湖北省武汉市武昌区2012届高三1月调研测试数学（理）试题

湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试

数学（理）试题

本试卷共150分，考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项： 1．本卷1一10题为选择题，共50分；1l一21题为非选择题，共100分，考试结束，

监考人员将试题卷和答题卷一并收回． 2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考征号填写在试题卷和答题卷指

定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置． 3．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 4．非选择题的作答：用0．5毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的

答题区域内．答在指定区域外无效． 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）P（B）． 如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）．

台体的体积公式V?1(S?S上S下?S下)h，其中S上、S下分别是台体的上、下底面3上面积，h是台体的高．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的 1．复数

2i的共轭复数为 1?iA．1?i B．1?i

C．?1?i

（ ） D．?1?i

2．已知集合M?{y|y?x?

A．M?N?? 3．已知|a|?1,|b|?

1,x?R,x?1},集合N?{x|x2?2x?3?0},则x?1C．M?CRM

D．M?N?R

（ ） B．M?CRN

2,且a?(a?b)，则向量a与向量b的夹角为

（ ）

A．30° B．45° C．90° 4．下表是某机电设备的广告费用x与销售额y的统计数据： 2 3 4 广告费用x（万元） 销售额y（万元）

54 49 39 D．135°

5 26 ??a?中a?为9.1，据此模型预报广告费用为6万元时销y?bx根据上表可得回归直线方程?售额为

（ ） A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元

5．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）

13 1121B．

138C．

1313D．

8A．

22

6．在区间[—1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2） 与圆x?y?1相交的概率为（ ）

A．7

1 2若

B．

1 3C．3 3D．3 2?(则1x2．

8x4(?x30?)a1?2a(?2?x2?)a?2)?alog2(a1?a3???a11)等于

（ ） B．28

A．27

C．7 D．8

8．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）都 在二次函数y?f(x)的图象上（如右图）．已知函数y=f（x）的图 象的对称轴方程是x=.若点（n，an）在函数y=g（x）的图象 上，则函数y=g（x）的图象可能是（ ）

32

x2y29．已知双曲线2?2?1（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线

ab与 双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（ ） A．（1,2） B．（1,2] C．[2,+∞）

D．（2,+?）

10．函数f(x)的定义域为R，对任意实数x满足f(x?1)?f(3?x，)且

f(x?1)?f(x?．当3)l≤x≤2时，函数f(x)的导数f?(x)?0，则f(x)的单调递

减区间是

（ ）

B．[2k?1,2k](k?Z) D．[2k?2,2k](k?Z)

A．[2k,2k?1](k?Z) C．[2k,2k?2](k?Z)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置

上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分，

11．如图是一个几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长

为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则这个几何体的 表面积是 。

12．函数y= sinx,x?[0,?]的图象与x轴所围成图形的面积

为 。

来源学科网ZXXK]

13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=

?,a=3，若给定一个b的值使满3足条件的三角形有且只有一个，则b的取值范围为 。 14．设fk(x)?sin2kx?cos2kx(x?R)，利用三角变换，估计fk(x)在k=l，2，3时的取

值情况，对k∈N*时推测fk(x)的取值范围是____（结果用k表示）．

15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第1题评分）

（1）在极坐标系中，点P的极坐标为（2,?4，4）,,点Q是曲线C上的动点，曲线C

的极坐标方程为?(cos??si?n+1 )=0，则P、Q两点之间的距离的最小值为 。

（2）已知PA是圆O的切线，切点为4，PA =2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，

PB=l，则圆D的半径R= 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?23sinxcosx?2cosx?2. （ I）求f(x)的单调递增区问；

（Ⅱ）若f(x)?m?2对一切x∈[0，

2?]均成立，求实数m的取值范围． 2 17．（本小题满分12分）

某校从高二年级4个班中选出18名学生参加全国数学联赛，学生来源人数如下表：

班别 人数

高二（1）班 4 高二（2）班 6 高二（3）班 3 高二（4）班 5 （I）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；

（Ⅱ）若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高二（1）班的人数为?，求随机变量?的分布列及数学期望E?．

18．（本小题满分12分）

如图，已知四棱台ABCD –A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2。 （ I）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1； （Ⅱ）求四棱台ABCD - A1B1C1D1的体积； （Ⅲ）求二面角B—C1C—D的余弦值．

19．（本小题满分12分）

已知数列{an}满足:a1?2,an?1?3an?3n?1?2n(n?N*).

an?2n （I）设bn?,证明：数列{bn}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； n3 （II）求数列{an}的前n项和Sn； （III）设Cn?an?1(n?N*),是否存在k?N*,使得Cn?Ck对一切正整数n均成立，an并说明理由。

20．（本小题满分13分）

x2y21 已知椭圆2?2?1(a?0,b?0)的离心率为，两焦点之间的距离为4。

2ab （I）求椭圆的标准方程；

（II）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y?4x于A、B两点，

（1）求证：OA⊥OB；

（2）设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点O作直线DE的垂线OM，垂足

为M，证明|OM|为定值。

21．（本小题满分14分） 已知函数f(x)?2ln(2x)?x.

