2001-2010年考研真题（数学一试卷版纯打印版）

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________. (3)交换二次积分的积分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________.

(4)设A2?A?4E?O,则(A?2E)?1= _____________.

(5)D(X)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计P{X?E(X)?2}? _____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为

(A)

(B)

(C)

(D)

(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则 (A)dz|(0,0)?3dx?dy

(B)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}

(C)曲线 z?f(x,y)在y?0(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}

(D)曲线 z?f(x,y)y?0在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}

(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?

(A)limf(1?cosh)h2存在

(B) ?eh)存在

h?0limf(1h?0h(C)limf(h?sinh)h2存在

(D)limf(2h)?f(h)0h?0h存在

h??1111??4000?(4)设?A??1111???,B??0000??,则A与B

?1111??0000???1111????0000??(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似

(D)不合同且不相似

(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为(A) -1 (B)0

(C)12

(D)1

三、(本题满分6分) 求?arctanexe2xdx.

四、(本题满分6分)

设函数z?f(x,y)在点(1,1可)微,且f(1,1)?1,fx?(1,1)?2,fy?(1,1)?3,?(x)?f(x,f(x,x)),求

d六、(本题满分7分) 计算I???L(y?z)dx?(2z?x)dy?(3x?y)d,z其中L是平面 x?y?z?2与柱面x?y?1的交

222222?(x)3. 线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.

dxx?1

五、(本题满分8分)

1?x2设f(x)? xarctaxn x?,将0?f(x)展开成x的幂级数,并求?(?1)n2的和.

1 x?0n?11?4n

七、(本题满分7分)

设f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0.证明:

(1)对于?x?(?1,0)?(0,1),存在惟一的?(x)?(0,1),使 f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立. (2)lim?(x)?0.5.

x?0

八、(本题满分8分)

22设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z?h(t)?2(x?y)h(t)(设长度单位为厘米,时

间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?

九、(本题满分6分)

设α1,α2,?,αs为线性方程组AX?O的一个基础解系,

β1?t1α1?t2α2,β2?t1α2?t2α3,?,βs?t1αs?t2α1,

其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么条件时β1,β2,?,βs也为AX?O的一个基础解系?

十、(本题满分8分)

已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x?3Ax?2A2x. (1)记P?(x,Ax,A2x),求B使A?PBP?1. (2)计算行列式A?E.

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0?p?1),且

.Y为中途下车的人数,求:

(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率.

(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.

中途下车与否相互独立十二、(本题满分7分)

设X~N(?,?2)抽取简单随机样本X1,X2,?,X2n(n?2), 样本均值X??2ni?112nnXi,Y??(Xi?1i?Xn?i2?2X),求E(Y).

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)???dxexln2x= _____________.

(2)已知ey?6xy?x2?1?0,则y??(0)=_____________. (3)yy???y?2?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?12的特解是_____________.

(4)已知实二次型f(x2?x221,x2,x3)?a(x12?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变换可化为标准型

f?6y21,则a=_____________.

(5)设随机变量X~N(?,?2),且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率为0.5,则?=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质:

①f(x,y)在点(x0,y0)处连续, ②f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数连续, ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微, ④f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在. 则有:

(A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?①

(D)③?①?④

(2)设u则级数n?1n?0,且limn?u?1,?(?1)(1)为

n?nu?1nun?1(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛

(D)收敛性不能判定.

(3)设函数f(x)在R?上有界且可导,则 (A)当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0

(B)当,必有limx???x???limf?(x)存在时x???f?(x)?0

x???(C) 当limf(x)?0时,必有limf?(x)?0 (D) 当limf?(x)存在时,必有limx?0?f?(?x?0?x?0?x)?0.

x?0(4)设有三张不同平面,其方程为aix?biy?ciz?di(i?1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为

(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y),分布函数分别为FX(x)和FY(y),则

(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数 (B) fX(x)fY(y)必为密度函数

(C)FX(x)＋FY(y)必为某一随机变量的分布函数 (D) FX(x)FY(y)必为某一随机变量的分布函数.

三、(本题满分6分)

设函数f(x)在x?0的某邻域具有一阶连续导数,且f(0)f?(0)?0,当h?0时,若

af(h)?bf(2h)?f(0)?o(h),试求a,b的值.

