2012年广州一模数学（理科）试卷（word版，含答案）

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科） 2012.3

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答

题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V?2 方差s?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 32221?x?x???xnx1?x?x2?x?????xn?x?，其中x?12.

???n?n??????一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的． 1．已知复数a?bi?i?1?i?（其中a,b?R，i是虚数单位），则a?b的值为

A．?2 B．?1 C．0 2．已知全集U?R，函数y? D．2

1的定义域为集合A，函数y?log2?x?2?的定义域为集合B，则集合x?1?eA??B?

UA．??2,?1? B．??2,?1? C．???,?2? D．??1,??? 3．如果函数f?x??sin??x??????的相邻两个零点之间的距离为，则?的值为 ??0???126? D．24

2A．3 B．6 C．12

2224．已知点P?a，b?（ab?0）是圆O：x?y?r内一点，直线l的方程为ax?by?r?0，那么直线l与圆O的位置关系是

A．相离 B．相切 C．相交

D．不确定

5．已知函数f?x??2x?1，对于任意正数a，x1?x2?a是f?x1??f?x2??a成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知两个非零向量a与b，定义a?b?absin?，其中?为a与b的夹角．若a=??3,4?， b=?0,2?，

·1·

则a?b的值为

A．?8 B．?6 C．8

D．6

?7．在△ABC中，?ABC?60，AB?2，BC?6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概

率为 A．

1112 B． C． D． 63238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标?x,y,z?，

若x?y?z是3的倍数，则满足条件的点的个数为

A．252 B．216 C．72 D．42

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 2 2 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．

2 210．已知2≤?kx?1?dx≤4，则实数k的取值范围为 ． 正(主)视图

2 2 2 ?1侧(左)视图

11．已知幂函数y?m?5m?7x则实数m的值为 ．

?2?m2?6在区间?0,???上单调递增，

2 12．已知集合A?x1≤x≤2，B?xx?a≤1，若AIB?A，

????2 图1 俯视图 则实数a的取值范围为 ．

13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子

来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称

为五角形数，其中第1个五角形数记作a1?1，第2个五角形数记作a2?5，第3个五角形数记作a3?12，第4个五角形数记作a4?22，……，若按此规律继续下去，则a5? ，若an?145，则n? ．

B 22 C 1 5 12

图2

A （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，

P O D CP1?，则CD的长为 cm． CD315．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的

OP?3cm，弦CD过点P，且

参数方程分别为l：?图3

?x?t?2,?x?1?s,（s为参数）和C：?（t为参数），若l与C相交于A、B两点，2?y?t?y?1?s·2·

则AB? ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?tan?3x?????（1）求?．4????f??的值； ?9?（2）设????,??3???，若2????????f????2，求cos????的值．

4??34??

17．（本小题满分12分）

如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中

甲组 乙组 的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．

9 7 8 7 已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．

（1）求a的值； 6 6 9 a 3 5 （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；

图4 （3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学

成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）．

（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）

如图5所示，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?6，平面PAC?平面ABC，PD?AC于点D，

AD?1，CD?3，PD?3．

（1）证明△PBC为直角三角形；

（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值． 19．（本小题满分14分）

PA

DB图5

C等比数列?an?的各项均为正数，2a4,a3,4a5成等差数列，且a3?2a22． （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?2n?5a，求数列?bn?的前n项和Sn．

?2n?1??2n?3?n 20．（本小题满分14分）

·3·

y2?1的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为5的已知椭圆x?42双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T． （1）求曲线C的方程；

（2）设P、T两点的横坐标分别为x1、x2，证明：x1?x2?1；

uuruur（3）设?TAB与?POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且PAgPB≤15，求S12?S22的

取值范围．

21．（本小题满分14分）

x2x3xn??L?（n?N*）设函数f(x)?e(e为自然对数的底数)，gn(x)?1?x?． 2!3!n!x（1）证明：f(x)≥g1(x)；

（2）当x?0时，比较f(x)与gn(x)的大小，并说明理由；

?2??2??2??2?*（3）证明：1??????????L??． ?≤gn?1??e（n?N）

?2??3??4??n?1?

123n

·4·

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15

题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．

9．43?2?

10．?,2? 11．3 12．?1,2? 13．35，10 14．62 15．2 3?3?

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）解：f?

?????9?

