河北省衡水2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题含答案

河北省衡水2018届高三第十次模拟考试数学（理）试题含答案

2017—2018学年度第一学期高三十模考试

数学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）

1.设集合A?{x|y?log2(2?x)}，B?{x|x2?3x?2?0}，则CAB?（ ）

A．(??,1) B．(??,1] C．(2,??) D．[2,??) 2.在复平面内，复数

2?3i?z对应的点的坐标为(2,?2)，则z在复平面内对应的点位于（ ） 3?2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知?ABC中，sinA?2sinBcosC?0，3b?c，则tanA的值是（ ）

A．

23433 B． C．3D．

333nn4.设A?{(x,y)|0?x?m,0?y?1}，s为(e?1)的展开式的第一项（e为自然对数的底数），m?任取(a,b)?A，则满足ab?1的概率是（ ） A．

s，若22e?2e?1B．C．D． eeee5.函数

y?x4lgxx的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24??48，则该几何体的表面积为（ ）

A．24??48 B．24?7.已知a?17117?90?641 C．48??48 D．24??66?641

，b?log1617，c?log1716，则a，b，c的大小关系为（ ）

A．a?b?c B．a?c?b C．b?a?c D．c?b?a 8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ）

A．20200 B．?5268.5 C．5050 D．?5151

x2y29.如图，设椭圆E：2?2?1(a?b?0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限上的点，直线BOab交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆E的离心率是（ ） A．

1211 B． C． D． 233410.设函数f(x)为定义域为R的奇函数，且f(x)?f(2?x)，当x?[0,1]时，f(x)?sinx，则函数

g(x)?cos(?x)?f(x)在区间[?,]上的所有零点的和为（ ）

A．6 B．7 C．13 D．14 11.已知函数f(x)?59222?sinx，其中f'(x)为函数f(x)的导数，求f(2018)?f(?2018)x2019?1?f'(2019)?f'(?2019)?（ ）

A．2 B．2019C．2018 D．0

12.已知直线l：y?ax?1?a(a?R)，若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于①

a，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：

y??2x?1；②(x?1)2?(y?1)2?1；③x2?3y2?4；④y2?4x.

其中直线l的“绝对曲线”的条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）

?x?2y?2?0x?3y?4?13.已知实数x，y满足?2x?y?4?0，且m?，则实数m的取值范围．

x?1?y?x?1?x2y2PPI交x轴于QI14.双曲线2?2?1的左右焦点分别为F1F2的内心，1、F2，是双曲线右支上一点，为?PFab点，若

FQ?PF2，且PI:IQ?2:1，则双曲线的离心率e的值为． 1

?????????????????15.若平面向量e1，e2满足e1?3e1?e2?2，则e1在e2方向上投影的最大值是．

16.观察下列各式：

13?1； 23?3?5； 33?7?9?11； 43?13?15?17?19；

?? 若m3(m?N*)按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m的值为．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

17.已知等差数列{an}中，公差d?0，S7（1）求数列{an}的通项公式； （2）若Tn为数列{?35，且a2，a5，a11成等比数列.

1}的前n项和，且存在n?N*，使得Tn??an?1?0成立，求实数?的取值范围. anan?118.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：

（1）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数.

（2）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X的分布列. （3）试比较男生学习时间的方差S1与女生学习时间方差S2的大小.（只需写出结论） 19.如图所示，四棱锥P?ABCD的底面为矩形，已知PA?PB?PC?BC?1，AB?作与PB平行的平面交PD于E.

222，过底面对角线AC

（1）试判定点E的位置，并加以证明； （2）求二面角E?AC?D的余弦值.

20.在平面直角坐标平面中，?ABC的两个顶点为B(0,?1)，C(0,1)，平面内两点P、Q同时满足：①

?????????????????????????????????PA?PB?PC?0；②QA?QB?QC；③PQ//BC.

（1）求顶点A的轨迹E的方程； （2）过点F(直线l1，设弦Al2，l2与A的轨迹E相交弦分别为A1B1，A2B2，2,0)作两条互相垂直的直线l1，1B1，

A2B2的中点分别为M，N.

①求四边形A1A2B1B2的面积S的最小值；

②试问：直线MN是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由. 21.已知函数f(x)?ln(x?1).

ax?1（1）当a?1，求函数y?f(x)的图象在x?0处的切线方程； （2）若函数f(x)在(0,1)上单调递增，求实数a的取值范围；

（3）已知x，y，z均为正实数，且x?y?z?1，求证

(3x?1)ln(x?1)(3y?1)ln(y?1)?x?1y?1?(3z?1)ln(z?1)?0.

z?1请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是??24，以极点为原点O，极轴为x轴正半轴（两坐标系

4cos??3sin?取相同的单位长度）的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为：?（1）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程； （2）将曲线C2经过伸缩变换?的最小值.

