数论 整除性 - 图文

数论之整除性

姓名：叶雨菲 时间：_________

考试要求

（1） 熟悉常见数的整除性质

（2） 对于整除含义的理解，求解一些特定问题

知识框架

整除性质

（1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数

注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4）8、125：末三位能被8、125整除 （5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除 （6）7、11、13通用性质：

①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13

整除

②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数

③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数

（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除

注意：当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为2和5确定个位，再4、25、8、125来确定十位、百位，

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接着考虑3和9，最后7、11、13，

重难点

（1） 熟记整除性质，若遇未学过的，则尽量分解成互质的几个数相乘，如：72=8×9

（2） 已知一个多位数的前半部分求后半部分时，可用估算，把原数看大些，利用除法求出余数，再把

余数减去，如例9

（3） 看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5，如例8

例题精讲

【例 1】 在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除.

【巩固】 已知五位数154xy能被72整除，求x+y的值.

【例 2】 六位数3ABABAB是6的倍数，其中A、B表示不同的数字，这样的六位数共有多少个？

【巩固】 七位数17562□的末位数字是 的时候，不管千位上是0到9中得哪一个数字，这个七位

数都不是11的倍数

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【例 3】 由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？

【巩固】 求出一个最大的十位数，它由0,1,2,3，?,9这十个不同的数字组成，并且能被11整除？

【例 4】 从0,3,5,7四个数字中任选三个，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数共有几

个？

【巩固】 一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按从小到大的顺序排成一列，中间的一个

是 .

【例 5】 求被11整除且数字和等于43的五位数

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【巩固】 在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？

【例 6】 （2008解题能力展示六年级初赛）已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数，那

么，这个九位数是

【巩固】 42□28□能被99整除,方框里应该填什么数? 【例 7】 把三位数3ab接连重复的写下去，共写1993个，所得的数恰是91的倍数，求ab

【巩固】 如果20052005?200501?????????能被11整除，那么n的最小值是 .

n个2005

【例 8】 2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?

注意：看几个数相乘后末尾有多少个0，主要是看所有数中能分解出多少个2和5

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【巩固】 从1到101这101个自然数连乘的末尾共有多少个连续的数码0？

【例 9】 某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数是

【巩固】 （2009年101中学小升初试题）在2009后面补上三个数字，组成一个七位数2009□□□，使得

这个七位数能被2、3、4、5、6整除，那么当补上的三个数字的和最大时，所补的三个数字是

【例 10】 某商场向顾客发出9999张购物券，每张上面印有一个四位数的号码，从0001到9999.如果号码

的前面两位之和等于后面两位数字之和，则称为“幸运券”.例如号码0826，因0+8=2+6，所以叫做“幸运券”，试说明：商场发出的所有“幸运券”中，所有的“幸运券”的号码之和能被101整除.

【巩固】 求1～9999的所有数码和？

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