第11章 机械振动学习指导

第11章 机械振动

内容提要

1． 振动

（1）机械振动：物体在其平衡位置附近作来回反复的运动，称为机械振动。

（2）简谐振动：一个作往复运动的物体，如果在其平衡位置附近的位移按余弦函数（或正

弦函数）的规律随时间变化，这种运动称为简谐振动。 2． 简谐振动的特征 （1）简谐振动的动力学特征

作简谐振动的物体受到的力为线性回复力，即：

F??kx

取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程为：

d2x??2x?0 2dt（2）简谐振动的运动学特征

作简谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦函数关系，即：

x?Acos(?t??)

由上式导出物体的振动速度

v??A?sin(?t??)

物体的振动加速度

a???2Acos(?t??)

3． 简谐振动的特征物理量

（1）振幅A

物体偏离平衡位置的最大位移的绝对值叫做振幅。它给出了物体运动的范围。对于给定的振动系统，A的值由初始条件决定，即：

A?x?202v0?2

（2）周期T、频率ν和角频率ω

作简谐振动的物体从某振动状态发生周而复始的一次变化称为一次全振动，作一次全振

动的时间间隔称为振动的周期；周期T的倒数??1T代表物体在单位时间内发生全振动

的次数，称为振动的频率；ω表示在2π秒时间内发生全振动的次数，称为振动的角频率。它们都是由振动系统的力学性质决定，之间的关系为：

??（3）位相(?t??)及初位相?

2??2?? T 位相(?t??)是描述简谐振动物体瞬间运动状态的物理量；初位相?是位相的初始值，它与振动物体的初始状态对应，其值由初始听见决定，即：

??arctg(?v0) ?x04． 简谐振动的旋转矢量法

将简谐振动与一旋转矢量对应，使矢量作逆时针匀速转动，其长度等于简谐振动的振幅A，其角速度等于简谐振动的角频率ω，且t=0时，它与参考坐标轴的夹角为简谐振动的初位相?，t=t时刻它与参考坐标轴的夹角为简谐振动的位相(?t??)，旋转矢量A的末端在参考坐标轴上的投影点的运动即代表质点做简谐振动。 5． 简谐振动的能量

简谐振动系统既有动能，又有势能，它们都随时间变化而变化，但总的机械能守恒，即：

11m?2?m?2A2sin2(?t??) 2212122势能：Ep?kx?kAcos(?t??)

2211222机械能：E?Ek?Ep?m?A?kA

22动能：Ek?6． 阻尼振动

当振动系统受到各种阻尼作用时，系统的玻璃将不断减少，振幅也随时间增加而不断减小。这种系统能量（或振幅）随时间增大而减小的振动为阻尼振动。 7． 受迫振动

振动系统在周期性外力的持续作用下进行的振动称为受迫振动。这种周期性外力称为强迫力。稳态时，振动频率等于强迫力。当强迫力的频率等于振动系统的故有频率时将发生共振现象。

8． 简谐振动的合成

（1）同方向、同频率的简谐振动的合成

合成后仍为同方向、同频率的简谐振动，合振动的振幅和初位相由两分振动的振幅和处位相决定，即：

振幅： A?2A12?A2?2A1A2cos?(2??1)

初位相：??arctgA1sin?1?A2sin?2

A1cos?1?A2cos?2当两个简谐振动的位相差为：

?2??1??2k?(k?0,1,2,?)时，

合振动振幅最大，即A?A1?A2； 当两个简谐振动的位相差为：

?2??1??(2k?1)?(k?0,1,2,?)时，

合振动振幅最小，即；A?A1?A2。 （2）同方向、不同频率的简谐振动的合成

两振动频率差与她们的频率相比很小时，合成后产生拍的现象，拍频??等于两振动的频率差，即：

????2??1

（3）相互垂直的两个同频率简谐振动的合成

合运动的轨迹通常为椭圆，其具体形状决定于两分振动的位相差和振幅。 （4）相互垂直的两个不同频率简谐振动的合成

两个分振动的频率为简单整数比时，合运动轨迹为李萨如图形。

解题指导与示例

学习本章应重点掌握谐振动的特征、振动方程以及旋转矢量方法的运用，既要注意对相关概念的理解，又要注意将概念及理论用以解决相关的实际问题。

本章主要问题是在加深对简谐振动的特征及规律的理解，题型主要有如下几类： 1、判断物体是否作简谐振动。可通过对物体的受力分析，看合力是否具有F??kx的形式，或通过对物