四、(本题满分7分) 已知两曲线y?f(x)与y? 六、(本题满分8分)

?arctanx0e?t22dt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限limnf().

n??n设函数f(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d).

五、(本题满分7分) 计算二重积分??emax{x2,y2}dxdy,其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.

D

记I??1[1?y2yf(xy)]dx?xyfy2[2(xy)?1]dy,

(1)证明曲线积分I与路径L无关. (2)当ab?cd时,求I的值.

七、(本题满分7分)

?(1)验证函数y(x)??x3nn?0(3n)!(???x???)满足微分方程y???y??y?ex.

?(2)求幂级数y(x)??x3nn?0(3n)!的和函数.

八、(本题满分7分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为D?{(x,y)|x2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy.

(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为

g(x0,y0),写出g(x0,y0)的表达式.

(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

九、(本题满分6分)

已知四阶方阵A?(α1,α2,α3,α4), α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1?2α2?α3.若

β?α1?α2?α3?α4,求线性方程组Ax?β的通解.

十、(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵,

(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.

十一、(本题满分7分)

设维随机变量X的概率密度为

xcos 0?x?x f(x)? 220 其它1十二、(本题满分7分)

设总体X的概率分布为

X P 0 2? 1 2?(1??) 2 2? 3 1?2? 对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于

?3其中?(0???的次数,求Y2的数学期望.

12)是未知参数,利用总体X的如下样本值

3,1,3,0,3,1,2,3.

求?的矩估计和最大似然估计值.

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

1(1)lim(cosx)ln(1?x2) = .

x?0(2)曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是 .

?(3)设x2??ancosnx(???x??),则a2= .

n?0(4)从R2的基α?1??1?1???,α2??1?到基β??1??1? ?0????1??,β2???的过渡矩阵为 . ?1??2?(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)? 6x0 0?x?y?1其它,则P{X?Y?1}? . (6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则?的置信度为0.95的置信区间是 .

(注:标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在(??,??)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有

(A)一个极小值点和两个极大值点

(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点

(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且lim??an?0,limn??bn?1,limn??cn??,则必有

n(A)an?bn对任意n成立 (B)bn?cn对任意n成立 (C)极限limancn不存在

(D)极限n??limbncn不存在

n??(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且limf(x,y)?xy

x?0,y?0(x2?y2)2?1,则(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点

(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点

(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点 (4)设向量组I:α1,α2,?,αr可由向量组II:β1,β2,?,βs线性表示,则 (A)当r?s时,向量组II必线性相关 (B)当r?s时,向量组II必线性相关 (C)当r?s时,向量组I必线性相关

(D)当r?s时,向量组I必线性相关

(5)设有齐次线性方程组Ax?0和Bx?0,其中A,B均为m?n矩阵,现有4个命题:

① 若Ax?0的解均是Bx?0的解,则秩(A)?秩(B)

② 若秩(A)?秩(B),则Ax?0的解均是Bx?0的解 ③ 若Ax?0与Bx?0同解,则秩(A)?秩(B) ④ 若秩(A)?秩(B), 则Ax?0与Bx?0同解

以上命题中正确的是

(A)①② (B)①③

(C)②④

(D)③④

(6)设随机变量X~t(n)(n?1),Y?1X2,则 (A)Y~?2(n) (B)Y~?2(n?1)

(C)Y~F(n,1)

(D)Y~F(1,n)

三、(本题满分10分)

过坐标原点作曲线y?lnx的切线,该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A.

(2)求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V.

四、(本题满分12分)

?将函数f(x)?arctan1?2x(?1)n1?2x展开成x的幂级数,并求级数?的和.

n?02n?1

五 、(本题满分10分)

已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??},L为D的正向边界.试证: (1)??xsinyLedy?ye?sinxdx???sinyLxe?dy?yesinxdx.

(2)??xesinydy?ye?sinx2Ldx?2?.

六 、(本题满分10分)

某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻

力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k.k?0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0?r?1).问

(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?

(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m表示长度单位米.)

七 、(本题满分12分)

设函数y?y(x)在(??,??)内具有二阶导数,且y??0,x?x(y)是y?y(x)的反函数.

(1)试将x?x(y)所满足的微分方程

d2xdx3dy2?(y?sinx)(dy)?0变换为y?y(x)满足的微分方程.

(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?32的解.

