实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（5） 本科

一、填空题

1．设A,B为集合，则A?B___(B\\A)?A

2．设E?R，如果E满足E?E（其中E表示E的内部），则E是

n00)必为G3．设G为直线上的开集，若开区间(a,b)满足(a,b)?G且a?G,b?G，则(a,b的

4．设A?{x|x?2n,n为自然数}，则A的基数a(其中a表示自然数集N的基数) 5．设A,B为可测集，B?A且mB???，则mA?mB__m(A\\B)

6．设f(x)是可测集E上的可测函数，则对任意实数a,b(a?b)，都有E[xa?f(x)?b]是

7．若E(?R)是可数集，则mE__0 8．设

?fn(x)?为可测集E上的可测函数列，f(x)为E上的可测函数，如果

fn(x)?f(x)二、选择题

1a.e(x?E)，则fn(x)?f(x)x?E（是否成立）

1、设E是R中的可测集，?(x)是E上的简单函数，则 （ ） （A）?(x)是E上的连续函数 （B）?(x)是E上的单调函数 （C）?(x)在E上一定不L可积 （D）?(x)是E上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ）

（A）A?(B?C)?(A?B)?(A?C) （B）(A\\B)?A?? （C）(B\\A)?A?? （D）A?B?A?B

n3. 若E?R是闭集，则 （ ）

??0（A）E?E （B）E?E （C）E?E? （D）E?E?

三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）

}，则（ ） 1．设E?{[0,1]中的有理点（A）E是可数集 （B）E是闭集

（C）mE?0 （D）E中的每一点均为E的内点

2．若E(?R)的外测度为0，则（ ） （A）E是可测集（B）mE?0

（C）E一定是可数集（D）E一定不是可数集

3．设mE???，?fn(x)?为E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，如果fn(x)?f(x),(x?E)，则下列哪些结果不一定成立（ ） （A）

?Ef(x)dx存在（B）f(x)在E上L-可积

fa.e（C）n(x)?f(x)(x?E)（D）limn???Efn(x)dx??Ef(x)dx

4．若可测集E上的可测函数f(x)在E上有L积分值，则（ ） （A）f?(x)?L(E)与f?(x)?L(E)至少有一个成立 （B）f?(x)?L(E)且f?(x)?L(E) （C）|f(x)|在E上也有L-积分值 （D）|f(x)|?L(E)

四、判断题

1. 可列个开集的交集仍为开集 2. 任何无限集均是可列集 3. 设E为可测集，则一定存在F?集F，使F?E，且m?E\\F??0. 4. 设E为零测集，则f?x?为E上的可测函数的充要条件是：E??xf(x)?a??是可测集 五、定义题

1. 可测函数列几乎处处收敛、依测度收敛和近一致收敛的关系？

2. 可测集E上的可测函数与连续函数有什么关系？

3.?a,b?上的绝对连续函数与有界变差函数有什么关系？

（ ） （ ） （ ） ?实数a都有

（ ）

六、计算题 1. 设D?x??? 2. 求lim?1??1x为?0，上的有理点，求?D?x?dx.

0x为0，上的无理点1???1???0，n??0???ln?x?n??xecosxdx. n

七、证明题

*1．设E?R是有界集，则mE???

n

2．R上的实值连续函数f(x)是可测函数

3．设mE???，函数f(x)在E上有界可测，则f(x)在E上L?可积，从而[a,b]上的连续函数是L?可积的

4．设fn(x)（n?1,2,?）是E上的L?可积函数，如果limn??En1?则fn(x|fn(x)|dx?0，)?0

实变函数试题库及参考答案（2） 本科

一、填空题

1.= 2.开集 3.构成区间 4.= 5.= 6.可测集 7.=8.不一定成立 二、单选题 1.D2.A 3.B 三、多选题

1.AC 2.AB 3.ABCD 4.AD 四、判断题 ××√√ 五、定义题

1.答：设fn?x?,f?x?是可测集E上的一列可测函数，那 当mE???时，fn?x??f?x?,a.e于E，必有fn?x??f?x?. 反之不成立，但不论mE???还是mE???，

?f?x??存在子列?f?x??，使

nnkfnk?x??f?x?,a.e于E.

当mE???时，fn?x??f?x?,a.e于E，由Egoroff定理可得fn?x?近一致收敛于

f?x?，反之，无需条件mE???，结论也成立.

2.答：E上连续函数必为可测函数但E上的可测函数不一定时连续函数，E上可测函数在E上是“基本上”连续的函数

3.答：绝对连续函数必为有界变差函数但有界变差函数不一定为绝对连续函数

六、解答题

1.证明 记E1是?0,1?中有理数集，E2是?0,1?中无理数集，则

?0,1??E1?E2,E1?E2??，mE1?0,mE2?1，且D?x??1?E所以

?0,1?1?0?E2，

?D?x?dx?1mE?0mE12?0.

ln?x?n??xecosx?0 2.解 易知limn??nln?x?n??xln?x?n?ecosx?对任意x?0,n?1， nny?ln?x?y?ln?x?y?x?y设f(y)?，y?0，则f?(y)?， 2yy当y?3时，

y?1?ln?x?y?，f?(y)?0. x?y则f(n)?ln?x?n?是单调减函数且非负（n?3）； n又limln?x?n?1?lim?0，由Levi单调收敛定理得

n??n??nx?n??????ln?x?n?ln?x?n?ln?x?n?dx??limdx??0dx?0，即?L(E)，

0n??0nnnlim?n??0再由Lebsgue控制收敛定理得

??????ln?x?n??xln?x?n??xecosxdx??limecosxdx??0dx?0

0n??0nnlim?n??0

七、证明题

1..证明 因为E是有界集，所以存在开区间I，使E?I

mE?mI， 由外测度的单调性，而m*I?|I|???（其中|I|表示区间I的体积），

所以 mE???

2.证明 因为f(x)连续，所以对任何实数a，{x|f(x)?a}是开集，而开集为可测集，因此f(x)是可测函数

3.证明 因为f(x)在E上有界可测，所以存在M?0，使|f(x)|?M，x?E，|f(x)|是非负可测函数，由非负可测函数的积分单调性，

***?|f(x)|dx??EEMdx?M?mE???

故|f(x)|在E上L?可积，从而f(x)在E上L?可积 因为[a,b]上的连续函数是有界可测函数，所以L?可积的

4.证明 对任何常数??0，??mE[x|fn(x)|??]?所以 mE[x|fn(x)|??]??E[x|fn(x)|??]|fn(x)|dx

??1E[x|fn(x)|??]|fn(x)|dx

?1??|fEn(x)|dx?0(n??)

因此 fn(x)?0

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