尝试几何画板在教学中的应用

尝试《几何画板》在新课标教学中的运用

江西省万载县万载中学曾才明

新课标提倡教学内容与信息算技术相结合。我们可以借助现代教学手段进行教学实验，数学的活动不再局限于演绎推理的形式体系中，现代教学手段的应用扩大了数学实践的内容和范围。如规律的探索，性质的预测以及模拟仿真的演示，都可通过计算机来实验，计算机做数学实验将成为数学灵感和数学发现的源泉。

首先讲讲应用几何画板探讨椭圆形成的三个实验。

教科书上椭圆的构造原理，简单明了实用，学生容易接受，其关键之处在于要把细绳的长理解为到两点之间距离的和，当铅笔紧靠细绳缓慢移动时，它留下了轨迹——椭圆，所以我们把平面与两定点F1、F2的距离的和等于常数（|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

根据其定义，我们开始就用几何画板做第一个实验：

打开《几何画板》

（1）：画线段CE及构造线段CE上一点D

（2）：其次在平面上确定两点F1，F2，满足（|F1F2|＜|CE|

（3）以F1为圆心，以CD 长为半径画圆，以F2为圆心，以DE 长为半径画圆，两圆相交于点P 、点Q 。

（4）利用鼠标拖动点D 在线段CD 上轻轻地左右移动，两圆的大小 随着半径的变化而变化，这时交点P 、Q 也在移动。我们应用几体画板的跟踪功能对交点P 、Q 的运动轨迹进行跟踪，随着点D 的在右移动，一个椭圆便清晰的显现在屏幕上，一个封闭的优美曲线，在几何画板的帮助下，经过几个简短步骤便可画出，究其原因，其实就是因为点P 满足到F1、F2的距离和（|PF1|+|PF2|）为常数CE.也即是根据椭圆的定义来构造的。还可以添加适当的颜色，调控学生的注意力。

在探讨点p 的轨迹方程时我们不仅可以参考课本方法进行演练，在这引入又一方法相互对比，以便更好的掌握其定义。

法1: 以F 1F 2所在的直线为x 轴

它的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系

则F 1(-C,0),F 2(C,0)，

由P F 1＋P F 2=2a 得根据两点间的距离公式代入方程得

(x+c)

2+y 2＋(x-c)2+y 2＝2a (1)两边乘以x-c ()?+y 2-x+c ()2+y 2(

)得

x-c ()?+y 2-x+c ()2+y 2＝2cx a

(2)(1)+(2)得x+c ()2+y 2＝a+cx a

两边平方得：

a 2-c 2()x 2+a 2y 2=a 2a 2-c 2()

令a 2-c 2=b 2得x 2a 2＋ y 2

b 2=1

法(2)

同法(1)建立平面直角系 设p(x,y)

由P F 1+P F 2=2a 得方程

x+c ()2+y 2+

x-c ()2+y 2=2a 移项得x+c ()2+y 2＝

2a －x-c ()2+y 2两边平方化简得

a 2-c 2()x 2+a 2y 2=a 2a 2-c 2()令a 2-c 2=

b 2得x 2

a 2＋ y 2

b 2=1试验2 Animate M P F1F2

M

椭圆的标准方程的探讨过程，体现了数学的一种对称美，两种策

略的对比. 法(1)借助有理化因式进行转化,它是一种基础技能的应

用。法(2)是常规解决无理方程的基本方法,两次的平方培养了同学们

一种刻苦求知的意志力,一种锲而不舍的进取精神。基础理论掌握好

了，在不同的情景下可以得到不同的发展，激发着我们探讨数学这门

学科的激情，这就是数学独特的引人之处。

有兴趣的同学还可以利用几何画板缓慢增加F1F2的距离，使它

靠近两半径之和。这时两圆的交点的运动轨迹会是怎样的呢？试一

试就有意外的发现！

椭圆还有其他方法进行构造吗？答案是肯定的。

下面一起来看实验2： 某定圆F1及其内部一点F2，半径为2a ，

点M 是圆上的一动点，连结MF2，且作MF2的中垂线交MF1于点

P ，当点M 在圆上运动时，试探讨点P 的运动轨迹。

分析，利用几何画板设定动点M 的速度，并且跟踪点P 的运动轨

迹，不难发现动点M 在圆上运动时，点P 的运动轨迹是椭圆。

试验分析：由MF2的垂直平分线得P F 1=P F 2,

P F 1+P F 2=P F 1+PM =M F 1=2a

满足动点P 到两定点的距离和为常数,其轨迹

是椭圆。

建立恰当的坐标系可列的方程

x+c ()2+y 2+

x-c ()2+y 2=2a

化简这无理方程得 a 2-c 2()x 2+a 2y 2=a 2a 2-c 2()

令a 2-c 2=b 2得

x 2a 2＋ y 2b 2=1

以上两个实验，不同的方案得到相同的轨迹——椭圆。数学知识

可能在将来会遗忘,但这种学习研究数学的方法是终生受益的。 试验3：

在平在直角坐标系中，以原点为圆心，分别以a 、b 为半径画两个圆（a ＞b ），过大圆上一动点M ，作MD 的垂直X 轴，连接OM 交小圆于点D ，过用E 作MD 的垂线，垂足为P ，当点M 在大圆上运动时，试探讨点P 的运动轨迹。

试验3Y

X

Animate M P E

D O M

试验现象：用鼠标轻轻地移动点

M ，并且跟踪点P 的运动轨迹，随着点M 的移动，便得到一个椭圆。

试验分析：

设OM与x正半轴夹角为θ, P(x,y)

