大学物理答案第3章

第三章 刚体力学

3－1 一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？ 解：（1）由题可知：阻力矩M??C?，

又因为转动定理 M?J??Jd? dt??C??Jd? dt?d?tC?????dt ?0?0Jln?C??t ?0J???0e当??C?tJ

1J?0时，t?ln2。 2Ct （2）角位移???0?dt??Jln2C0?0eC?tJdt?1J?0，

2C 所以，此时间内转过的圈数为n?J?0??。 2?4?C3－2 质量为M，半径为R的均匀圆柱体放在粗糙的斜面上，斜面倾角为? ，圆柱体的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，且圆柱体和滑轮间的绳子与斜面平行，如本题图所示，求被悬挂物体的加速度及绳中张力

解：由牛顿第二定律和转动定律得

mg?T?ma

2TR?Mgsinα.R?Jα

3T T MR2 2M m 8m?4Msinα 联立解得 a?g ? mg

3M?8m(3?4sinα)M T?mg

3M?8m3－3 一平板质量M1，受水平力F的作用，沿水平面运动，

如本题图所示，板与平面间的摩擦系数为μ，在板上放一质量为M2的实心圆柱体，此圆柱体在板上只滚动而不滑动，求板的加速度。

由平行轴定理 J?解：设平板的加速度为a。该平板水平方向受到拉力F、平面施加的摩擦力f1和圆柱体施加的摩擦力f2，根据牛顿定律有，F?f1?f2?M1a。

1

设圆柱体的质心加速度为aC，则f2?M2aC

12遵守转动定理，f2R?J??M2R?

2 又因为圆柱体无滑滚动 a?aC?R? 且 f1??(M1?M2)g

解以上各方程得 a?M1 M2 习题3－3图

F F?μ(M1?M2)g

1M1?M233－4 质量面密度为?的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为J??ab(a2?b2)。其中a，b为矩形板的长，宽。 12 证明一：如图，在板上取一质元dm??dxdy，对与板面

垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为 dJ?r2dm

y ?b 0 a dm x ???ab22ab??22?(x2?y2)?dxdy

?12ab(a2?b2)

证明二：如图，在板上取一细棒dm??bdx，对通过细棒中心与棒垂直的转动轴的转

动惯量为

1dm?b2，根据平行轴定理，对与板12y 面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为

dJ?1adm?b2?dm(?x)2 b 1221a??b3dx??b(?x)2dx 12211?J??dJ??b3a??ba31212ab(a2?b2)

0 a dm x ??123－5 质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如本题图所示的组合轮两端。设两轮

的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳中的张力。

解：分别对两物体做如图的受力分析。根据牛顿定律，有

m1g?T1?m1a1 T2?m2g?m2a

2

又因为组合轮的转动惯量是两轮惯量之和，根据转动定理有

T1R?T2r?(J1?J2)?

而且，a1?R?，a2?r?，

?a1?m1R?m2rgR22J1?J2?m1R?m2rm1R?m2rgr

J1?J2?m1R2?m2r2

a2?T2 T1?J1?J2?m2r?m2Rrm1g

J1?J2?m1R2?m2r22Bm2ga2 T1a1 AJ1?J2?m1R2?m1Rr T2?m2g 22J1?J2?m1R?m2rm1g3－6 如本题图所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为m1和m2的物体A、B。A置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ。若B向下作加速运动时，求：（1）其下落加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑） 解:A、B物体的受力分析如图。根据牛顿定律有 T1?m1gsin??f?m1a1

Nm2g?T2?m2a2

对滑轮而言，根据转动定律有 T2r?T1r?J?

由于绳子不可伸长、绳与轮之间无滑动，则 a1?a2?r? ?a1?a2?AfT1a1T2?m1gBm2ga2m2g?m1gsin???m1gcos? 2m1?m2?Jrm1m2g(1?sin???cos?)?(sin???cos?)m1gJr2 T1?2m1?m2?Jrm1m2g(1?sin???cos?)?m2gJr2 T2?m1?m2?Jr23－7 如本题图所示，质量为M长为L的均匀直杆可绕过端点o的水平轴转动，一质量为m的质点以水平速度v与静止杆的下端发生碰撞，如图示，若M=6m，求质点与杆分别作完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞后杆的角速度大小。

3

解：（1）质点与杆完全弹性碰撞，则能量守恒

12112mv?J?2?mv1 222o M m v 习题3-7图

又因为角动量守恒 Lmv?Lmv1?J?

12 且 J?ML，M?6m

32v ???

3L (2) 完全非弹性碰撞，角动量守恒 Lmv?Lmv2?J? 又 v2??L ???L v 3L 3－8 一半径为R、质量为m的匀质圆盘，以角速度ω绕其中心轴转动，现将它平放在一水平板上，盘与板表面的摩擦因数为μ。（1）求圆盘所受的摩擦力矩。（2）问经过多少时间后，圆盘转动才能停止？ 解：（1）如图，在圆盘上距盘心r处取宽度为dr的圆环为微元，该圆环所受的摩擦力与半

???径垂直，所以摩擦力矩dM?r?df沿转动轴方向，且

dM?rdf ?r?(dm)g

R dr r ?df m ?r?(2?rdr)g

?R2 ?M?dM

?2?mgR2rdr 2?0R2 ??mgR

312 （2）圆盘角动量 J?mR

2d?转动定理 M??J???J

dtMt ?0????J ? ?t?J?3?R? M4?g3－9 一质量为M，半径为R，并以角速度ω旋转着的飞轮(可看做均质圆盘)，在某一

瞬间突然有一质量为m的碎片从轮的边缘飞出，如本题图所示。假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上，求：(1)碎片所能上升的高度；(2)余下部分的角动量。

4

解：（1）碎块抛出时的初速度为 v0??R

2v0?2R2?竖直上抛能达到的高度 h? 2g2g（2）圆盘裂开过程中角动量守恒，设裂开前圆盘角动量为L0，碎块角动量为L?，余下部分角动量为L，则L?L0?L?。

习题3－9图

L0?J??1MR2? 2L??mR2?

1?L?(M?m)R2?

23－10如本题图所示，半径分别为r1、r2的两个薄伞形轮I和Ⅱ，它们各自对通过盘心且垂直盘面转轴的转动惯量为J1和J2。开始时轮Ⅰ以角速度ω0转动，问与轮Ⅱ成正交啮合后，两轮的角速度分别为多大？

解：设相互作用力为F，啮合时间为?t，根据角动量定理有 ?Fr1?t?J1(?1??0) Fr2?t?J2?2

啮合后两轮具有相同的线速度，即 r1?1?r2?2

J1?0r1r2J1?0r22?? ??1?， 22222J1r2?J2r1J1r2?J2r1习题3－10图

3－11一质量为20.0kg的小孩，站在一半径为3.0m、转动惯量为450kg·m2的静止水平

转台的边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦不计。如果此小孩相对转台以1.0m/s的速率沿转台边缘行走，问转台的角速率有多大？ 解：小孩相对转台的角速度 ?1?v R 小孩相对地面的角速度 ???0??1，

其中?0是转台相对地面的角速度。

根据角动量守恒定律有 J0?0?J1??0,

其中J0、J1分别是转台和小孩对转台中心轴的转动惯量，

J1?mR2

5

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