八 、(本题满分12分)

设函数f(x)连续且恒大于零,

???F(t)??(t)f(x?y?z)dv222??,G(t)?D(t)f(x?y)d?22??D(t)f(x?y)d?22?t,

f(x)dx2

?1其中?(t)?{(x,y,z)x2?y2?z2?t2},D(t)?{(x,y)x2?y2?t2}.

(1)讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2)证明当t?0时,F(t)?2?G(t).

九 、(本题满分10分)

?322??01设矩阵A???232??,P???10??223????00阵,E为3阶单位矩阵.

0?1?,B?P?1A*P,求B?2E的特征值与特征向量,其中A*?为A的伴随矩1??

十 、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1: ax?2by?3c?0, l2: bx?2cy?3a?0,

l3: cx?2ay?3b?0.

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.

十一 、(本题满分10分)

已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:

(1)乙箱中次品件数的数学期望.

(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

十二 、(本题满分8分) 设总体X的概率密度为

f(x)?

2e0?2(x??)

x??x?0

其中??0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记???min(X1,X2,?,Xn).

(1)求总体X的分布函数F(x). (2)求统计量??的分布函数F??(x).

(3)如果用??作为?的估计量,讨论它是否具有无偏性.

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则f(x)=__________ .

(3)设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分?Lxdy?2ydx的值为__________.

2(4)欧拉方程x2dydydx2?4xdx?2y?0(x?0)的通解为__________ .

?210?(5)设矩阵A???120??,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则??001??B=__________ . (6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?DX}= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

2(7)把x?0?时的无穷小量???x230costdt,???x0tantdt,???x0sintdt,使排在后面的是前一个的高阶

无穷小,则正确的排列次序是

(A)?,?,? (B)?,?,?

(C)?,?,?

(D)?,?,?

(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得

(A)f(x)在(0,?)内单调增加 (B)f(x)在(??,0)内单调减少

(C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)

(D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)

?(9)设?an为正项级数,下列结论中正确的是

n?1?(A)若limn??nan=0,则级数?an收敛

n?1?(B)若存在非零常数?,使得limn??nan??,则级数?an发散

n?1?(C)若级数?a2n收敛,则limnan?0

n?1n???(D)若级数?an发散, 则存在非零常数?,使得limn??nan??

n?1(10)设f(x)为连续函数,F(t)??tt1dy?f(x)dx,则F?(2)等于

y(A)2f(2)

(B)f(2) (C)?f(2)

(D) 0

(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?C的可逆矩阵Q为

?010??010?(A)??100??

(B)??101?? ??101????001???010??011?(C)??100??

(D)??100?? ??011????001??(12)设A,B为满足AB?O的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关

(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足P{X?u?}??,若

P{X?x}??,则x等于

(A)u?

(B)u

21??2(C)u1??

(D) u1??

2X且其方差为?2?0. 令Y?1n(14)设随机变量1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布,n?Xi,则

i?12(A)Cov(X1,Y)??n

(B)Cov(X21,Y)??

(C)D(X1?Y)?n?2n?2

(D)D(X1?Y)?n?1n?2

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)

设e?a?b?e2,证明ln2b?ln2a?4e2(b?a).

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)

(17)(本题满分12分)

计算曲面积分I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy,其中?是曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧.

?

(18)(本题满分11分)

?设有方程xn?nx?1?0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根x时,级数?x?n,并证明当??1n收敛.

n?1

(19)(本题满分12分)

设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值. (21)(本题满分9分)

?12?3?

(20)(本题满分9分)

设有齐次线性方程组

?(1?a)x1?x2???xn?0,??2x?1?(2?a)x2???2xn?0,?????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

(n?2),

设矩阵A????14?3??的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化. ??1a5??

(22)(本题满分9分)

设A,B为随机事件,且P(A)?114,P(B|A)?3,P(A|B)?12,令

X??1,A发生,?1,B发生,? ?0,A不发生; Y???0,B不发生.

求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布. (2)X和Y的相关系数?XY.

(23)(本题满分9分)

设总体X的分布函数为

1??1??,x?1, F(x,?)??xx?1,??0,其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,

求:(1)?的矩估计量. (2)?的最大似然估计量.

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) 2(1)曲线y?x2x?1的斜渐近线方程为 _____________.

(2)微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??19的解为____________.

