《电磁场理论》练习题与参考答案（最新版）

·1· 《电磁场理论》练习题

第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律 ?1. 设：直角坐标系中，标量场u?xy?yz?zx的梯度为A，则M（1，1，1）处

?????2e?2e?2exyzA= ，??A? 0 。

??2?x(y?z)?e?y4xy?e?zxz，2. 已知矢量场A?e则在M（1，1，1）处??A? 9 。

?3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量

????A及 散度 ??A的 旋度 。

4. 任一矢量场在无限大空间不可能既是 无源场 又是 无旋场 ，但在 局部空间 可以有 ?? A ? 0 以及 ?? A ? 0 。

?????5. 写出线性和各项同性介质中场量D、E、B、H、J所满足的方程（结构方

??????程）： D ? ? E , B ? ? H , J ? ? E 。

????q??J?dS????J??6. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为 ? S t 。 ? t 和 ???7. 设理想导体的表面A的电场强度为E、磁场强度为B，则

??（a）E、B皆与A垂直。

??（b）E与A垂直，B与A平行。 ??（c）E与A平行，B与A垂直。

?? （d）E 、B皆与A平行。 答案：B

8. 两种不同的理想介质的交界面上，

（A）E1?E2 , H1?H2 （B）E1n?E2n , H1n?H2n (C) E1t?E2t , H1t?H2t (D) E1t?E2t , H1n?H2n

答案：C

??yE0sin(ωt?βz) (V/m)，其中E0、ω、β为常数。则9. 设自由真空区域电场强度E?e空间位移电流密度Jd（A/m2）为：

?·2· 《电磁场理论》练习题

?yE0cos(ωt?βz) （b）e?yωE0cos(ωt?βz) （a）e?yβE0cos(ωt?βz) 答案：C ?yω?0E0cos(ωt?βz) （d）?e（c）e??x?x?0cos (V/m)，其中10. 已知无限大空间的相对介电常数为?r?4，电场强度E?e2d?0、d为常数。则x?d处电荷体密度?为：

（a）?4??04??0?02??02??0?0 （b）? （c）? （d）? 答案：d dddd11. 已知半径为R0球面内外为真空，电场强度分布为

?2?rcos??e??sin?) (?e(r?R0)???R E??0?B(e?r2cos??e??sin?) (r?R0) 3??r 求（1）常数B；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。

Sol. (1) 球面上

由边界条件 E1t?E2t得：

2B2 sin??3sin? ?B?2R0R0R0（2）由边界条件D1n?D2n??s得：

?s??0(E1n?E2n)??0(E1r?E2r)?? （3）由??D??得：

?(r?R0)1?(r2Er)1?(E?sin?)?0 ???0??E??02 ??0??0 (r?R) ?rrsin???r0?

即空间电荷只分布在球面上。

6?0cos? R012. 已知半径为R0、磁导率为??的球体，其内外磁场强度分布为

?rcos??e??sin?) 2(e(r?R0)??? H??A?r2cos??e??sin?) (r?R0) (e?3?r

且球外为真空。求（1）常数A；（2）球面上的面电流密度JS 大小。

Sol. 球面上（r=R0）：Hr为法向分量；H?为法向分量

（1）球面上由边界条件B1n?B2n得：?H1r??0H2r?A?（2）球面上由边界条件H1t?H2t?Js得

?3R0 ?0Js?(H1??H2?)|r?R0??(2??)sin??0·3· 《电磁场理论》练习题

第3章 静电场及其边值问题的解法 1. 静电场中电位??与电场强度E的关系为 E ? ?? ? ；在两种不同的电介质（介电常数

???1????22分别为ε1和ε2）的分界面上，电位满足的边界条件为 ? n ? n 。

?1??2 ； ?12. 若无限大真空中静电场的电位分布为?(r)，则空间电荷分布为 ? ? ? ? 0 ? ? 。

2?3. 设无限大真空区域自由电荷体密度为ρ，则静电场：??E? 0 ，

???E= ??????? 。

?????2E? ?2??? 4. 电位? 和电场强度E满足的泊松方程分别为 ? 、 ? 。 w5. 介电常数为? 的线性、各向同性的媒质中的静电场储能密度为 m ? ? E 。

6. 对于两种不同电介质的分界面，电场强度的 切向 分量及电位移的 法向 分量总是

连续的。

7. 理想导体与电介质的界面上，表面自由电荷面密度?s与电位沿其法向的方向导数

122?????关系为 ? n s 。

??8. 如图，E1、E2分别为两种电介质内静电场在界面上的电场强度，?????????，?????30°，

???的?n??则??????????60°??????????，|E1||E2|? 3 。

?E1yε1ε2θ1b??0??0?θ2E2?0??0??U0oax

（第8题图） （第9题图）

9. 尺寸为a?b、横截面为矩形的无限长金属槽各边电位分布如图，内部真空、无电荷分

(x,0)b ) ?布，则齐次边界条件为 ? ? ? ( x , 0 (0 ? x ? a )，若应用分离变量法，则通解

n?x?n?xb 中与坐标x有关的函数为 A e b ? B e

，与坐标y有关的函数为

n?yn?y?Bsin b b

Acos·4· 《电磁场理论》练习题

10. 如图，两块位于x = 0 和 x = d处无限大导体平板的电位分别为0、U0，其内部充满体

密度???????????e x?d ) 的电荷（设内部介电常数为??）。（1）利用直接积分法计算0 < x < d

?区域的电位??及电场强度E；（2）x = 0处导体平板的表面电荷密度。

Sol. 为一维边值问题：???(x)

?1?0?2?U0??d2????? ?2??0(1?ex?d)

??0dx边界条件：?(x?0)?0， ?(x?d)?U0

2odx（1）直接积分得：

?0x?dx2U??(x)?(e??e?d)?[0?0(1?d2?e?d)]x?02d?0d

??U?d??x?x[0(ex?d?x)?0?0(1?d2?e?d)] E(x)??????e??edx?0d?0d?????????s得：?s???0（2）由? ???0??0E(x)x?0 ?n?n?xx?0

?0U01?d21???0[??e?d(1?)]

