx?c图象与一次函数y＝x?1的图象交于B、C两点，与x轴交

2223．（2010湖北荆门）已知一次函数y＝于D、E两点且D点的坐标为(1,0)

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEF的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，

求出所有的点P，若不存在，请说明理由。

25．（2010 四川成都）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?c与x轴交于（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(?3，若将经过A、C0)，A、B两点

两点的直线y?kx?b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线

2x??2．

（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；

（2）如果P是线段AC上一点，设?ABP、?BPC的面积分别为S?ABP、S?BPC，且

S?ABP:S?BPC?2:3，求点P的坐标；

（3）设⊙Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？ 26．（2010山东潍坊）如图所示，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴

交于C（0，－3）．以AB为直径做⊙M，过抛物线上的一点P作⊙M的切线PD，切点为D，并与⊙M的切线AE相交于点E．连接DM并延长交⊙M于点N，连接AN．

（1）求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标； （2）若四边形EAMD的面积为43，求直线PD的函数关系式；

（3）抛物线上是否存在点P，使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

第二部分：答案

1．【答案】⑴ ∵抛物线经过点D(?3,∴?9) 219?(?3)2?c? 22∴c=6.

⑵过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M， ∵AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF 又∵∠DME=∠BMF， ∠DEM=∠BFE ∴△DEM≌△BFM

∴DM=BM 即AC平分BD ∵c=6. ∵抛物线为y??12x?6 2∴A（?23,0）、B（23,0）

∵M是BD的中点 ∴M（

39,） 24设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点

?33??23k?b?0k????10 ??3解得?9k?b???b?94?2?5??直线AC的解析式为y?339x?. 105⑶存在．设抛物线顶点为N(0，6)，在Rt△AQN中，易得AN=43，于是以A点为圆心，AB=43为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

2．【答案】解：（1）∵ 四边形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP． ∴ △AEF∽△ABC．

又∵ AD⊥BC， ∴ AH⊥EF． AHEF

∴ ＝

ADBC

AHx4

（2）由（1）得＝． AH＝x．

81054

∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－x，

5

444

∴ S矩形EFPQ＝EF2EQ＝x (8－x) ＝－x2＋8 x＝－（x－5）2＋20．

5554

∵ －＜0， ∴ 当x＝5时，S矩形EFPQ有最大值，最大值为20．

5（3）如图1，由（2）得EF＝5，EQ＝4．

图1

∴ ∠C＝45°， ∴ △FPC是等腰直角三角形． ∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．

分三种情况讨论：

① 如图2．当0≤t＜4时，

设EF、PF分别交AC于点M、N，则△MFN是等腰直角三角形．∴ FN＝MF＝t．

11

∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－t2＝－t2＋20；

22

②如图3，当4≤t<5时，则ME＝5－t，QC＝9－t． 1

∴ S＝S梯形EMCQ＝[（5－t）＋（9－t ）]34＝－4t＋28；

2

③如图4，当5≤t≤9时，设EQ交AC于点K，则KQ=QC＝9－t． 11

∴ S＝S△KQC= (9－t)2＝( t－9)2．

22

图2 图3 图4 综上所述：S与t的函数关系式为：

?120≤t?4)，??2t?20　(?S=??4t?28　（4≤t?5)， ?1?(t?9)2　（5≤t?9)．?21

3．【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，

6

5?c?0，???b??,得?25解得?6

?5b?c?0.???6?c?0.15

∴ 该抛物线的解析式为y＝x2－x．

66

（2）点C在该抛物线上．

理由：过点C作CD⊥x轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E． ∵ 点B在直线y＝2x上， ∴ B(5，10) ∵ 点A、C关于直线y＝2x对称，

∴ OB⊥AC，CE＝AE，BC⊥OC，OC＝OA＝5，BC＝BA＝10． 又∵ AB⊥x轴，由勾股定理得OB＝55．

11

∵ SRt△OAB＝AE2OB＝OA·AB，

22

∴ AE＝25， ∴ AC＝45．

∵ ∠OBA十∠CAB＝90°，∠CAD＋∠CAB＝90°， ∴ ∠CAD＝∠OBA． 又∵ ∠CDA＝∠OAB＝90°， ∴ △CDA∽△OAB． ∴

CDADAC

＝＝ ∴ CD＝4，AD＝8 ∴ C（－3，4） OAABOB

15

当x＝－3时，y＝39－3(－3)＝4．

66

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