?x?cos?（?为参数）.

?y?sin???x'?22x后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求MN??y'?2y

23.[选修4-5：不等式选讲] 已知

f(x)?2x?a?x?1(a?R).

（1）当a?1时，解不等式f(x)?2. （2）若不等式f(x)?x?1?x?a?21对x?R恒成立，求实数a的取值范围. 2

十模数学答案（理）

一、选择题

1-5: BDACD 6-10: DACCA 11、12：AC

二、填空题

13. [2,7] 14.

342 15. ? 16. 45 23三、解答题

7?6??a1?3d?57a?d?35?117.解：（1）由题意可得?，即?2. 2?2d?a1d?(a?4d)2?(a?d)(a?10d)?111又因为d?0，所以??a1?2.所以an?n?1.

?d?1（2）因为

1111111111???，所以Tn??????????2334n?1n?2anan?1(n?1)(n?2)n?1n?2?11n??. 2n?22(n?2)*因为存在n?N，使得Tn??an?1?0成立，所以存在n?N*，使得

n成立.

2(n?2)2n??(n?2)?0成立，

2(n?2)即存在n?N，使得?*?n111，（当且仅当n?2时取等号）， ??2442(n?2)2(n??4)2(n??4)16nn11所以??.即实数?的取值范围是(??,].

161618.解：（1）由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小

又

时的有4人.

12?240人. 20（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的所有可能取值为0，1，2，3，4.

∴可估计全校中每天学习不足4小时的人数为：400?41C4由题意可得P(X?0)?4?；

70C813168C4C?； P(X?1)?44?7035C822C4C43618??； P(X?2)?47035C8

31168C4C?； P(X?3)?44?7035C841C4. P(X?4)?4?C870所以随机变量X的分布列为

0 1 2 1818 P 70353511636161?1??2??3??4??2. ∴均值EX?0?7070707070X （3）由折线图可得s122. ?s23 8 354 1 7019.解：（1）E为PD的中点，证明如下：

连接OE，因为PB//平面AEC，平面PBD?平面AEC?OE，PB?平面AEC，所以PB//OE，又O为

BD的中点，所以E为PD的中点.

（2）连接PO，因为四边形ABCD为矩形，所以OA?OC.因为PA?PC，所以PO?AC.同理，得PO?BD，所以PO?平面ABCD，以O为原点，OP为z轴，过O平行于AD的直线为x轴，过O平行于CD的直线为y轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 易知A(,?1212121212121,0)，B(,,0)，C(?,,0)，D(?,?,0)，P(0,0,)，E(?,?,)，

22222222444????????11212则EA?(?,?,)，OA?(,?,0).

44422??????显然，OP是平面ACD的一个法向量.设n1?(x,y,z)是平面ACE的一个法向量， ?121??????x?y?z?0???n1?EA?0?444则??????，即?，取y?1， ???1x?2y?0?n1?OA?0??22??则n1?(2,1,22)，

????????????n1?OP222所以cos?n1,OP????， ?????11n1OP所以二面角E?AC?D的余弦值为222. 11?32?x232?y?1(x?0)；（2）①S的最小值的，②直线MN恒过定点?20.（1）

?4,0??. 23??????????????试题解析：（1）∵PA?PB?2PO，

????????∴由①知PC??2PO，

∴P为?ABC的重心. 设A(x,y)，则P?

?xy?,?，由②知Q是?ABC的外心， ?33?22????????x??x???x?2∴Q在x轴上由③知Q?,0?，由QC?QA，得???1??x???y，化简整理得：3??3???3?x2?y2?1(x?0). 3x2?y2?1的右焦点， （2）解：F(2,0)恰为3①当直线l1，l2的斜率存且不为0时，设直线l1的方程为my?x?2，

??my?x?222由??(m?3)y?22my?1?0，

22??x?3y?3?0设A1(x1,y1)，B1(x2,y2)，则y1?y2??1?22myy?，， 1222m?3m?3①根据焦半径公式得

A1B1?23?2(x1?x2)， 3?22m262又x1?x2?my1?2?my2?2?m(y1?y2)?22?， ?22?22m?3m?3?1?23?1?2?23(m2?1)23(m2?1)43?m??所以A1B1?23?2，同理， ?AB?2221m?33m2?1m?3?32m(m2?1)2(m2?1)23?6?则S?6， 222(m2?3)(3m2?1)?4(m?1)???2??当m?3?3m?1，即m??1时取等号.

