第三章图形的平移与旋转培优训练（北师大版）

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第三章图形的平移与旋转

１、如图,所给的图案由ΔABC绕点O顺时针

旋转( )前后的图形组成的。

A. 450、900、1350 B. 900、1350、1800 C.450、900、1350、1800、2250 D.450、1350、2250、2700.

H A D

E O G

B C F

2、将如图1所示的Rt△ABC绕直角边BC旋转一周，所得几何体的左视图是（）

C A 图1 A B C D B ?3、如图，把Rt?ABC依次绕顶点沿水平线翻转两次，若?C?90，AC?3，BC?1，那么AC边从开始到结束所扫过的图形的面积为（）

A．

7?7?9?25? B． C． D． 4124124、如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（） A、

A· F G D

EF·B

B B C E P·

C第7题图 C·

第5题图（第4题图）

第6题图

5、如图，地面上有不在同一直线上的A、B、C三点，一只青蛙位于地面异于A、B、C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点P1，第二步从P1跳到P1关于B的对称点P2，第三步从P2跳到P2关于C的对称点P3，第四步从P3跳到P3关于A的对称点P4……以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（） A．4 B．5 C．6

D．8

6、如图，在等边△ABC中，AC?9，点O在AC上，且AO?3，点P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（） A．4 B．5 C．6 D．8

7、如图，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，那么?AEG的面积的值（） A．与m、n的大小都有关 B．与m、n的大小都无关 C．只与m的大小有关 D．只与n的大小有关

8、将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( )

A．1圈 B．1.5圈 C．2圈 D．2.5圈

????? B、 C、 D、 6432AA D r r 第8题图

9、如图，线段AB=CD，AB与CD相交于点O，且?AOC?600，CE由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是：（）

A、AC?BD?AB B、AC?BD?AB C、AC?BD?AB D、无法确定

AAODCBPCD0///BE

（第9题图）（第10题图）（第11题图）

10、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形ABCD，则图中阴影部分面积为（） A、1?3331 B、 C、1? D、 334211、如图，点P是等边三角形ABC内部一点，?APB:?BPC:?CPA?5:6:7，则以PA、PB、PC为边的三角形的

三内角之比为（）

A、2：3：4 B、3：4：5 C、4：5：6 D、不能确定

12、如图，将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是度． D C ABA′ P B A 第14题图第13题图第12题图 13、如图，一个圆作滚动运动，它从A位置开始，滚过与它相同的其他六个圆的上部，到达B位置。则该圆共滚过圈。 14、已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于 .

15、如图，将半径为1、圆心角为60?的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A?O?B?处，则顶点O经过的路线总长为。

A B? A A

A 60? O B A? O?

（第15题图）（第16题图）

16、已知：如图，小正六边形的边长是1，大正六边形的边长的2，A是小正六边形的一个顶点，若小正六边形沿大正六边形内侧滚动一周，回到原来的位置，则点A的行程为___________．（结果保留π）．

17、如图，将边长为

1?n（n=1,2,3…）的正方形纸片从左到右顺序摆放，其对应的正方形的中心依次为A1、A2、A3…..。2①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为__________；②若摆放前n个（n为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为________.

18、如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB1C1．（1）在正方形网格中，作出△AB1C1；（不要求写作法）

（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）

19、如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形。

（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；

（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；

（3）以（1）中的AB为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数。

20、如图，在直角坐标系中，Rt⊿AOB两条直角边OA、OB，分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA=2，OB=1，将Rt⊿AOB绕点O按顺时针方向旋转900，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得⊿CDO。（1）写出点A、C的坐标；（2）求点A和C点之间的距离。

A C

第18题图

21、Ⅰ小明在如图所示粗糙的平面轨道上滚动一个半径为8cm的圆盘，已知，AB与CD是水平的，四边形BCDE是正

方形，CD=EF=AB=BC=40cm，

(1)请作出小明将圆盘从A点滚动至F点其圆心所经过的路线示意图 (2)求出(1)中所作路线的长度。

Ⅱ、BC与水平方向夹角为450，四边形BCDE是等腰梯形时，CD=EF=AB=BC=40cm， (1)请作出小明将圆盘从A点滚动至F点其圆心所经过的路线示意图 (2)求出(1)中所作路线的长度。