(3)设函数u(x,y,z)?1?x2z26?y212?18,单位向量n??1{1,1,1},则

?u?n(1,2,3)=.________.

3(4)设?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域,?是?的整个边界的外侧,则

??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________.

?(5)设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵

A?(α1,α2,α3),B?(α1?α2?α3,α1?2α2?4α3,α1?3α2?9α3),

如果A?1,那么B? .

(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数,记为Y, 则P{Y?2}=____________.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数f(x)?limnn??1?x3n,则f(x)在(??,??)内

(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点

(D)至少有三个不可导点

(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,\M?N\表示\M的充分必要条件是N\则必有 (A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数?f(x)是周期函数

(D)F(x)是单调函数?f(x)是单调函数

(9)设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数,? 具有一阶导数,则必有

?2u?2u?2u2(A)?x2???y2 (B)?x2??u?y2

?2u22(C)

u?x?y???y2 (D)

?u?2u?x?y??x2

(10)设有三元方程xy?zlny?exz?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)

(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)

(11)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1?α2)线性无关的充分

必要条件是

(A)?1?0 (B)?2?0

(C)?1?0

(D)?2?0

(12)设A为n(n?2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则 (A)交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得B* (C)交换A*的第1列与第2列得?B*

(D)交换A*的第1行与第2行得?B*

(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立,则

(A)a?0.2,b?0.3 (B)a?0.4,b?0.1 (C)a?0.3,b?0.2

(D)a?0.1,b?0.4

(14)设XX2

1,2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S为样本方差,则

(A)nX~N(0,1)

(B)nS2~?2(n)

(n?1)XS(n?1) (D)(n?1)X2(C)~t1n~F(1,n?1)

?X2ii?2

三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(15)(本题满分11分) 设D?{(x,y)x2?y2?2,x?0,y?0},[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整数. 计算二重积分

xy[1?x2?y2]dxdy.

D

(16)(本题满分12分)

?求幂级数?(?1)n?1(1?1)x2n的收敛区间与和函数n?1n(2n?1)f(x).

(17)(本题满分11分)

如图,曲线C的方程为y?f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分?30(x2?x)f???(x)dx.

(18)(本题满分12分)

已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1. 证明: (1)存在??(0,1), 使得f(?)?1??.

(2)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1.

??(19)(本题满分12分)

设函数?(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分???(y)dx?2xydy的值恒

L2x2?y4为同一常数.

(1)证明:对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有???(y)dx?2xydy.

C2x2?y4?0(2)求函数?(y)的表达式.

(20)(本题满分9分)

已知二次型f(x22?2x21,x2,x3)?(1?a)x1?(1?a)x23?2(1?a)x1x2的秩为2.

(1)求a的值；

(2)求正交变换x?Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.

(21)(本题满分9分)

?1已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B???2??3组Ax?0的通解.

23?46??(k为常数),且AB?O,求线性方程6k??

(22)(本题满分9分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)?求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y). (2)Z?2X?Y的概率密度fZ(z).

0?x?1,0?y?2x0

其它

(23)(本题满分9分)

设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,记Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.求:(1)Yi的方差DYi,i?1,2,?,n. (2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

1

(10)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?y(x,y)?0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的12006年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)limxln(1?x)1?.

x?0?cosx(2)微分方程y??y(1?x)x的通解是 .

(3)设?是锥面z?x2?y2(0?z?1)的下侧,则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy? . ?(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z= .

(5)设矩阵A??21??2,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则B= . ??1??(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P?max{X,Y}?1?= . 二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处的增量,?y与dy分别为

f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则

(A)0?dx??y (B)0??y?dy (C)?y?dy?0

(D)dy??y?0

?(8)设f(x,y)为连续函数,则?410d??f(rcos?,rsin?)rdr等于

021?x22x2(A)?20dx?xf(x,y)dy (B)

?20dx?1?0f(x,y)dy

22(C)?21?y2

(C)0dy?yf(x,y)dx ?2?y20dy?10f(x,y)dx

?(9)若级数?an收敛,则级数

n?1??(A)?a

(B)?(?1)nn收敛

an收敛

n?1n?1??(C)?anan?1收敛

(D)?an?an?1n?1n?12收敛

一个极值点,下列选项正确的是

(A)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (B)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0

(D)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0

(11)设α1,α2,?,αs,均为n维列向量,A是m?n矩阵,下列选项正确的是

(A)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (B)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关

(C)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (D)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关.