体的受力分析，建立动力学关系，看是否能出到简谐振动的微分方程的形式。

2、根据系统的力学性质和初始条件，写出振动方程。可通过对已知条件的分析，求出A、ω、?来解决，既可用解析法，也可用旋转矢量法。

3、已知振动方程求描述谐振动的特征量（如A、ω、T等）或振动状态量（如x、v、Ek、Ep等）。这类问题可通过正确理解各量的物理意义及其相互关系来解决。

例11-1 如图所示，劲度系数分别为k1、k2的两个弹簧与质量为m的物体连接成系统。忽略各种摩擦阻力，问物体的运动是否为简谐振动？

解 判断物体运动是否为谐振动的方法通常有二：一是看其受力特点，二是看其运动规律。本题给出了物体的受力情况，因此应从其受和特点来分析：先找出其受力示式，后分析其受力特点，然后再根据特点来下结论。

以物体的平衡位置为原点O作X轴。当物体处 于x位置时，所受合力：

F?F1?F2??k1x?k2x??(k1?k2)x??kx

式中，k?k1?k2，故知物体的运动为简谐振动。 图11-1

例11-2 长为0.5m的轻弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.10kg的砝码。当砝码静止时，弹簧的长度为0.6m，若将砝码上抬，使弹簧缩短到原长后释放。 （1）证明砝码的上、下运动为简谐振动； （2）求此简谐振动的振幅和角频率；

（3）求此简谐振动的振动方程（从释放开始计时）。

解 （1）建立如图所示的坐标系。设未挂砝码时弹簧的自由端为坐标原点O′，挂砝码后新的平衡位置为点O，弹簧的伸长量为Δl，于是有

mg=kΔl F=mg－kx′

（1） （2）

设振动中的某一时刻砝码位于x′处，则其所受的合外力 将式（1）代入式（2），得

F=kΔl－kx′=－k（x′－ΔlΔl）

OX，于是有

（3）

令x′=x′－Δl并以新的平衡位置点O建立新坐标轴

F=－kx

可见，砝码的运动是以O为原点的简谐振动。 图11-2 （2）据题意知A=Δl=0.10m，故

??k?mg??l9.8?9.9(rad?s?1)0.10 ?Acos???0.10m，即

x （3）因t=0时，0为

cos???1，故知???，砝码的简谐振动方程

x?010cos(9.9t??)（m）

例11-3 两个频率和振幅都相同的简谐振动的x－t关系曲线如图所示，求 （1）两个简谐振动的相位差；

（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程。

?? 解 （1）由题给的x－t图可知，A1=A2=5cm，T=4s，

?2s?1。t=0时，两简谐振动的旋转矢量图

如图（b）所示。利用旋转矢量图示法可判定

（2）利用旋转矢量法可知合成振动的振幅

?1?0,?2??32A?合成振动的初相

2A12?A2?52?52?52（cm）

??arctan?A2y??arctan??xA14

?合成振动的角频率与分振动的角频率相同，都为

2s?1。故合成振动的振动方程为

x?52cos(t?)24（cm）

图11-3

例11-4 如图所示，一质量为m的匀质直杆放在两个迅速旋转的轮上，两轮旋转方向相反，轮间距离

??l=20cm，杆与轮之间的摩擦系数

?=0.18。证明在此情况下直杆作谐振动，并求其振动周期。

解 以两轮轮心间距的中心为原点作X轴，当重心由x=0处移到x处时考虑到杆对通过A2的水平轴（与

X轴垂直）无转动，于是有

1T1l?mg(?x)?02

同理可得

（1）

1T2l?mg(?x)?02

（2）

由式（1）、（2）得 图11-4

T1?T2??2mgxl

（3）

故杆受到的摩擦力（沿X轴）

16-5所示，则有：kO?O?(M?m)g

设当B与A粘在一起后，在其运动过程的任一位置，弹簧形变量OO??x，则A、B系统所受合力为：

F?(M?m)g?k(O?O?x)??kx

即 (M?m)d2xdt2?kx?0

可见A与B作简谐振动。 （2）由上式知，??k?10rad/s M?m以B与A相碰点为计时起点，此时A与B在P点，由图题16-5可知 OP?O?O?O?P?MgmgM?m g??kkkmg??0.02m（负号表P点在O点上方） k则t=0时，x0??OP??2???01?2gh?2m/s 又B与A为非弹性碰撞，碰撞前B的速度为：?01碰撞后，A、B的共同速度为：?0?则t=0时，?0

??0.4m/s?02x02?0?m?01?0.4m/s （方向向上） M?m?x??0.02m可求得：A???2?0.0447m

??arctan(??0)?0.65? x0? 可知A与B振动系统的振动表达式为：x=0.0447cos(10t+0.65?)m （3）弹簧所受的最大拉力，应是弹簧最大形变时的弹力，最大形变为：

?x?O?O?A?M?mg?A?0.1447m k则最大拉力 Fmax=k?x=72.4N?【16-6】解：（1）已知A=0.24m， ??2???，如选x轴向下为正方向。 T212已知初始条件x0=0.12m，?0<0即 0.12=0.24cos?，cos??,???而 ???－??sin?<0，sin???，取??x?0.24cos(t?)m

23?3?