??tan?tan????34……3分?3?1??2?3．…4分 ?tan???………1分 ???1?3?34?1?tantan343???????????tan?????……5分?tan?????…6分?tan??2．…7分

44??34??（2）解：因为f?所以

sin??2，即sin??2cos?． ① cos?22因为sin??cos??1， ② 由①、②解得cos??21525?3??．…9分因为????,，所以，．……10分 cos???sin????555?2?所以cos???????52?25?2310???cos?cos?sin?sin????????……11分． 12分 ?????4452?5?2104?17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）

·5·

（1）解：依题意，得

11?(87?89?96?96)??(87?90?a?93?95)，……1分,解得a?3.…2分 44（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为x?92.……………………………3分

所以乙组四名同学数学成绩的方差为s?21?222287?92???93?92???93?92???95?92???9. ??4?……………………………5分

（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4?4?16种可能的结果．……………6分

这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表： X 乙 甲 87 0 6 6 8 89 2 4 4 6 96 9 3 3 1 96 9 3 3 1 87 93 93 95 所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分

1214，P(X?1)?，P(X?2)?，P(X?3)?， 161616162312P(X?4)?，P(X?6)?，P(X?8)?，P(X?9)?.

16161616所以随机变量X的分布列为：

由表可得P(X?0)?X P 随机变量X的数学期望为

0 1 2 3 4 6 8 9 ……………………10分

12142312 1616161616161616EX?0?12142312?1??2??3??4??6??8??9?…………………………11分 16161616161616166817??.…………………………………………………………………………………………12分 16418．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明1：因为平面PAC?平面ABC，平面PAC?平面ABC?AC， PD?平面PAC，PD?AC，

所以PD?平面ABC．…………………………………………………………………………………1分

记AC边上的中点为E，在△ABC中，AB?BC，所以BE?AC．

22因为AB?BC?6，AC?4，所以BE?BC?CE???62?22?2．………………3分 P因为PD?AC，所以△PCD为直角三角形． 因为PD?3，CD?3， 所以PC?PD?CD?22?3?2?32?23．………4分

A

·6·

连接BD，在Rt△BDE中，因为BE?2，DE?1，

EDB

C所以BD?BE?DE?22?2?2?12?3．…………5分

BD?平面ABC，因为PD?平面ABC，所以PD?BD．在Rt△PBD中，因为PD?3， BD?3，

所以PB?PD?BD?22?3???3?22?6．………6分

在?PBC中，因为BC?6，PB?6，PC?23，所以BC2?PB2?PC2．

所以?PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分

证明2：因为平面PAC?平面ABC，平面PACI平面ABC?AC， PD?平面PAC，PD?AC， 所以PD?平面ABC．…………………………………………………………………………………1分 记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB?BC，所以BE?AC． 因为AB?BC?6，AC?4，所以BE?BC?CE?22?6?2?22?2．………………3分

o连接BD，在Rt△BDE中，因为?BED?90，BE?2，DE?1，

所以BD?BE2?DE2???22?12?3．…4分在△BCD中，因为CD?3， BC?6，BD?3，

222所以BC?BD?CD，所以BC?BD．…5分因为PD?平面ABC，BC?平面ABC，

所以BC?PD．……6分因为BD?PD?D，所以BC?平面PBD．

因为PB?平面PBD，所以BC?PB．所以?PBC为直角三角形．…………7分

（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，则?APH为直线AP与平面PBC所成的角．…8分 由（1）知，△ABC的面积S?ABC?因为PD?3，所以VP?ABC?1?AC?BE?22．……9分 21126?S?ABC?PD??22?3?．……10分 333由（1）知?PBC为直角三角形，BC?6，PB?所以△PBC的面积S?PBC?6，

11?BC?PB??6?6?3．………11分 22因为三棱锥A?PBC与三棱锥P?ABC的体积相等，即VA?PBC?VP?ABC， 即?3?AH?132626，所以AH?．…12分在Rt△PAD中，因为PD?3，AD?1， 33262AH63?12?2．…13分因为sin?APH??3?．

AP23所以AP?PD2?AD2???所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为6．…………………………………………………14分 3解法2：过点D作DM∥AP，设DM?PC?M，

则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．……………………………………8分

·7·

由（1）知BC?PD，BC?PB，且PD?PB?P，

P所以BC?平面PBD．因为BC?平面PBC，

所以平面PBC?平面PBD．过点D作DN?PB于点N，连接MN， 则DN?平面PBC．

所以?DMN为直线DM与平面PBC所成的角．……10分

在Rt△PAD中，因为PD?3，AD?1， 所以AP?M

A

DN BCPD?AD?22?3?2?1?2．………11分

2 DMCDDM33??，所以DM?．………………12分 因为DM∥AP，所以，即APCA242由（1）知BD?3，PB?6，且PD?3，所以DN?PD?BD3?36．……13分 ??PB2666DN6因为sin?DMN?，所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．……14分 ?2?33DE32解法3：延长CB至点G，使得BG?BC，连接AG、PG，………8分

