概率论与数理统计复习资料要点总结

《概率论与数理统计》复习提要

第一章 随机事件与概率

1．事件的关系 A B A B AB A B A AB 2．运算规则 （1）A B B A AB BA

（2）(A B) C A (B C) (AB)C A(BC)

（3）(A B)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B C) （4）A B AB AB A B

3．概率P(A)满足的三条公理及性质： （1）0 P(A) 1 （2）P( ) 1

n

n

（3）对互不相容的事件A1,A2, ,An，有P( Ak)

k 1

k 1

P(Ak) （n可以取 ）

（4）P( ) 0 （5）P(A) 1 P(A)

（6）P(A B) P(A) P(AB)，若A B，则P(B A) P(B) P(A)，P(A) P(B) （7）P(A B) P(A) P(B) P(AB)

（8）P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC) 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率

（1） 定义：若P(B) 0，则P(A|B)

P(AB)P(B)

（2） 乘法公式：P(AB) P(B)P(A|B) 若B1,B2, Bn为完备事件组，P(Bi) 0，则有

n

（3） 全概率公式： P(A)

i 1

P(Bi)P(A|Bi)

（4） Bayes公式： P(Bk|A)

P(Bk)P(A|Bk)

n

i 1

P(Bi)P(A|Bi)

7．事件的独立性： A, B独立 P(AB) P(A)P(B) （注意独立性的应用）

第二章 随机变量与概率分布

1． 离散随机变量：取有限或可列个值，P(X xi) pi满足（1）pi 0，（2） pi=1

i

（3）对任意D R，P(X D)

i: xi D

pi

2． 连续随机变量：具有概率密度函数f(x)，满足（1）f(x) 0,

（2）P(a X b) -

f(x)dx 1；

b

a

f(x)dx；（3）对任意a R，P(X a) 0

4． 分布函数 F(x) P(X x)，具有以下性质

（1）F( ) 0, F( ) 1；（2）单调非降；（3）右连续； （4）P(a X b) F(b) F(a)，特别P(X a) 1 F(a)； （5）对离散随机变量，F(x) （6）对连续随机变量，F(x)

x

i: xi x

pi；

'

f(t)dt为连续函数，且在f(x)连续点上，F(x) f(x)

5． 正态分布的概率计算 以 (x)记标准正态分布N(0,1)的分布函数，则有 （1） (0) 0.5；（2） ( x) 1 (x)；（3）若X~N( , )，则F(x) (

2

x

)；

（4）以u 记标准正态分布N(0,1)的上侧 分位数，则P(X u ) 1 (u ) 6． 随机变量的函数 Y g(X)

（1）离散时，求Y的值，将相同的概率相加；

（2）X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则

fY(y) fX(g

1

(y))|(g

1

(y))|，若不单调，先求分布函数，再求导。

'

第四章 随机变量的数字特征 1．期望

(1) 离散时 E(X) (2) 连续时E(X)

i

xipi，E(g(X))

i

g(xi)pi ；

xf(x)dx，E(g(X))

g(x)f(x)dx；

(3) 二维时E(g(X,Y))

i,j

g(xi,yj)pij，E(g(X,Y))

g(x,y)f(x,y)dxdy

(4)E(C) C；（5）E(CX) CE(X)； （6）E(X Y) E(X) E(Y)； （7）X,Y独立时，E(XY) E(X)E(Y) 2．方差

（1）方差D(X) E(X E(X))

2

E(X

2

) (EX)，标准差 (X)

2

D(X)；

（2）D(C) 0, D(X C) D(X)； （3）D(CX) CD(X)；

（4）X,Y独立时，D(X Y) D(X) D(Y) 3．协方差

（1）Cov(X,Y) E[(X E(X))(Y E(Y))] E(XY) E(X)E(Y)； （2）Cov(X,Y) Cov(Y,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)； （3）Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y)；

（4）Cov(X,Y) 0时，称X,Y不相关，独立 不相关，反之不成立，但正态时等价； （5）D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)

2

4．相关系数

XY

Cov(X,Y)

(X) (Y)

k

；有|

XY

| 1，|

XY

| 1 a,b, P(Y aX b) 1

5．k 阶原点矩

k

E(X

)，k 阶中心矩

k

E(X E(X))

k

第五章 大数定律与中心极限定理

1．Chebyshev不等式 P{|X E(X)| } 2．大数定律

3．中心极限定理

（1）设随机变量X1,X2, ,X

n

D(X)

2

或P{|X E(X)| } 1

D(X)

2

独立同分布E(Xi) , D(Xi)

n

2

，则

n

i 1

X

i

~N(n , n

近似

2

)， 或

1n

n

i 1

X

i

~N( ,

近似

n

2

) 或

i 1

Xi n

~N(0,1)，

n

近似

（2）设m是n次独立重复试验中A发生的次数，P(A) p，则对任意x，有

m npnpq

limP{

n

x} (x)或理解为若X~B(n,p)，则X~N(np,npq)

近似

第六章 样本及抽样分布 1．总体、样本

（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）； （2） 样本数字特征： 样本均值

X

1n

n

i 12

X

i

（E(X) ，D(X)

n

2

）；

样本方差

S

n 1

1

n

(X

i

X)

2

（E(S)

22

）样本标准差

i 1

S

n 1

1

n

(X

i

X)

2

i 1

样本k阶原点矩

k

1n

n

i 1

X

ki，样本k阶中心矩 k

1n

n

i 1

(X

i

X)

k

2．统计量：样本的函数且不包含任何未知数

3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）

2

（1） 分布

2

X

21

X

22

X

2n

~

2

2

(n)，其中X

1

,X

2

, ,X

n

独立同分布于标

准正态分布N(0,1)，若X~ (n1), Y~ (n2)且独立，则X Y~ (n1 n2)；

22

（2）t分布 t

XY/n

~t(n)，其中X~N(0,1), Y~ (n)且独立；

2

（3）F分布 F

X/n1Y/n2

~F(n1,n2)，其中X~

2

(n1),Y~

2

(n2)且独立，有下面的

性质

1F

~F(n2,n1), F 1 (n1,n2)

1F (n2,n1)

4．正态总体的抽样分布 （1）X~N( ,

2

/n)； （2）

1

n2

i 1

(X

i

)

2

~

2

(n)；

（3）

(n 1)S

2

2

~ (n 1)且与X独立；

2

（4）t

X S/

n

~t(n 1)；

（5）t

(X Y) ( 1 2)

S

n1n2n1 n2

~t(n1 n2 2)，S

2

(n1 1)S1 (n2 1)S2

n1 n2 2

22

（6）F

S1/ S2/

2

22122

~F(n1 1,n2 1)

第七章 参数估计

1．矩估计：

（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计：

（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min{xi}或max{xi}） 3．估计量的评选原则

(1)无偏性：若E( ) ，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；

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