?1(12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记P???0??0则

(A)C?P?1AP (B)C?PAP?1

(C)C?PTAP

(D)C?PAPT

(13)设A,B为随机事件,且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有

(A)P(A?B)?P(A) (B)P(A?B)?P(B)

(C)P(A?B)?P(A)

(D)P(A?B)?P(B)

(14)设随机变量X服从正态分布N(?221,?1),Y服从正态分布N(?2,?2),

且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则

(A)?1??2 (B)?1??2

(C)?1??2

(D)?1??2

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

10?10??,01??(15)(本题满分10分) 设区域D=??x,y?x2?y2?1,x?0?,计算二重积分I???1?xy2D1?x?y2dxdy.

(16)(本题满分12分)

设数列?xn?满足0?x1??,x??1?sinxn?n?1,2,...?. 求:(1)证明limxn存在,并求之.

x??1?x2n?1?x(2)计算limn????x?. xn?

(17)(本题满分12分)

将函数f?x??x2?x?x2展开成x的幂级数.

(18)(本题满分12分)

设函数f?u?在?0,???内具有二阶导数,且z?f?2x2?y2?满足等式?2z?x2??z?y2?0.

(1)验证f???u??f??u?u?0.

(2)若f?1??0,f??1??1,求函数f(u)的表达式.

(19)(本题满分12分)

设在上半平面D???x,y?y?0?内,数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的t?0都有 f?tx,ty??t2f?x,y?.

证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有??yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0.

L

(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组

?x1?x2?x3?x?4??1?4x1?3x2?5x3?x4??1 ??ax1?x2?3x3?bx4?1有3个线性无关的解,

(1)证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2. (2)求a,b的值及方程组的通解.

(21)(本题满分9分)

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量αT1???1,2,?1?,α2??0,?1,1?T是线性方程组Ax?0的两个解.

(1)求A的特征值与特征向量.

(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ?A.

(22)(本题满分9分)

?1?2,?1?x?0??12随机变量x的概率密度为fx?x???,0?x?2令y?x,F?x,y?为二维随机变量(X,Y)的分布函数.

?4?0,其它??(23)(本题满分9分)

?00?x?1设总体X的概率密度为F(X,0)? 1?? 1?x?2,其中?是未知参数(0???1),X1,X2...,Xn为来自总

其它体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求?的最大似然估计.

(1)求Y的概率密度fY?y?. (2)F????1?,4?. 2?

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)

(1)当x?0?时,与x等价的无穷小量是

(A)1?ex (B)ln1?x

1?x(C)1?x?1 (D)1?cosx

(2)曲线y?1?ln(1?exx),渐近线的条数为

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

(3)如图,连续函数y?f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是

直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)??x

0f(t)dt.则下列结论正确的是(A)F(3)??34F(?2)

(B)F(3)?54F(2) (C)F(3)?34F(2)

(D)F(3)??54F(?2)

(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是 (A)若limf(x)x存在,则f(0)?0 (B)若limf(x)?f(?x) 存在,则x?0x?0xf(0)?0 (C)若limf(x)x 存在,则f?(0)?0

(D)若limf(x)?f(?x)?0x 存在,则f?(0)?0

x?0x(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f\x)?0, 令un?f(n)?1,2,?,n,则下列结论正确的是 (A)若u1?u2,则{un}必收敛

(B)若u1?u2,则{un}必发散

(C)若u1?u2,则{un}必收敛

(D)若u1?u2,则{un}必发散

(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,?为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是

(A)??(x,y)dx

(B)

??f(x,y)dy

(C)??f(x,y)ds

(D)??f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy

(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (B)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1

(D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1

?2?1?1??100?(8)设矩阵A????12?1???,B??010???,则A与B ??1?12????000??(A)合同,且相似

(B)合同,但不相似

(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似

(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中

(A)3p(1?p)2 (B)6p(1?p)2

(C)3p2(1?p)2

(D)6p2(1?p)2

(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在

Y?y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为

(A)fX(x)

(B)fY(y)

(C)f (D)fX(x)X(x)fY(y) f

Y(y)

二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)

1(11)?211x3exdx=_______.

(12)设f(u,v)为二元可微函数,z?f(xy,yx),则

?z?x=______.

(13)二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e2x的通解为y=____________.