Po在△PCG中，PB?BG?BC?6，所以?CPG?90，即CP?PG．

222在△PAC中，因为PC?23，PA?2，AC?4，所以PA?PC?AC，

K 所以CP?PA．因为PAIPG?P，所以CP?平面PAG．…9分

过点A作AK?PG于点K，因为AK?平面PAG，

所以CP?AK．因为PGICP?P，所以AK?平面PCG． 所以?APK为直线AP与平面PBC所成的角．……11分 由（1）知，BC?PB，所以PG?PC?23． 在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点， 所以AG?2BE?22．…………12分

A

EDB

CG

222在△PAG中，PA?2，AG?22，PG?23，所以PA?AG?PG，即PA?AG．…13分

因为sin?APK?6AG226．所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．…14分 ??3PG233解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系

E?xyz，………8分

则A?0,?2,0?，B????AP?0,1,于是

??2,0,0?，C?0,2,0?，P?0,?1,3?．

????????3?，PB??2,1,?3?，PC??0,3,?3?． ·8·

Pz 设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，

A

EDCy x

B ??????n?PB?0,??2x?y?3z?0,则????即? ???n?PC?0.??3y?3z?0.取y?1，则z?3，x?2,1,3．………12分

????AP?n????46设直线AP与平面PBC所成的角为?，则sin??cos?AP,n?????． ???3AP?n2?6所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为

2．所以平面PBC的一个法向量为n???6．……………14分 3

若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：

（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系

E?xyz，……1分 则B???2,0,0，C?0,2,0?，P0,?1,3．

???????????于是BP??2,?1,3，BC??2,2,0．

????Pz ????????因为BP?BC??2,?1,3??2,2,0?0，

??????????所以BP?BC．所以BP?BC．

所以?PBC为直角三角形．…………7分 （2）由（1）可得，A?0,?2,0?．

AEDCy

x

B????????于是AP?0,1,3，PB????????2,1,?3，PC?0,3,?3．设平面PBC的法向量为n??x,y,z?，

?????????n?PB?0,??2x?y?3z?0,则????即?取y?1，则z?3，x?2． ???n?PC?0.??3y?3z?0.所以平面PBC的一个法向量为n??2,1,3．……………12分

?????AP?n????46设直线AP与平面PBC所成的角为?，则sin??cos?AP,n?????． ???3AP?n2?6所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为6．…………14分 3 19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）

（1）解：设等比数列?an?的公比为q，依题意，有

·9·

2a4?4a5?234?a?,??a3?a4?2a5,?a1q?a1q?2a1q,?3即?…………2分所以?2…………3分 2?222a?2a.??2?3?a1q?2a1q.?a?2a2.2?31?1a?,?1?a?,??2由于a1?0，q?0，解之得?或?12……………5分

?q?1.??q??1.??211?1?*又a1?0,q?0，所以a1?,q?，…6分所以数列?an?的通项公式为an???（n?N）．…7分

22?2?（2）解：由（1），得bn?n2n?52n?51?an??n．……8分

?2n?1??2n?3??2n?1??2n?3?2所以bn??111?1?2??．……10分 ???nn?1n(2n?1)2(2n?3)22n?12n?32??所以Sn?b1?b2?L?bn

??1?11?11??1?????L??? ???2?n?1n?35?25?27?22n?122n?32??????????1111．故数列的前项和．………14分 ??S??bn??nn3?2n?3?2n3?2n?3?2n20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

y2（1）解：依题意可得A(?1,0)，B(1,0)．………1分设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?，

b2y21?b22?1．…3分 因为双曲线的离心率为5，所以?5，即b?2．所以双曲线C的方程为x?41（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为k（k?0），

则直线AP的方程为y?k(x?1)，………4分

?y?k?x?1?,?222224?kx?2kx?k?4?0， 联立方程组?……5分整理，得??y2?1.?x??44?k24?k24?k2解得x??1或x?．所以x2?．……6分同理可得，x1?．………7分

4?k24?k24?k2·10·

所以x1?x2?1．……8分

证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），则kAP?y1y2，kAT?．4分 x1?1x2?1因为kAPy12y22y1y2?，即．……5分 ??kAT，所以22x1?1x2?1?x1?1??x2?1?21y12y222?1，x2??1． 因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x?442222即y1?4x1?1，y2?41?x2．………6分

