第6.3节_正定矩阵

微积分 线性代数

第三节

微积分 线性代数

一、基本概念定义 设 A 为实对称矩阵，相应实二次型 f ( x) = xT Ax, 为实对称矩阵， 对任意非零向量 x = ( x1 , x2 ,L, xn )T (≠ O), 若恒有 f ( x) > 0,正定二次型， 称为正定矩阵 正定矩阵. 则称 f (x) 是正定二次型，A 称为正定矩阵.

负定二次型， 注：(1)若恒有 f ( x ) < 0 ,则称 f (x) 是负定二次型， (1)若恒有

A 称为负定矩阵； 称为负定矩阵 负定矩阵； 半正定二次型， (2)若恒有 f ( x ) ≥ 0 ,则称 f (x) 是半正定二次型，A称为半正定矩阵； 称为半正定矩阵； 半正定矩阵

半负定二次型， (3)若恒有 f ( x ) ≤ 0 ,则称 f (x) 是半负定二次型，

A 称为半负定矩阵. 称为半负定矩阵 半负定矩阵.(4)如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型. (4)如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型. 如果二次型的取值有正有负 不定二次型 2

微积分 线性代数

二、正定矩阵、正定二次型的判别 正定矩阵、由定义，可得以下两个结论： 由定义，可得以下两个结论：( 1)二次型 f ( y1 , y2 ,L, yn ) = d1 y1 + d2 y2 + L+ dn yn2 2 2

正定的充分必要条件是 d i > 0 .

充分性是显然的；下面用反证法证必要性： 充分性是显然的；下面用反证法证必要性：

假设某个 d k ≤ 0 , yk = 1 ,其余 y j = 0 ( j ≠ k ) , 取代入二次型， 代入二次型，得 f ( 0, L ,1, L ,0) = d k ≤ 0 ,与二次型

f ( y1 , y2 ,L, yn ) 正定矛盾. 正定矛盾.3

微积分 线性代数

(1)二次型 f ( y1 , y2 ,L, yn ) = d1 y1 + d2 y2 +L+ dn yn 正定2 2 2

的充分必要条件是 d i > 0 .若正定， (2) 二次型 x Ax 若正定，经过可逆线性替换 x = Cy ,T

其正定性保持不变. 化为 y ( C AC ) y ,其正定性保持不变.

T

T

是可逆矩阵， 这是因为 C 是可逆矩阵，只要 y ≠ o ,就有 x ≠ o ,于是 xT Ax > 0 , 即 y ( C AC ) y > 0 .T T

由替换的可逆性， 正定， 由替换的可逆性，若 y ( C AC ) y 正定，也可推出 正定. x Ax 正定.T

T

T

由上述两个结论可知，研究二次型的正定性， 由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只 要通过非退化线性替 将其化为标准形， 要通过非退化线性替换，将其化为标准形，就容易由 以下定理判别其正定性. 以下定理判别其正定性.4

微积分 线性代数

定理 n元实二次型 f = x T Ax 正定的充分必要条件是它 元实二次型 系数全都大于零, 的标准形的 n 个系数全都大于零,即 2 2 2 f = d1 y1 + d2 y2 +L+ dn yn ,且 di > 0 . 推论1 元实二次型 推论 n元实二次型 f = x T Ax 正定的充分必要条件是 它的正惯性指数等于 它的正惯性指数等于 n..

推论2 元实二次型 推论 n元实二次型 f = x T Ax 正定的充分必要条件是 2 2 2 它的规范为 它的规范为 f = z1 + z2 + L+ zn . 准则1 实对称矩阵A正定的充分必要条件是 正定

的充分必要条件是A的特 准则 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 的特 征值全为正 全为正. 征值全为正.5

微积分 线性代数

例1 判别二次型2 2 2 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x1 x 2 2 x 2 x 3