(14)设曲面?:|x|?|y|?|z|?1,则???(x?|y|)ds=_____________.

??0100??(15)设矩阵A??0010????0001?,则A3的秩为________. ?0000??(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于

12的概率为________.

三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算

目标的概率为

步骤)

(17)(本题满分11分)

求函数 f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值.

(18)(本题满分10分) 计算曲面积分I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中 ?为曲面z?1?x2?y2?4(0?z?1)的上侧.

(19)(本题满分11分)

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得 f??(?)?g??(?).

(20)(本题满分10分)

?设幂级数

?annx 在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足

n?0y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.

(1)证明:an?2?2n?1an,n?1,2,?.

(2)求y(x)的表达式.

(21)(本题满分11分)

设线性方程组

?x1?x2?x3?0??x1?2x2?ax3?0, ?x?4x?a2x?023?1(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2.α1?(1,?1,1)T是A的属于特征值?1的一个特征向量,记B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.

(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B.

x1?2x2?x3?a?1,

与方程

有公共解,求a的值及所有公共解.

(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?2?x?y,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??0,其他?(24)(本题满分11分)

设总体X的概率密度为

1??2?,0?x???1?f(x;?)??,??x?1

2(1??)??0,其他??X1,X2?,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值

(1)求P{X?2Y}.

(2)求Z?X?Y的概率密度.

(1)求参数?的矩估计量??.

(2)判断4X2是否为?2的无偏估计量,并说明理由.

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

2(1)设函数f(x)??x(x)的零点个数

0ln(2?t)dt则f?(A)0 (B)1

(C)2

(D)3

(2)函数f(x,y)?arctanxy在点(0,1)处的梯度等于

(A)i (B)-i

(C)j

(D)?j

(3)在下列微分方程中,以y?Cx1e?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是 (A)y????y???4y??4y?0 (B)y????y???4y??4y?0 (C)y????y???4y??4y?0

(D)y????y???4y??4y?0

(4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是 (A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛 (B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛 (C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛

(D)若?f(xn)?单调,则?xn?收敛

(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A3?0,则 (A)E?A不可逆,E?A不可逆

(B)E?A不可逆,E?A可逆

(C)E?A可逆,E?A可逆

(D)E?A可逆,E?A不可逆

?x?(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,z)A???y??1??z??在正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为

(A)0 (B)1 (C)2

(D)3

(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数为 (A)F2?x?

(B) F?x?F?y?

(C) 1??2?1?F?x???

(D) ??1?F?x?????1?F?y???

(8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则 (A)P?Y??2X?1??1 (B)P?Y?2X?1??1 (C)P?Y??2X?1??1

(D)P?Y?2X?1??1

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????. (10)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.

?(11)已知幂级数

?an?n?x?2?在x?0处收敛,在x??4处发散,则幂级数

?an?x?3?n的收敛域为

n?0n?0?????????????????.

(12)设曲面?是z?4?x2?y2的上侧,则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.

?(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1?0,Aα2?2α1?α2,则A的非零特征值为?????????????????.

(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P?X?EX2???????????????????.

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

求极限lim??sinx?sin?sinx???sinxx?0x4.

(16)(本题满分10分) 计算曲线积分?sin2xdx?2?x2?1?ydy,其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点??,0?的一段.

L

(17)(本题满分10分)

已知曲线C:??x2?y2?2z2?0x?y?3z?5,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.

?

(18)(本题满分10分) 设f?x?是连续函数, (1)利用定义证明函数F?x???x且F?0f?t?dt可导,?x??f?x?.

(2)当f?x?是以2为周期的周期函数时,证明函数G?x??2?xf(t)dt?x?2f(t)dt也是以2为周期的周期函数.

00

(19)(本题满分10分)

?f?x??1?x2(0?x??),用余弦级数展开,并求???1?n?1的和.

n?1n2

(20)(本题满分11分)

TTTTA?αα?ββ,α为α的转置,β为β的转置.证明:

(21)(本题满分11分)

?2a?2a设矩阵A?????12a???an2(1)r(A)?2.

(2)若α,β线性相关,则r(A)?2.

???,现矩阵A满足方程AX?B,其中X??x,?,x?T,B??1,0,?,0?,

1n1??2a?n?n(1)求证A??n?1?a.

(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1. (3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.