22、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）

于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由． A D A A D D N

N M B

B C C B

M M

图1 图2

N 图3

23、如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD上各有一点P、Q，如果?APQ的周长为2，求?PCQ的度数。

DQCA

24、如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0

的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）（1）求点P6的坐标；（2）求△P5OP6的面积；

（3）我们规定：把点Pn（xn，yn）（n=10，1，2，3，…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，

| yn|）称之为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来． y P3 P2 P1

O P（1，0） x 0 第24题图 25、把一副三角板如图甲放置，其中?ACB??DEC?90，?A?45，?D?30，斜边AB?6cm，DC?7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15得到?D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．（1）求?OFE1的度数；（2）求线段AD1的长；（3）若把三角形D1CE1绕着点C顺时针再旋转30得?D2CE2，这时点B在?D2CE2的内部、外部、还是边上？说明理由．

O F C

（甲）

E B

（乙）

B D1

26、已知如图1，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，AP交对角线BD于点E，过点B作BQ⊥AP于G点，交对

角线AC于F，交边CD于Q点．

（1）小聪在研究图形时发现图中除等腰直角三角形外，还有几对三角形全等．请你写出其中三对全等三角形，并选择其中一对全等三角形证明．

（2）小明在研究过程中连结PE，提出猜想：在点P运动过程中，是否存在∠APB＝∠CPF？若存在，点P应满足何条件？并说明理由；若不存在，为什么？

ADAD OOQ FEQFEG

BBCCPP

图1 图2 第26题图

27、如图，直线y??3x?2与x轴，y轴分别相交于点A，B．将△AOB绕点O按顺时针方向旋转?角3（0°??≤360°），可得△COD．

（1）求点A，B的坐标；

（2）当点D落在直线AB上时，直线CD与OA相交于点E，△COD和△AOB的重叠部分为△ODE（图①）．求证：△ODE∽△ABO；

（3）除了（2）中的情况外，是否还存在△COD和△AOB的重叠部分与△AOB相似，若存在，请指出旋转角?的度数；若不存在，请说明理由；（4）当??30°时（图②），CD与OA，AB分别相交于点P，M，OD与AB相交于点N，试求△COD与△AOB的重叠部分（即四边形OPMN）的面积．

28、如图，将含30?角的直角三角板ABC（?B?30?）绕其直角顶点A逆时针旋转?解（0????90?），得到过点M作MN∥DE交AE于点N，连结NC．设BRt△ADE，AD与BC相交于点M，C?4，BMx?，△MNC的面积为S△MNC，△ABC的面积为S△ABC．（1）求证：△MNC是直角三角形；

（2）试求用x表示S△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）以点N为圆心，NC为半径作?N，

①当直线AD与?N相切时，试探求S△MNC与S△ABC之间的关系； ②当S△MNC?

1S△ABC时，试判断直线AD与?N的位置关系，并说明理由． 4A

? B

M D

第28题图

E C

29、如图甲，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图乙的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）

（2）当△ADE绕A点旋转到图丙的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）

图甲

图乙图丙

30、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图甲），连结BD、

MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．

⑴试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；

BFA

图甲

⑵小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图乙），设旋转角为β(0°＜β＜ 90°), 当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数； D

D1 MB1 K

BFA

图乙

⑶若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图丙），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？

M2 M

NBA2PA图丙

31、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

32、在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y?x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y?x于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设?MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

B E A D

A G G E F E F D

A D

C F 第31题图①

B 第31题图②

C B 第31题图③

C y y?x A M B O C (第32题)

N x

33、对于一张正方形纸片ABCD，现要沿着它上面的一条线段剪去一个三角形，把该纸片裁成两个多边形，然后把这

两个多边形拼成一个新的凸多边形。（即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧）

操作示例：将正方形纸片ABCD按图1所示，沿AE剪开，裁掉△AED后，将它绕点A顺时针旋转90°拼接到△ABF的位置，由AD=AB，和∠ADE=∠ABC=90°可知，拼接成的图形AFCE是四边形。实践探究： ⑴将正方形纸片ABCD裁去一个三角形后剩下的多边形可能是。 ⑵请你在图2~图4中分别画出将正方形ABCD剪拼成三角形、梯形、五边形的示意图。拓展反思：