?3，故：

??（2）如图题16-6所示坐标中，在平衡位置上方0.12m，即x=－0.12m处，有：

??1cos(t?)??

232?2t??3??2? 3因为所求时间为最短时间，故物体从初始 位置向上运动，?<0。?则取

?2t??3?2? 3可得： tmin?2s 图题16-6 3（3）物体在平衡位置上方0.12m处所受合外力F=－m?x=0.3N，指向平衡位置。?【16-7】解：子弹射入木块为完全非弹性碰撞，设?为子弹射入木块后二者共同速度，由动量恒定可知；? u?m??2.0m/s M?m不计摩擦，弹簧压缩过程中系统机械能守恒，即： 112 （x0为弹簧最大形变量） (M?m)u2?kx022x0?M?mu?5.0?10?2m k由此简谐振动的振幅 A=x0=5.0×10-2 系统圆频率??k?40rad/s M?m若取物体静止时的位置O（平衡位置）为坐标原点，Ox轴水平向右为正，则初始条件为： t=0时，x=0，?0=u=2.0m/s>0?

由 x0=acos?,?0=－A?sin?，得：????2?

则木块与子弹二者作简谐振动，其振动表达式为： x?5.0?10?2cos(40t?)m

2?【16-8】解：当物体m1向右移动x时，左方弹簧伸长x，右方弹簧缩短x，但它们物体的作用方向是相同的，均与物体的位移方向相反，即 F=－（k1x+k2x）

令F=－kx，有：k=k1+k2=4N/m 由 T?2?m k得 m1?T12k4?2?0.10kg

则粘上油泥块后，新的振动系统质量为： m1+m2=0.20kg 新的周期 T2?2?m1?m2?1.4s k在平衡位置时，m2与m1发生完全非弹性碰撞。 碰撞前，m1的速度?1=?1A1=0.10?m/s?设碰撞后，m1和m2共同速度为?。?根据动量守恒定律， m1?1=(m1+m2)??则 ??m1?1?0.05?m/s

(m1?m2)新的振幅 A2???T??0.035m ?22?【16-9】解：以两轮轮心间距的中心为原点，作x轴，当重心由x=0处移到x处时，考虑到杆对通过A2点的水平轴（与x轴垂直）无转动，于是有： lT1l?mg(?x)?0

2l同理可得：T2l?mg(?x)?0

2由上两式，得：T1?T2??2mgx l故杆受到的摩擦力（沿x轴）为：

md2xdt2?T1??T2???(T1?T2)??2mg?x l于是有：

d2xdt2?2?gx?0 l可见杆的运动为简谐振动：

T?2??2?12?g?1.5s

??【16-10】解：（1）由振动方程x?0.60sin(5t?)知， A=0.6m，?=5rad/s

2故振动周期：T?2???1.26s

（2）t=0时，由振动方程得： x0=－0.60m

?0?dx?|t?0?3.0cos(5t?)?0 dt2（3）由旋转矢量法知，此时的位相：???速度 ???A?sin???0.60?5?(??3

3)m/s?2.6m/s 21加速度 a??A?2cos???0.60?52?m/s2??7.5m/s2

2所受力 F=ma=0.2×(－7.5)N=－1.5N

（4）设质点在x处的动能与势能相等，由于简谐振动能量守恒，即： Ek?Ep?E?12kA 2111E?(kA2) 222故有：Ek?Ep?即

12112kx??kA 2222A??0.42m 2可得： x??【16-11】解：（1）砝码运动到最高点时，加速度最大，方向向下，由牛顿第二定律，有： mamax=mg－N

N是平板对砝码的支持力。

故N=m(g－amax)=m(g－A?2)=m(g-4?2vA)=1.74N

砝码对板的正压力与N大小相等，方向相反。砝码运动到最低点时，加速度也是最大，但方向向上，由牛顿第二定律，有： mamax?N??mg

)?m(g?4?2v2A)?8.1N 故 N??m(g?amax砝码对板的正压力与板对砝码的支持力N?大小相等，方向相反。 （2）当N=0时，砝码开始脱离平板，故此时的振幅应满足条件： N=m(g－4?2vAmax)=0 Amax?g4?v22?0.062m

