解直角三角形在实际问题中的运用易错点剖析

三角函数的应用常见错误示例

一、例1 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大为原来的2倍，则锐角A的正切值（ ）

A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 错解： 选A.

错解分析： 该题选A是对锐角三角函数的定义不理解所致，根据锐角三角函数的定义可知应选D.可画出草图，结合图形分析.要明白三角函数的本质只是一个比值.

正解：D.

二、例2 在△ABC中，若sinA=,且a=4,能否求出b,c的值？ 错解： ∵sinA==,∴=,∴c=6 由勾股定理，得

b=c2?a2=36?16=20=25

错解分析： 对锐角三角函数的适用条件没有认真思考，△ABC并没有说是直角三角形所以不能当做是直角三角形来求.

正解：不能，因为△ABC不一定是直角三角形.

三、例3 在△ABC中，∠B=90°，BC=3,AB=5，求tanA，cosA的值. 错解： 在Rt△ABC中，AC=AB2?BC2=52?32=4. tanA=

BC3AC4=,cosA==. AC4AB5ac234c2323错解分析： 题中已指出∠B=90°，所以AC应为Rt△ABC的斜边，而上述解法是从印象出发，误以为∠C的对边AB是斜边，因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边.

正解：在Rt△ABC中，∠B=90°，

1

AC=AB2?BC2=25?9=34. tanA=cos=

BC3=, AB5AB5534==. AC3434四、例4 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，求sinA，tanA的值. 错解： 在Rt△ABC中， ∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠B=30°∴∠A=90°-∠B=60°. ∴sinA=sin60°=

3, 212tanA=tan60°=3.

错解分析：本题错误地认为，直角三角形中，一条直角边等于另一条边的一半，那么这条边所对的角就是30°，没有分清斜边和直角边.

正解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB=AC2?BC2=12?22=5. ∴sinA=tanA=

BC225==. AB55BC2==2. AC1五、例5 如图，飞机于空中A处，测得地面目标B处的俯角为α，此时飞机高度AC为a米，则BC的距离为（ ）米

D

α A

B C

2

aaa

A.a tanα B. C. D.

tan?cos?sin?错解：选A.在Rt△ABC中，∠BAC=α,AC=a, ∴

BC=tanα, ∴BC=AC·tanα=atanα AC错解分析： 本题的错误在于没弄清俯角的定义，俯角是从上往下看时，视线与水平线的夹角，所以∠DAB=α,而不是∠BAC=α， 正解：选B. ∵飞机在A处目测B的俯角为α，∴∠ABC=α 又∵在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=a,

AC, BCACa=∴BC=

tan?ABCtan?∴tan∠ABC=

六、 例6 已知0°＜α＜30°,求cosα的取值范围（ ） A.0＜cosα＜ B. ＜cosα＜C. D.

12122 223＜cosα＜ 223＜cosα＜1 2错解：选A.

错解分析： 误将余弦函数当成正弦函数来求解，余弦函数的函数值是随着锐角度数的增大而减小，而正弦函数的函数值才是随着锐角度数的增大而增大.另外容易记错特殊角度的函数值也是这种题型的易错点之一，大家在解

3

题过程中要注意多加体会！ 正解：选D.

七、概念不清出错

例7 如图，直升机在长江大桥AB上方P点处，此时飞机离地面高度为a cm,且A,B,O三点在一条直线上，测得点A俯角为α,点B的俯角为β，求长江大桥AB的长度. 错解： 在Rt△AOP中，tan∠APO=∴ OA=OP×tanα. 在Rt△BPO中，∠BPO=β. ∵tan∠BPO=

OB, OPOA，∠APO=α, OPa O B

A

P

C

∴OB=OP·tan∠BPO.

∴AB=OA-OB=OP(tanα-tanβ)=a(tanα-tanβ).

错解分析：把从P点观测A点的俯角误认为∠APO，从P点观测B点的俯角误认为∠BPO，只有弄清俯角概念才能避免该错误. 正解：根据题意，得 ∠CPA=α，∠BPC=β, ∴∠PAO=α，∠PBO=β. 在Rt△POA中， ∵cot∠PAO=

OA， OP∴OA=OP·cotα.在Rt△POB中， ∵cot∠PBO=

OB， OP4

∴OB=OP·cotβ.

∴AB=OA-OB=OP·cotα-OP·cotβ=OP(cotα-cotβ)=a(cotα-cotβ). 八、忽略直角三角形出错

例8 在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边为a,b,c,且a:b:c=3:4:5,求证sinA+sinB=.

错解：设a=3k,b=4k,c=5k,

3k3b4k4=, sinB===, 5k5c5k5347∴sinA+sinB=+=.

55575则sinA==

ac错解分析：本题中没有说明∠C=90°，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先证明△ABC为直角三角形，且∠C=90°后才能用定义. 正解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0), ∵a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2=c2, ∴△ABC是以c为斜边的直角三角形. ∴∠C=90°.

3k3b4k4=, sinB===, 5k5c5k5347∴sinA+sinB=+=.

555则sinA==

ac

5

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