小明说：“这样裁剪所能拼成的多边形的最多边数为6”，请你运用多边形的内角和知识分析这句话的正确性，并在图5中画出剪拼示意图。 34、（1）在图1作图演示将直角三角形ABC裁剪成两块，并拼成一个矩形。

探究当直角三角形ABC满足，可拼成一个正方形。（2）在图2作图演示将?ABC裁剪成两块，并拼成一个平行四边形。

探究当?ABC满足，可拼成一个菱形。（3）在图3作图演示将直角梯形ABCD裁剪成两块，并拼成一个矩形。

探究当直角梯形ABCD满足，可拼成一个正方形。（4）在图4作图演示将梯形ABCD裁剪成两块，并拼成一个平行四边形。

探究当梯形ABCD满足，可拼成一个菱形。（5）在图5作图演示将梯形ABCD裁剪成两块，并拼成一个三角形。

探究当梯形ABCD满足，可拼成一个直角三角形；探究当梯形ABCD满足，可拼成一个等腰三角形；探究当梯形ABCD满足，可拼成一个等边三角形。

（6）在图6作图演示将梯形ABCD裁剪成两块，并拼成一个等腰梯形。 (以上探究请在空白处作图说明)

BBBCBCBCBC

图1 图2 图3 图4 图5 图6

ACACADADADAD

35、如图，点O是等边三角形ABC的外接圆的圆心，∠MON=120°，且∠MON绕顶点O旋转，这个角的两边与△ABC

的两边AB、BC分别交于M、N两点，随着∠MON的旋转，M、N两点的位置也在变化，取变化过程中点M、N两次静止的状态，如图1和图2.

⑴试用刻度尺在图1和图2中分别量得OM、ON的长度，猜测OM、ON的数量关系，并借助图2说明理由。

⑵在图3中，∠MON的两边与边CB、AC的延长线分别交于P、Q两点，猜测OP、OQ存在怎样的数量关系，并说明理由。

36、如图，两个全等的正六边形ABCDEF、PQRSTU，其中点P位于六边形ABCDEF的中心，若它们的面积均为1，则阴影部分面积是多少？

ABFUPCQEDTSR

BAFED

C （第36题图）（第37题图）（第38题图）

37、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，求出空白部分的面积。

38、如图，在六边形ABCDEF中，AB∥ED,AF∥CD,BC∥EF,AB=ED,AF=CD,BC=EF,又知对角线

FD?BD,FD?24cm,BD?18cm.求六边形ABCDEF的面积。

39、如图，四边形ABCD是长方形，△ABC旋转后能与△AEF重合。

（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）连接FC，则△AFC是什么三角形？

AFEDBC

040、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，木工师傅通过测量可知，?B??D?90,AD?CD。思考一段时间后，一位木工师傅说：“我可以把两块木板拼成一个正方形。”另一位木工师傅说：“我可以把一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形。”两位木工师傅把木板只分割了一次，你知道他们分别是怎样做的吗？画出图形，并说明理由。

DABC

41、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由． A P

A D 42、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．

P B C

43、把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边均为4）叠放在一起，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，现将三角板EFG绕点O按顺时针方向旋转（旋转角?满足条件：00???900），四边形CHGK是旋转过程中两三角形的重叠部分。在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的

面积有何变化？请证明你的发现。

AAG（O）CEBF

EKCG（O）HBF

44、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M，EP?l,FQ?l，垂足分别为P、Q。求证：EP=FQ。

EGB

P/AQMPQ/FHNDRSC

45、如图，在等腰?ABC的两腰AB、AC上分别取点E、F使AE=CF，已知BC=2，求证：EF?1。

AFEB

46、如图，在?ABC中，AB=AC，点P、Q分别在边AC、AB上，且AP=PQ=QB=BC，试求?A的度数。

APQB

47、如图，在五边形ABCDE中，AB?AC,BC?DE?CD,?ABC??AED?180,连接AD。求证：AD平分?CDE。

0RC