(22)(本题满分11分)

设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P?X??i??1fY?y????00?y?1,记Z?X?Y,

其它13(23)(本题满分11分)

?i?1?,0?,1,Y的概率密度为

设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?2)的简单随机样本. 记X?1n?ni?1Xi,S?2?n?1i?11n2(Xi?X),T?X2?1nS

2?1?(1)求P?Z?X?0?.

2?? (1)证明T是?2的无偏估计量.

(2)当??0,??1时 ,求DT.

(2)求Z的概率密度.

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?等价无穷小,则

(A)a?1,b??16

(B)a?1,b?16

(C)a??1,b??16

(D)a??1,b?16

(2)如图,正方形??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为四个区域Dk?k?1,2,3,4?,Ik???ycosxdxdy,则max1?k?4?Ik??

Dk

(A)I1 (B)I2 (C)I3

(D)I4

(3)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为

f(x) O -2 0 -1 1 2 3 x

则函数F?x???x0f?t?dt的图形为

f(x) f(x) 1 1 -2 0 1 2 3 x

-2 0 1 2 3 x

(A) -1

(B)

-1

f(x) f(x) 1 1 -1 0 1 2 3 x

-2 0 1 2 3 x

(C)

(D)

-1

(4)设有两个数列?an?,?bn?,若nlim??an?0,则

????(A)当?bn收敛时,?anbn收敛.

(B)当?bn发散时,?anbn发散.

n?1n?1n?1n?1???? (C)当?b2b2n收敛时,?ann收敛.

(D)当?ba22n发散时,?nbn发散.

n?1n?1n?1n?1(5)设α11,α2,α3是3维向量空间R3的一组基,则由基α1,2α2,13α3到基α1?α2,α2?α3,α3?α1的过渡矩阵为

?101??120?(A)??220?3???

(B)??02?

?033????103???111???24??16???11?22?(C)?11??2????1?246?

(D)?11??44?1?4? ?11???1??11???246????1?666??(6)设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若A?2,B?3,则分块矩阵?OA???BO?的伴随矩阵?为

(A)??O3B*?(B)??2A*O?

???O2B*

?3A*O? ?(C)??O3A*?

(D)??2B*O? ??O2A*??3B*O? ?(7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7???x?1?2?,其中??x??为标准正态分布函数,则EX? ?(A)0 (B)0.3

(C)0.7

(D)1

(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N?0,1?,Y的概率分布为P?Y?0??P?Y?1??12,

记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数,则函数FZ?z?的间断点个数为

(A)0 (B)1

(C)2

(D)3

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) 2(9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,z?f?x,xy?,则

?z?x?y? .

(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??Cx1?C2x?e,则非齐次方程y???ay??by?满足条件xy?0??2,y??0??0的解为y? . (11)已知曲线L:y?x2?0?x?2?,则?Lxds? .

(12)设????x,y,z?x2?y2?z2?1?,则???z2dxdydz? . ?(13)若3维列向量α,β满足αTβ?2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为 . (14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S2分别为样本均值和样本方差.若

X?kS2为np2的无偏估计量,则k? .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分9分)

求二元函数f(x,y)?x2?2?y2??ylny的极值.

(16)(本题满分9分) ??设a?1n为曲线y?xn与y?xn?n?1,2,.....?所围成区域的面积,记S1??an,S2??a2n?1,求S1与S2的值.

n?1n?1

(17)(本题满分11分) 椭球面Sx2221是椭圆4?y3?1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆

x4?y23?1相切的直线绕x轴旋转而成.

(1)求S1及S2的方程.

(2)求S1与S2之间的立体体积.

(18)(本题满分11分)

(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在???a,b?,使得f(20)(本题满分11分) ?1?设A??1??0??11?4?1???1????1,ξ1?1

???????2???2??b??f?a???f????b?a?.

(2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且limf??x??A,则f???0?存在,且f???0??A.

(1)求满足Aξ?ξ的ξ.A2ξ?ξ的所有向量ξ,ξ.

(19)(本题满分10分) 计算曲面积分I?ydzdx?zdxdy3,其中????xdydz???x2?y2?z2?2

x?0?是曲面2x2?2y2?z2?4的外侧.

2123123(2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关.

(21)(本题满分11分)

设二次型f?x1,x2,x3??ax2221?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3.

(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;

(2)若二次型f的规范形为y221?y2,求a的值.