是否正定. 是否正定 解 二次型对应的矩阵为

1 1 0 A = 1 2 1 , 0 1 3

λ 1|λE A|= 1 0

1 0 λ 2 1 1 λ 3

微积分 线性代数

λ 1|λE A|= 1 0

1 0 λ 2 1 1 λ 3

λ 2 1 0 c1 c2 c3 2 λ λ 2 1 = (λ 2)(λ2 4λ + 1) , 2 λ 1 λ 3求得 A 的特征值为 2, 2 ± 3 ,全为正， 因此二次型正定. 全为正， 因此二次型正定.7

微积分 线性代数

定义 设 A = (aij ) nn , A的k 阶 顺序主子式 的 是指行列式a11 a 21 | Ak | = L ak 1 a12 a 22 L ak 2 L a1 k L a2k , k = 1,2, L , n. L L L a kk

准则2 准则 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是

A 的顺序主子式全大于零. 的顺序主子式全大于零.证略. 证略.8

微积分 线性代数

例2 判别二次型2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 5 x 3 + 4 x1 x 2 4 x 1 x 3 2 x 2 x 3

是否正定. 是否正定 解 二次型对应的矩阵为 它的顺序主子式为： 它的顺序主子式为：

2 2 5 A= 2 5 1 , 2 1 5

| A1 | = 5 > 0 ,

5 2 | A2 | = = 21 > 0 , 2 52是正定的， 因此 A是正定的， 是正定的 正定. 即二次型 f 正定.9

2 | A3 | = 2 5 1 = 88 > 0 , 2 1 5 5

微积分 线性代数

例3 设有实二次型2 2 f = x12 + 4 x 2 + 4 x 3 + tx1 x 2 2 x1 x 3 + 4 x 2 x 3

取何值时，该二次型为正定二次型？ 问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？

t 1 1 2 解 t 4 2 , f 的矩阵为 A = 2 1 2 4 1 顺序主子式为： 顺序主子式为：| A1 | = 1 > 0 , | A | = 2 t | A3 | = | A | = ( t 2)( t + 4) > 0 , 2 解得 4 < t < 2 .

t 2 = 4 1 t2 > 0 , 4 410

微积分 线性代数

三、正定矩阵的性质正定矩阵 矩阵， 的行列式为正 因而可逆. 为正， 1.若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可逆.

因 | A | = λ1λ 2 L λ n > 0.都是正定阵, 正定矩阵 矩阵, 2.若 A 为正定矩阵,则 AT , A 1 , A , A k 都是正定阵, 其中 k 为正整数. 为正整数. 这是因为： 这是因为：有相同的特征值； 矩阵 A 与它的转置 AT 有相同的特征值；

1 | A| k k ; λ(A ) = λ(A ) = ; λ ( A ) = [λ ( A)] . λ ( A) λ ( A) 111

微积分 线性代数

正定矩阵 矩阵， 的主对角元全为正. 3.若 A 为正定矩阵，则 A 的主对角元全为正.T 因为 f ( x ) = x Ax = 证

∑∑ai =1 j = 1

n

n

ij

正定， x i x j 正定，

取

x ( i ) = ( 0 ,L ,1 ,L ,0 ) ,则有T

f ( x( i ) ) = aii > 0, (i = 0,1,L.n ) .正定矩阵 矩阵， 也为正定 4.若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B ,hA(h>0)也为正定 也为 矩阵. 矩阵. 对任意非零向量x 证 对任意非零向量 ，有 T x ( A + B ) x = x T Ax + x T Bx > 0 ;

x

T ( hA ) x = hx T Ax > 0.12

微积分 线性代数

5.实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可 实对称矩阵 为正定矩阵的充分必要条件是存在可 逆矩阵P, 逆矩阵 ，使得 A = P T P . 实际上， 实际上，正定二次型的规范形为2 2 2 z1 + z 2 + L + z n ,

即A正定的充分必要条件是 合同于单位矩阵 ， 正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵 正定的充分必要条件是 合同于单位矩阵E 即存在可逆矩阵P 即存在可逆矩阵 ，使

A = P T EP = P T P .

