含参不等式恒成立问题求解策略

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含参不等式恒成立问题的四大策略

山东省平度第一中学 宋同海

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以含参不等式“恒成立”为载体，镶嵌函数、方程、不等式、导数等内容，是近年高考中的一个热点内容.解决含参不等式恒成立问题的关键是“转化与化归思想”的应用.从解题策略的角度看,一般而言,有如下四种策略.

关键词：不等式、参数、恒成立、解题方法

策略一：分离参变量，构造函数求最值

分离参数法通常适用于参数与变量容易分离，并且函数的最值容易求出来的题型，通常会用到下面两个性质：（1）f(x) a恒成立 a f(x)min

（2）f(x) a恒成立 a f(x)max x2 2x a,x [1, )，若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，典例１．函数f(x) x

求实数a的取值范围。

解析：若对任意x [1, )，f(x) 0恒成立，

x2 2x a 0恒成立， 即对x [1, )，f(x) x

考虑到不等式的分母x [1, )，只需x 2x a 0在x [1, )时恒成立，即

2a x2 2x在x [1, )时恒成立。而易求得二次函数h(x) x 2x在[1, )上的最2

大值为 3，所以a 3。

策略二：变更主元、主参换位转化为一次函数问题

习惯上，我们常把x看做自变量，其余的字母看做参数。在解含参数的不等式时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。应用此方法时要分清谁是变量，谁是参数。一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数。通常会用到如下性质：

对于一次函数f(x) kx b,x [m,n]有：

f(m) 0 f(m) 0 f(x) 0恒成立 ,f(x) 0恒成立 f(n) 0f(n) 0

（a-6）x 9-3a 0，a １恒成立的x的取值范围。 典例２．求使不等式x 2

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解析：将原不等式整理为形式上是关于ａ的不等式 x 3 a x2 6x 9 0， 令f(a)＝ x 3 a x2 6x 9，因为f(a) 0在a １时恒成立，所以

（１） 若x 3，则f(a) 0不符合题意，应舍去。

（２） 若x 3，则由一次函数的单调性 f( 1) 0，即 f(1) 0

x2 7x 12 0 ,解得x 2或x 4. 2 x 5x 6 0

策略三：转化为两个函数图像之间的关系，数形结合求参数

若不等式两边的图像容易画出时，恒成立的代数问题立即变得直观化，数形结合可使解题过程简单、快捷。数形结合法通常用到如下性质：

（1）f(x) g(x) 函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方；

（2）f(x) g(x) 函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。

典例３.当x (1,2)时，不等式(x-1)<logax恒成立，求a的取值范围。 2

解析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。

2设T1:f(x)=(x 1),T2:g(x) logax,则T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x (1,2), f(x)<g(x)恒

成立即T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,

并且必须也只需g(2) f(2)

故loga2>1,a>1, 1<a 2. 策略四：联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题

典例4.已知x 0，则m的取值范围是：

+ 时，不等式9 m 3 m 1 0恒成立，xx

A. 2 m 2 m 2

C.m 2

m 2

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解析：令t 3x(t 1),则由已知得函数f(t)=t2 mt m 1的图像在

t (1, )上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)=0有 =(-m)2 4(m 1) 0 0 m 或 1解得m 2 C

2

f(1) 1 m m 1 0

易错提示：本题利用换元法简化了运算，但需要注意换元后自变量的取值范围。

结论：上述例子剖析了含参不等式恒成立问题的四种策略，值得一提的是，它们之间并不是彼此孤立的，结合起来使用会使问题变得简单，思路变得灵活。

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