(22)(本题满分11分)

袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

(1)求p?X?1Z?0?.

(2)求二维随机变量?X,Y?概率分布.

(23)(本题满分11 分)

??2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未知,X1,X2,…Xn是来自总体X的简单

?0,其他随机样本.

(1)求参数?的矩估计量.

(2)求参数?的最大似然估计量.

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

?x2?x(1)极限limx????(x?a)(x?b)?= ?(A)1 (B)e

(C)ea?b

(D)eb?a

(2)设函数z?z(x,y)由方程F(yx,zx)?0确定,其中F为可微函数,且F?z?z2??0,则x?x?y?y= (A)x (B)z (C)?x

(D)?z

1mln2(3)设m,n为正整数,则反常积分?(1?x)0n的收敛性

xdx(A)仅与m取值有关 (B)仅与n取值有关

(C)与m,n取值都有关

(D)与m,n取值都无关

nn(4)lim2?j2)=

x????ni?1j?1(n?i)(n(A)?1x10(1?x)(1?y2)dy

(B)

0dx??10dx?x10(1?x)(1?y)dy

(C)?111

(D)10dx?0(1?x)(1?y)dy ?110dx?0(1?x)(1?y2)dy

(5)设A为m?n型矩阵,B为n?m型矩阵,若AB?E,则 (A)秩(A)?m,秩(B)?m (B)秩(A)?m,秩(B)?n

(C)秩(A)?n,秩(B)?m

(D)秩(A)?n,秩(B)?n

(6)设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于 ?1??1??1???(A)???1?

(B)?1????1?

?0????0???1???1???(C)??1???1????

(D)??? ??1 ?0????1?0??0 x?0(7)设随机变量X的分布函数F(x)?

1则2 0?x?1,P{X?1}=

1?e?x x?2(A)0

(B)1

(C)12?e?1

(D)1?e?1

(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,

f(x)?

af1(x)bf

x?02(x)x?0 (a?0,b?0)

为概率密度,则a,b应满足

(A)2a?3b?4 (B)3a?2b?4

(C)a?b?1

(D)a?b?2

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

2(9)设x?e?t,y??t .

0ln(1?u2)du,求

dydx2= t?0(10)??20xcosxdy= .

(11)已知曲线L的方程为y?1?x{x?[?1,1]},起点是(?1,0),终点是(1,0), 则曲线积分?xydx?x2Ldy= .

(12)设??{(x,y,z)|x2?y2?z?1},则?的形心的竖坐标z= .

(13)设α(1,2,?1,0)T,α?(1,1,0,2)T,αT1?23?(2,1,1,?),若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则

?= .

(14)设随机变量X概率分布为P{X?k}?Ck!(k?0,1,2,?),则EX2= .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)

求微分方程y???3y??2y?2xex的通解.

(16)(本题满分10分) 求函数f(x)??x2t)e?t21(x?dt的单调区间与极值.

(17)(本题满分10分)

(1)比较?1lnt[ln(1?t)]ndt与?1tnlntdt(n?1,2,?)的大小,说明理由.

00(2)记un??10lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,?),求极限limx??un.

(18)(本题满分10分)

?求幂级数?(?1)n?1nn?12n?1x2的收敛域及和函数.

(19)(本题满分10分)

设P为椭球面S:x2?y2?z2?yz?1上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹C,并计算曲面

(x?2(20)(本题满分11分) ???设A?0??1?11??a????0,b?1,已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解. ?????1???????11积分I?

???3)y?2z2dS,其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分.

4?y?z?4yz(1)求?,a.

(2)求方程组Ax?b的通解.

(21)(本题满分11分)

设二次型f(xTAx在正交变换x?Qy下的标准形为y222T1,x2,x3)?x1?y2,且Q的第三列为(2,0,22).

(1)求A.

(2)证明A?E为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.

(22)(本题满分11分)

设二维随机变量(X?Y)的概率密度为f(x,y)?Ae?2x2?2xy?y2,???x??,???y??,求常数及A条件概率密

度fY|X(y|x).

(23)(本题满分11 分)

设总体X的概率分布为

X 1 2 3 P 1?? ???2 ?2 其中??(0,1)未知,以Ni来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i?1,2,3),试求常数

3a1,a2,a3,使T??aiNi为?的无偏估计量,并求T的方差.

i?1

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