微积分 线性代数

6.设 矩阵， 6.设 A 为 m × n 矩阵， A 的秩 r ( A) = n , A A 为 且 则 正定矩阵. 正定矩阵.T

证

因为 ( A A) = A A , 故 A A 是 n 阶对称矩阵. 阶对称矩阵.T T

T

T

仅有零解， 又 r ( A) = n ,可知齐次线性方程组 Ax = o 仅有零解，

所以对任意 x ≠ o ,必有 Ax ≠ o , 于是

x T ( AT A ) x = ( Ax )T ( Ax ) > 0 ,

为正定二次型， 即二次型 x ( A A ) x 为正定二次型，即矩阵

T

T

AT A 为正定矩阵. 为正定矩阵.14

微积分 线性代数

类似结论有： 类似结论有：阶可逆矩阵, 为正定矩阵. 设 A 为 n 阶可逆矩阵,则 A A, AA 为正定矩阵.T T

阶正定矩阵, 设 A 为 n 阶正定矩阵,P 为 n× m 矩阵,且 r(P) = m < n , × 矩阵, 为正定矩阵. 则 P AP为正定矩阵.T

显然， 是负定 是负定( 的当且仅当- 是正 显然，A是负定(半负定 )的当且仅当-A是正 半正定) 由此，容易得出以下结论： 定(半正定)的.由此，容易得出以下结论： 半正定的充分必要条件是 的特征值非 (1)A半正定的充分必要条件是 的特征值非负； 半正定的充分必要条件是A的特征值

微积分 线性代数

显然， 是负定 是负定( 的当且仅当- 是正定 显然，A是负定(半负定 )的当且仅当-A是正定 半正定) 由此，容易得出以下结论： (半正定)的.由此，容易得出以下结论： 半正定的充分必要条件是 的特征值非 (1)A半正定的充分必要条件是 的特征值非负； 半正定的充分必要条件是A的特征值 负定的充分必要条件是A的特征值全负 (2)A负定的充分必要条件是 的特征值全负； 负定的充分必要条件是 的特征值全负； 半负定的充分必要条件是A的特征值非正 (3)A半负定的充分必要条件是 的特征值非正； 半负定的充分必要条件是 的特征值非正； (4)A负定的充分必要条件是 的奇数阶顺序主子 负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子 负定的充分必要条件是 式全为负而偶数阶顺序主子式全为正； 式全为负而偶数阶顺序主子式全为正； 负定， 的对角元全为负. (5)若A负定，则A的对角元全为负. 负定 的对角元全为负 注意: .最后一条只是必要条件. 注意: 1.最后一条只是必要条件. 2.A的顺序主子式全非负,A也未必是半正定的. . 的顺序主子式全非负 也未必是半正

定 的顺序主子式全非 也未必是半正定的16

微积分 线性代数

* 例4

设矩阵

1 1 0 A = 1 1 0 , 0 0 1 显然A的 显然 的顺序主子式

| A1 | = 1 > 0 , | A2 | =

1 1

1 1

0

= 0 , | A3 | = 1 1 0 = 0 , 1 1 0 0 1

但对角元有正有负，显然 是不定的 是不定的. 但对角元有正有负，显然A是不定的.17

微积分 线性代数

*例5 判定下列二次型是否为有定二次型. 判定下列二次型是否为有定二次型.2 2 2 (1) f = 2 x1 6 x 2 4 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3

2 2 2 ( 2 ) f = x1 + 2 x 2 + 3 x 3 4 x 1 x 2 4 x 2 x 3

解 (1) f 的矩阵为 1 2 1 A= 1 6 0 , 1 0 4 顺序主子式 2 1 = 11 > 0 , | A | = 38 < 0 , 2<0, 1 6 是负定的. 所以 f 是负定的.18

微积分 线性代数

*例5 判定下列二次型是否为有定二次型. 判定下列二次型是否为有定二次型.2 2 2 (1) f = 2 x1 6 x 2 4 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3

2 2 2 ( 2 ) f = x1 + 2 x 2 + 3 x 3 4 x 1 x 2 4 x 2 x 3

解 (2) f 的矩阵为 1 2 0 A = 2 2 2 , 0 2 3 顺序主子式 1 2 1> 0, = 2 < 0 , 2 2 定的. 所以 f 是不定的.19

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gztq.html