22?32?2m??32m22m?②根据中点坐标公式得M?2?m?3,m2?3??，同理可求得N??3m2?1,3m2?1??， ????

则直线MN的斜率为kMN2m?2m?2m2?3?4m， ?3m?33(m2?1)32m232?3m2?1m2?34m?32??2m∴直线MN的方程为y?2??x?2??， m?3m?33(m2?1)???整理化简得3ym?32?4xm?6ym?332?4xm?9y?0，

4??32??令y?0，解得x?32. 4?32?MN∴直线恒过定点??4,0??.

??②当直线l1，l2有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0，直线MN即为x轴，过点??32??4,0??. ???32?3综上，S的最小值的，直线MN恒过定点??4,0??. 2??21.（1）当a?1时，f(x)?ln(x?1)则f(0)?0，

x?1f'(x)?1?ln(x?1)则f'(0)?1，

(x?1)2∴函数y?f(x)的图象在x?0时的切线方程为y?x.

（2）∵函数f(x)在(0,1)上单调递增，∴ax?1?0在(0,1)上无解， 当a?0时，ax?1?0在(0,1)上无解满足，

当a?0时，只需1?a?0??1?a?0，∴a??1①

ax?1?aln(x?1)x?1f'(x)?，

(ax?1)2∵函数f(x)在(0,1)上单调递增，∴f'(x)?0在(0,1)上恒成立， 即a?(x?1)ln(x?1)?x??1在(0,1)上恒成立.

1?1?ln(x?1)， x?1设?(x)?(x?1)ln(x?1)?x?'(x)?ln(x?1)?(x?1)?∵x?(0,1)，∴?'(x)?0，则?(x)在(0,1)上单调递增，

∴?(x)在(0,1)上的值域为(0,2ln2?1).

∴a?11在(0,1)上恒成立，则a?②

2ln2?1(x?1)ln(x?1)?x??1?.

2ln2?1??综合①②得实数a的取值范围为?1,?ln(x?1)在(0,1)上单调递增，

1?x1ln(x?1)134?f()?ln， 于是当0?x?时，f(x)?31?x3231ln(x?1)134?f()?ln， 当?x?1时，f(x)?31?x32334(3x?1)ln(x?1)33?(3x?1)?ln， ∴(3x?1)f(x)?(3x?1)?ln，即

23x?124（3）由（2）知，当a??1时，f(x)?同理有

(3y?1)ln(y?1)33(3z?1)ln(z?1)33?(3y?1)?ln，?(3z?1)?ln，

24z?124y?1(3x?1)ln(x?1)(3y?1)ln(y?1)(3z?1)ln(z?1)??0. ?x?1z?1y?124，∴4?cos?3?sni?4cos??3sin?三式相加得

22.解：（1）∵C1的极坐标方程是???24?，整理得4x?3y?24?0，

∴C1的直角坐标方程为4x?3y?24?0.

?x?cos?2222曲线C2：?，∴x?y?1，故C2的普通方程为x?y?1.

?y?sin??x'2y'2?x'?22x??1，则曲线C3的参数方程为（2）将曲线C2经过伸缩变换?后得到曲线C3的方程为84??y'?2y??x?22cos?（?为参数）.设N22cos?,2sin?，则点N到曲线C1的距离为???y?2sin???d?4?22cos??3?2sin??245?241sin(???)?245?24?241sin(???)42(tan??).

53当sin??????1时，d有最小值

24?24124?241，所以MN的最小值为. 5523.解：（1）当a?1时，等式f(x)?2，即2x?1?x?1?2，

11???x??1??1?x??x?等价于?或?或?， 22?1?2x?x?1?2?1?2x?x?1?2?2x?1?x?1?2??

解得x??2或x?4， 323所以原不等式的解集为(??,?)?(4,??)；

a?a?x,x???2（2）设g(x)?f(x)?x?1?x?2x?a?x，则f(x)??，

a?3x?a,x???2则f(x)在(??,)上是减函数，在(,??)上是增函数，

a2a2aaa时，f(x)取最小值且最小值为f()?， 222a1112∴?a?，解得??a?1，∴实数a的取值范围为(?,1). 2222∴当x?

解得x??2或x?4， 323所以原不等式的解集为(??,?)?(4,??)；

a?a?x,x???2（2）设g(x)?f(x)?x?1?x?2x?a?x，则f(x)??，

a?3x?a,x???2则f(x)在(??,)上是减函数，在(,??)上是增函数，

a2a2aaa时，f(x)取最小值且最小值为f()?， 222a1112∴?a?，解得??a?1，∴实数a的取值范围为(?,1). 2222∴当x?

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