（3）由Amax?g4?v22，可知，Amax与v2成反比，当v??2v时，

??Amax1Amax?0.0155m 4【16-12】解：（1）设振子过平衡位置时的速度为?，由机械能守恒，有： 121kA?m?2 22故 ???Ak m m?在平衡位置处竖直落下至m，发生完全非弹性碰撞，系统动量守恒，有： m?=(m+m?)u 故 u?m? m?m?此后，系统振幅为A?，由机械能守恒，有： 11kA?2?(m?m?)u2 22得： A??mA m?m?m?m? k有： T??2?（2）碰撞前后系统总能量变化为： ?E?111mm?12kA?2?kA2?kA2(?1)??(kA) 222m?m?m?m?2式中，负号表示能量损耗，这是泥团与物体的非弹性碰撞所致。

（3）当m达到振幅A时，m?竖直落在m上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A，周期为：2?m?m?1，系统的振动总能量不变，为kA2（非弹性碰k2撞损耗的能量为源于碰撞前m?的动能）。

11 物体系统过平衡位置时的速度??由：kA2?(m?m?)??2

22得： ????kA m?m?【16-13】解：（1）由放置矢量法可知，振子从为： ????AA运动到的位置处，角位相的最小变化

22?3

????rad/s ?t3则圆频率 ??周期 T?2???6s

图题16-19 图题16-20

【16-20】解：根据题意画出振幅矢量合成图，如图题16-20所示。 由图题5－20及余弦定理可知，

A2?A12?2AA1cos30??202?17.32?2?20?17.3?3cm 2A2? =10cm=0.10m 又因为

cos???cos(???????

2A2?(A12?A2)400?(300?100) ???0

2A1A22?17.3?10若????2，即第一、第二两个振动的位相差为

? 2【16-21】解法一

设杆与铅垂线的夹角为?。?系统动能：Ek?11Gd?2m?2?(l) 22gdt系统势能由两部分组成：一是：Eph=mgh=Gh=Gl(1-cos?) 因cos??1?2sin2二是：Epk??2，故有：Eph?1Gl?2?211k(?x)2?k(??)2 221Gd?211(l)?Gl?2?k(a?)2?常量 2gdt22根据能量守恒定律，有：

将上式对时间t求导数，整理得：

d2?dt2gka2?(1?)??0 lGl上式符合简谐振动的振动表达式，则其固有角频率 ??gka2(1?) lGl解法二 当系统在平衡位置（?=0）时，如图题16-21（b）所示，动能具有最大值，即

Ekmax?1G(l?m)2式中，?m为角速度的最大值。设系统的振幅?m，固有频率为?，则 2g?m???m 代入上式，有：

EkmaxGl2?22??m

2g当系统在极端位置（???m）时，如图题16-21（c）所示，势能最大，这时弹簧伸长为a?m,其势能为：Ep1?12ka2?m2 小球中心自平衡位置上升的距离为： h?l(1?cos?m)?l(1?1?2sin2?m2)?2l(?m2)2?12l?m2 则重力势能为：Ep2?Gh?122Gl?m 系统的势能最大值为：E1pmax?EP1?EP2?2ka2?m2?122Gl?m根据机械能守恒定律，Ekmax=Kpmax

故有 Gl2?22g?m2?122122ka?m?2Gl?m 整理得系统的固有角频率为：??gka2l(1?Gl)

图题16-21（a） 图题16-21（b） 【16-22】解：根据相对运动公式，有?x光对地=x光对屏+x屏对地 依题意，

x光对地=x1=Acos(?t+?1) x屏对地=x2=Acos(?t+?2)

16-21（c）

图题则 x光对屏=x1－x2

=Acos(?t+?1)－Acos(?t+?2) ??2Asin?(t??1??22)sin?1??22

（1）要求光点相对屏不动，即x光对屏=0，则由上式可知，sin（2）当光点相对于屏的振幅2A时，有：sin?1??22?1??22?0，即?????

?1，即??－?????

可见，要使光点相对屏不动，则要求?????，即手电筒和屏的振动始终要同步（同位相），为此，把它们往下拉?位移后，同时释放即可，若要使光点对屏有??的振幅，二者必须位相反，即??－?????，为此让手电筒位于平衡点?上方的（－?）处，而屏而位于（??）处，同时释放即可。??

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gy7a.html