七年级上 第三章 实数 浙教版

1. 平方根

（1） 含义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平

方根（或二次方根）即如果x =a，那么x就叫做a的平方

2根。

（2） 表示方法：一个整数a的正的平方根表示为“a”或“2a”，

其中a叫做被开方数;“2”中的2叫做根的指数（一般可省略不写）；“a”或“2a”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a的负的平方根表示为“－a”或“－2a”；正数a的平方根为 ±a ，读作“正负根号a”我们把a的正的平方根a称为a的算术平方根。

（3） 性质：一个正数的平方根有两个且它们互为相反数；0只有

一个平方根，还是0；负数没有平方根。

算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 （4） 开平方运算

1） 定义：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其

中数a叫做被开方数；平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系

2） 平方根（或算术平方根）的几个公式：式子±a有意义的条件为a≥0；a 表示a的算术平方根，a是非负数，即a≥0；

，??a?=a（a≥0）；?a? =a（a≥0）

22a2=a=a，a≥0或；－a，a﹤0

3） 非负数及其性质：

A．非负数：若a≥0，则称a为非负数，初中阶段有三种非负数：a，a，a2

B．若几个非负数的和为0 ，在这几个非负数均为0. 2. 立方根

（1） 定义：如果一个数x的立方等于a，即x=a，那么就称这个

数x为a的立方根（或三次方根）。

表示法：a的立方根表示为3a，其中a为被开方数，“3”中的3为根指数（根指数3不能省略）；3a读作“三次根号a”或“a的立方根”。

(2) 性质：任意数都有立方根，任意一个数都有唯一的立方根。正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根仍为0.

（3）有关立方根的补充说明和公式

1）在3a中，被开方数a可为正数，负数，0；且3a的正负与a一致

2）3?a=－3a ， 3）33?a?3=3a=a 34）开立方运算：求一个数a的立方根的运算叫做开立方运算。（开立方运算与立方运算是互为逆运算的关系）

开平方与开立方的联系与区别

在遇到开方开不尽的情况时，如无特殊说明，计算结果一律保留四位有效数字。

在实数运算中，被开方数如果是带分数，要先化为假分数，然后再进行计算

3. 实数及实数的运算

（1） 无理数：无限不循环小数叫做无理数。三种常见的无理数：

1）所有开不尽的方根都是无理数，2）一些含π的数是无理数，3）无限不循环的小数 （2） 实数 按定义分类 按正负（性质）分类

实数a的相反数为-a；0的相反数是其本身，若a与b互为相反数，则a+b=0

实数a的倒数为（a≠0）若a与b互为倒数，则有ab=1 实数a的绝对值表示为a，正实数的绝对值等于它本身，0的绝对值为0，负实数的绝对值是它的相反数，即a=﹛a，a≥0；-a，a＜0﹜

实数与数轴上的点一一对应，数轴上每一个点都表示一个实数；反过来，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示。在数轴上，右边对应的实数比左边点对应的实数大；正实数大于一切负实数，0大于一切负数，正实数大于0。

1a（3） 实数的运算顺序和有理数一样 （4） 实数的大小比

1）数轴比较法：2）代数比较法；3）差值比较法；4）商值比较法；

5）倒数比较法：若＞，a＞0，b＞0，则a ＞b 6）平方比较法：若a＞0，b＞0，a2＞b 则a＞b 7）开方比较法：若a＞0，b＞0，a＞b 则a＞b 8）估算法。

5.实数中的非负数即性质

（1）任意实数a的绝对值是非负数，即a ≥0；任意实数a的平方是非负数，即a2≥0.（a2n≥0，n为正整数）；任意非负数a的n次算术平方根是非负数，即na≥0（a≥0），常用的是a≥0 （2）性质：若a2+ b =0，则﹛a=0，b=0，反之亦然，若a+b=0，则a=0，b=0，反之亦然

若a+b=0则 a=0，b=0，非负数有最小值，最小值为0，有限个非负数之和仍然是非负数。

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