（I）若函数g(x)?f(x)?ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围； （II）设h(x)?2f(x)?3x?kx(k?R),若h(x)存在两个零点m，n且2x0?m?n，证明：

函数h(x)在(x0,h(x0))处的切线不可能平行于x轴。

222

一、选择题：

1．B 2．D 二、填空题：

3．B 4．B

来源:Z*xx*k.Com]

来源:Zxxk.Com]

参考答案

5．D 6．C 7．C 8．B 9．A 10．A 11．12 12．2 13．(0,3]?{2} 14．

21 15．（1）；（2）?fx?1??k22k?13

三、解答题：

16．（本小题满分12分）

解：f(x)?（Ⅰ）由?3sin2x?cos2x?1?2sin(2x??2k??2x??6)?1．

?2?6??2?2k?，解得??6?k??x??3?k?,k?Z．

所以，f(x)的递增区间为[?分）

?6?k?,?3?k?],k?Z． ………………………（5

（Ⅱ）由f(x)?m?2，得m?2?f?x?对一切x?[0,?2]均成立．

???5??x?[0,], ?2x??[?,]．

26661????sin(2x?)?1, ?0?f(x)?3.

26?m?2?3，?m?1．

所以实数m的取值范围范围为?1,???． ………………………………（12分） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A，

22C4?C6?C32?C522则P(A)??． ………………………………（5分） 29C18（Ⅱ）?的所有可能取值为0，1，2．

2112C14C4C1456C4916 ∵P(??0)?2?，P(??1)?2?，P(??2)?2?，

153C18153C18C18153∴?的分布列为：

? 0 91 1531 56 1532 6 153P

∴E(?)?0?915664?1??2??． ………………………………（13分） 153153153918． （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵AA1⊥平面 ABCD，∴AA1?BD．

?底面ABCD是正方形，?AC?BD．

?AA1与AC是平面A1ACC1内的两条相交直线，∴BD⊥平面A1ACC1．

A1 B1 （Ⅱ）过D1作D1H?AD于H，则D1H//A1A．∵AA1⊥平面 ABCD，?D1H?平面ABCD． 在Rt?D1DH中，求得D1H?而A1A?D1H， 所以四棱台的体积V?（8分）

（Ⅲ）设AC与BD交于点O，连接OC1．

过点B在平面B1BCC1内作BM?C1C于M，连接MD． 由（Ⅰ）知BD⊥平面A1ACC1，?BD?C1C． 所以C1C?平面BMD， ?C1C?MD． 所以，?BMD是二面角B?C1C?D的平面角． 在Rt?C1OC中，求得C1C?5，从而求得OM?来源学*科*网Z*X*X*K]?BD?平面B1BDD1，∴平面A1ACC1?平面B1BDD1． ………（4分）

D1 C1 M 3．

B A O H D

C 1173S??S?S?S h???1?2?4??3?． …………333??OC?OC130?．

C1C5在Rt?BMO中，求得BM?4545，同理可求得DM?． 55BM2?DM2?BD21??．在?BMD中，由余弦定理，求得cos?BMD?…………（12

2BM?DM4分）

19．（本小题满分12分）

an?1?2n?1an?2n3an?3n?1?2n?2n?1an?2n?bn?1?bn?????1，解：（Ⅰ） n?1nn?1n3333?{bn}为等差数列．又b1=0，?bn?n?1． ?an??n?1??3n?2n． …………………（4分）