?0ddd11. 如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而

顶盖的电位为V0 。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。 Sol. （略）见教材第82页例3.6.1

12. 如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d处有一个点

电荷q0 。利用镜像法求z轴上z > a各点的电位分布。 Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于：

无限大接地导体平面 + 接地导体球

边界条件：?平面??球面?0

z d q0使?平面?0，引入镜像电荷：z???d,q???q0 使?球面?0，引入镜像电荷：

?a2az?,q??q01?1dd? ?22?z??a??a,q??aq??aq220?|z?|d|z?|d?z轴上z > a各点的电位：

q1q21?q0q?? ???????

4??0?|z?d|z?z1z?z2z?d??z1q1loz2q2az?q?x

·5· 《电磁场理论》练习题

q0 ?4??0?12a31????? 224|z?d|z?dzd?a??13. 已知接地导体球半径为R0 ，在x轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q、-q ，

位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x轴上x>2R0各点的电场强度。 Sol. (1) 引入两个镜像电荷：

14. 已知一半径为a的金属球电位为V，在距其球心d处放置一点电荷q，试用镜像法确

定镜像电荷，并写出球外空间任一点的电位?的表示式。

20q1??R0qRRq??，x1??0 2R022R02q2?qR0q1?qxx2ox12R0RR0qq2??(?q)?，x2????0

2R022R02R0R0（2）?(x,y,z)?

14??0?qq1q2q???R?R?R?R????（略）

12??R?(x?2R0)2?y2?z2， R1?(x?R0/2)2?y2?z2

R2?(x?R0/2)2?y2?z2，R??(x?2R0)2?y2?z2

（3）x轴上x>2R0各点的电场强度：

???q?q/2q/2q? E?ex????2222?(x?R0/2)(x?R0/2)(x?2R0)??(x?2R0)ya2a

Sol. 镜像电荷q1：在oq连线上距离o为，电量为?q

dd

镜像电荷q2：在球心处，电量为4??0aV 建立坐标系如图所示，则球外空间任一点的电位为：

aVoq2q1dqx1?qq1q2?q?1a?a?(x,y,z)??????4???RRd??RV 4??0?RRR?12?0?1?2222z（第14题图）

a2222222其中R?(x?d)?y?z，R1?(x?)?y?z，R2?x?y?z

d

15. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，在其平分线上放置一点电荷q，求

（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。

·6· 《电磁场理论》练习题

Sol. （1）q1??q0，(?a, 0, 0)

q2??q0，(0, ?a, 0) q3??q0，(a, 0, 0)

y 1 （2）?(x,y,z)?4??0

?q0q1q2q3???R?R?R?R??

123??0 ?（略） 其中：

q0 P?0,a,0? 45 45 (a, 0, 0)x(?a, 0, 0)q1R0?x?(y?a)?z

222q3R1?(x?a)2?y2?z2 R2?x?(y?a)?z

222q2(0,?a, 0)R3?(x?a)2?y2?z2

·7· 《电磁场理论》练习题

第4章 恒定电场与恒定磁场

1. 线性和各项同性的均匀导电媒质内部电荷体密度等于 0 ，净余电荷只能分布

在该导电媒质的 表面 上。

??2. 线性和各项同性的均匀导电媒质中，??J? 0 ；??D? 0 。

3. 在电导率不同的导电媒质分界面上，电场强度E和电流密度J的边界条件

??J 2 n 。 为： E 1 t ? E 2 t 、 J 1 n ?

4. 在电导率为??的导电媒质中，功率损耗密度pc与电场强度大小E的关系为 p c ? ? E 。

2?????B???A5. 恒定磁场的矢量磁位A与磁感应强度B的关系为 ；A所满足的泊松方程

??2为 ? A ? ? μ J 。

6. 对线性和各项同性磁介质（磁导率设为??），恒定磁场（磁场强度大小为H ）的磁能密

1212?HdV?H度wm? ，V空间磁能Wm = ? 2 。

2V??22?xxy?e?yyx?e?zCxyz，C为常数，且A7. 已知恒定电流分布空间的矢量磁位为：A?e??满足库仑规范。求（1）常数C ；（2）电流密度J；（3）磁感应强度B。

?ay?ax?ax?az?az?ay??x(?y(?z( （直角坐标系中：??a?e?)?e?)?e?) ）

?y?z?z?x?x?y??Ax?Ay?AzSol. (1) 库仑规范：??A?0????2xy?2xy?Cxy?0?C??4

?x?y?z????xx2y?e?yy2x?e?z4xyz得： (2) 由?2A??μJ，A?e????2222???A1?A?A?A?1??x2y?e?y2x? ?eJ?????????222??????x??y?z????x4xz?e?y4yz?e?z(y2?x2) (3) B???A??e8. 已知半径为a的无限长直柱形导体（???0）的外部为真空，其内外磁位分布为：

?ez[?0J0?2?C1ln?] (??a)，其中J0为常数，?0为真空磁导率，C1、C2为A???ezC2ln? (??a)待定常数。求：（1）C1、C2；（2）H；（3）J 。

Sol. （1）柱体内外磁场强度分布为：

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