则x=a cosθ

y=b sinθ,

消去参数θ得：x2

a2

＋

y2

b2

=1

试验3中，我们利用几何画板特有的跟踪功能，清晰地反映了被动点P与主动点M的关系，受a、b不同的影响，点P的运动轨迹不再是圆了，而是一个标准的椭圆，课堂上我们可边演示边讲解，从实践中得出的理论是令人终忘的，只有理解了的知识才是属于自己的。方程我们称它为椭圆的参数方程，其中

以上三个实验，我们借助几何画板这软件，成功地演示了椭圆的形成过程，椭圆是一种非常重要的圆锥曲线，我们理解了它的产生过程，便能为下一步运用椭圆的性质解决问题提供了很好的理论依据。实践证明，椭圆的定义是用来解决椭圆有关问题的一种有效的工具，有些疑难问题束手无策时，联想到其定义便能柳暗花明，而前两个实验的结论便是我们椭圆的定义，而我们实验的结论是从实践中得出的，参与了就难以忘怀，我们坚信几何画板会给数学课堂带来更多、更好的帮助。

接下来我们开始利用几何画板根据椭圆的方程探椭圆的简单几何性质。

在解析几何里，常常利用曲线方程来研究曲线的几何性质，通过对曲线方程的讨论，得到曲线的形状、大小和位置，下面我们利用椭圆的标准方程，借助《几何画板》来研究椭圆的几何性质。

y

y

x P2

P1F 2F 1O

O

B 1

P

1，范围：根据标准方程可得y=±bsqrt(1-((x^2)/(a^2)))，分别绘制这两个函数的图象，得到一个完整的椭圆。在坐标系中，分别绘制（-a ，0），（a ，0），（0，b ），（0，-b ）四点，构成一个矩形方框，结果椭圆在这个矩形内，由此可知椭圆位于直线X=±a ，y=±b 所围成的矩形内。

2 对称性：在绘制函数y=±bsqrt(1-((x^2)/(a^2)))时，可发现上、下两条对称的曲线，很明显，椭圆是关于X 轴对称的，在椭圆上任取一点P ，利用镜面反射，作关于Y 轴的对称点P1正好也在椭圆上，说明椭圆关于Y 轴所对称，再作P 关于原点的对称点P2，可得其对称点P2以也在椭圆上，这两点关于原点成中心对称，由于P 点的任意性 ，得知椭圆既是轴对称图形(对称轴是X 轴、Y 轴)，又是中心对称图形，原点是对称中心。

用几何画板探讨椭圆对称性和范围 ，简洁明了，学生可以动手做实验亲身体会便可以牢固掌握。

3 离心率：我们知道，椭圆的焦距与长轴长的比e= (c/a) ，称它为椭圆的离心率，在实验2中，椭圆的离心率其实就是(F[1]F[2]/F[1]M) 的比值，因为F1F2=2C ，如果把圆内这定点F2的位置移动，使得F1F2的大小发生变化，这是点P 的轨迹—

—椭圆的圆扁程度也跟着发生变化，为什么离心率的变化会影响着椭圆的圆扁呢？

带着这个疑问，我们一起来分析实验2。因为当F2移动靠近F1时，e就减小，而椭圆却越来越圆，在画板中可以清晰看到这个变化过程，若F2与F1重合时，我们可猜测所得图形就圆，也即离心率越小，椭圆就越圆，这结论从理论上我们也可以分析得到，因为e=(c/a)=sqrt(1-((b^2)/(a^2))) 中，若a不变，b变大，1-((b^2)/(a^2))就变小，这时离心率变小，所以离心率越小，椭圆就越圆。

实验2中，还可以进一步探讨离心率的范围，因为点F2在圆内可知F1F2＜R=F1M，所以e一定小于1，即0＜e＜1

4 探讨过椭圆焦点三角形的面积问题？在椭圆上任取一点P，边结PF1、PF2得△PF1F2。点P在什么位置时，三角形的面积

最大？

面积PF2F1 = 3.90 厘米2面积PF2F1 = 3.27 厘米2 Animate P

Animate P

F2F1 F2F1

B1

P

B1

P

设定点P的动画，并在测量栏，测量三角形PF1F2的面积，点击动画按钮时，△的面积在不断地变化，当点P绕椭圆运动一周时可发现它在两处的面积最大，即短轴的顶点。

理论依据：△PF1F2的面积以是F1F2为底边，点P的纵坐标的绝对值为高的积，而边F1F2不变，当高|y[p]|最大时面积最大，所以点P

在短轴的两端点时其面积最大。

拓展：利用几何画板进一步演示椭圆内与定点有关的问题，不仅形象直观，而且很容易发现其特殊位置，帮助我们找到解决问题的方法、思路。

几年以来，我利用几何画板对高中数学进行了很多种尝试，在课堂上直接演示一些曲线的形成过程，比如后面的双曲线、抛物线的形成过程，亲眼所见、亲手操作，得到的圆锥曲线，对于理解其定义，应用它的性质解题，可以起称潜移默化的作用，从实践中，得出来的数学知识，其精彩过程有时是终生难忘的，不仅在解析几何中，几何画板有着很多的应用，还有比如函数、三角函数、立体几何等知识有着很广的应用。任意的函数，只要输入其解析式，便能得到其图像，很方便研究它的性质例如单调性、周期性，最值，交点的个数等等问题。在立体几何方面，可以利用图像的旋转，对折把抽象的角，距离等问题利用添色功能把它门浅显化。现在几何画板正在普及，大众化。相信越来越多的教师学他，应用他。使更多的学生终生受益。

2009.9

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