（Ⅱ）设Tn?0?3?1?3???(n?1)?3，则 3Tn?0?3?1?3???(n?1)?32n23n?112n．

??2Tn?3???3?(n?1)?3n?19(1?3n?1)??(n?1)?3n?1．

1?39?3n?1(n?1)?3n?1(2n?3)?3n?1?9?Tn???．

424?Sn?Tn?2?2???2?2n?2n?3?3n?1?2n?3?1??．…………………（8分）

4n?3n?1?2n?11362259（Ⅲ）由已知得Cn?，从而求得C?,C?,C?,?猜123?n?1?3n?2n21362测C1最大，下证：

an?1a2(n?3n?1?2n?1)?2?13[(n?1)?3n?2n]?Cn?C1???ana1an?a1(13?7n)?3n?9.2n??0，

an?a1∴存在k?1，使得Cn?Ck对一切正整数n均成立． …………………（12分） 20．（本小题满分13分）

?2c?4,?a?4?2解：（Ⅰ）由?c1得?，故b?12．

?,?c?2?a2?x2y2??1． ……………………（4分） 所以，所求椭圆的标准方程为

1612（Ⅱ）（1）设过椭圆的右顶点?4,0?的直线AB的方程为x?my?4．

代入抛物线方程y?4x，得y?4my?16?0．

22?y1?y2?4m,设A?x1,y1?、B?x2,y2?，则?

yy??16.?122∴x1x2?y1y2??my1?4??my2?4??y1y2＝1?my1y2?4m?y1?y2??16＝0．

??∴OA?OB． ……………………（8分）

x2y2（2）设D?x3,y3?、E?x4,y4?，直线DE的方程为x?ty??，代入??1，得

1612?3t2?4y2?6t?y?3?2?48?0．

?6t?3?2?48,y3y4?2于是y3?y4??2．

3t?43t?44?2?48t2从而x3x4??ty3????ty4???? 23t?4?OD?OE，?x3x4?y3y4?0．

代入，整理得7??48t?1． ∴原点到直线DE的距离d?21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）?g?x??ln?2x??x?ax,g?(x)?22?2??1?t2?421为定值． ……………………（13分） 721?2x?a?2x??a(x?0)． 2xx由已知，得g?(x)?0对一切x?(0,??)恒成立．

?2x?1?1??a?0，即a???2x??对一切x?(0,??)恒成立．

x?x?1?????2x????22，?a??22．

x???a的取值范围为[?22,??)． ……………………………（5分）

（Ⅱ）h?x??2ln?2x??x?3x?kx?2ln?2x??x?kx．

222??由已知得h(m)?2ln(2m)?m?km?0，h(n)?2ln(2n)?n?kn?0．

22来源:Z#xx#k.Com]

?2lnnn?(n2?kn)?(m2?km)，即2ln?(n?m)(n?m)?k(n?m)． mm22?2x0?k?0，?k??2x0． x0x0假设结论不成立，即h?(x0)?0，则又2x0?m?n，

?2lnn2?(n?m)(n?m)?(?2x0)(n?m) mx0?(n?m)(n?m)?(?ln令

44． ?m?n)(n?m)?(n?m)m?nn?mn2(n?m)． ?mn?mn2(t?1)． ?t?(1,??)，则有lnt?m1?t2(t?1)令?(t)?lnt?,t?1．

1?t(1?t2?4t)(t?1)212?t?1??2(t?1)?(?1)14???0． ???(t)????2222t(1?t)t(1?t)t(1?t)t(1?t)??(t)在(1,??)上是增函数，

∴当t?1时，?(t)??(1)?0，即lnt?∴当t?1时，lnt?∴假设不成立．

2(t?1)?0． 1?t2(t?1)不可能成立， 1?t?h(x)在(x0,h(x0))处的切线不平行于x轴． …………………………（14分）

由已知得h(m)?2ln(2m)?m?km?0，h(n)?2ln(2n)?n?kn?0．

22来源:Z#xx#k.Com]

?2lnnn?(n2?kn)?(m2?km)，即2ln?(n?m)(n?m)?k(n?m)． mm22?2x0?k?0，?k??2x0． x0x0假设结论不成立，即h?(x0)?0，则又2x0?m?n，

?2lnn2?(n?m)(n?m)?(?2x0)(n?m) mx0?(n?m)(n?m)?(?ln令

44． ?m?n)(n?m)?(n?m)m?nn?mn2(n?m)． ?mn?mn2(t?1)． ?t?(1,??)，则有lnt?m1?t2(t?1)令?(t)?lnt?,t?1．

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∴当t?1时，?(t)??(1)?0，即lnt?∴当t?1时，lnt?∴假设不成立．

2(t?1)?0． 1?t2(t?1)不可能成立， 1?t?h(x)在(x0,h(x0))处的切线不平行于x轴． …………………………（14分）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gzew.html