????所以

4?x12?1??x1?1?2?4?1?x22??x2?1?2，即

x1?11?x2．………7分所以x1?x2?1．………8分 ?x1?1x2?1y1(x?1)，………4分 x1?1证法3：设点P(x1,y1)，直线AP的方程为y?y1?y??x?1?,?x1?1?4(x1?1)2?y12?x2?2y12x?y12?4(x1?1)2?0， 联立方程组?……5分整理，得???2?x2?y?1.??44(x1?1)2?y12解得x??1或x?．……6分 224(x1?1)?y1114(x1?1)2?y12将y?4x?4代入x?，得，即． x?x?2x1x14(x1?1)2?y122121所以x1?x2?1．……8分

????????（3）解：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），则PA???1?x1,?y1?，PB??1?x1,?y1?．

????????2因为PA?PB?15，所以??1?x1??1?x1??y1?15，即x12?y12?16．………9分

y12?1，所以x12?4x12?4?16，即x12?4． 因为点P在双曲线上，则x?421因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1?x1?2．………10分

111|AB||y2|?|y2|，S2?|OB||y1|?|y1|， 222122222222所以S1?S2?y2?y1??4?4x2???x1?1??5?x1?4x2．………11分

4因为S1?·11·

由（2）知，x1?x2?1，即x2?4122．设t?x12，则1?t?4，S1?S2?5?t?．

tx1设f?t??5?t?44?2?t??2?t?，则f??t???1?2?，

ttt2当1?t?2时，f??t??0，当2?t?4时，f??t??0，

所以函数f?t?在?1,2?上单调递增，在?2,4?上单调递减． 因为f?2??1，f?1??f?4??0，

22所以当t?4，即x1?2时，S1?S222当t?2，即x1?2时，S1?S2??min?f?4??0．………12分

??max?f?2??1．………13分

所以S12?S22的取值范围为?0,1?．………14分

222222说明：由S1?S2?5?x1?4x2?5?4x1x2?1，得S1?S2????max?1，给1分．

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）

x（1）证明：设?1(x)?f(x)?g1(x)?ex?x?1，所以?1?(x)?e?1．………1分

当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0，当x?0时，?1?(x)?0．

即函数?1(x)在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增，在x?0处取得唯一极小值，………2分 因为?1(0)?0，所以对任意实数x均有 ?1(x)≥?1(0)?0．即f(x)?g1(x)≥0， 所以f(x)≥g1(x)．…………3分

（2）解：当x?0时，f(x)?gn(x)．………4分

用数学归纳法证明如下：①当n?1时，由（1）知f(x)?g1(x)．

*②假设当n?k（k?N）时，对任意x?0均有f(x)?gk(x)，…………5分

令?k(x)?f(x)?gk(x)，?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)，

??1?x??f(x)?gk(x)， 因为对任意的正实数x，?k?1?(x)?f??x??gk由归纳假设知，?k?1?(x)?f(x)?gk(x)?0．………6分

即?k?1(x)?f(x)?gk?1(x)在(0,??)上为增函数，亦即?k?1(x)??k?1(0)， 因为?k?1(0)?0，所以?k?1(x)?0．从而对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)?0．

·12·

即对任意x?0，有f(x)?gk?1(x)．这就是说，当n?k?1时，对任意x?0，也有f(x)?gk?1(x)． 由①、②知，当x?0时，都有f(x)?gn(x)．…………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n，gn?1??e．

由（2）知，当x?0时，对任意正整数n，都有f(x)?gn(x)．令x?1，得gn?1??f?1?=e． 所以gn?1??e．…………9分

111?2??2??2??2??1?1?????再证对任意正整数n，1?????????????． ?g1??n?2!3!n!?2??3??4??n?1?123n1?2?要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式?成立． ???n?1?n!?n?1?即要证明对任意正整数n，不等式n!???（*）成立．………10分

?2?以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：

nn?1?1?①当n?1时，1!???成立，所以不等式（*）成立．

?2??k?1?*②假设当n?k（k?N）时，不等式（*）成立，即k!???．……11分

?2??k?1??k?1?则?k?1?!??k?1?k!??k?1???2????2??2?k?11kkk?1．

?k?2?k?1k?1k?1??1?12??k?2???01k?1?1?因为?????Ck?1????1???Ck?1?Ck?1??2，…12分 k?1k?1?k?1??k?1??k?1??k?1????2??k?1?所以?k?1?!?2???2?k?1?k?2?????2?k?1．…………13分

这说明当n?k?1时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立．

?2??2??2??2?综上可知，对任意正整数n，不等式1???????????????gn?1??e成立．

234n?1????????……………………………………14分

方法2（基本不等式法）： 因为n?1?123nn?1，…………11分2?n?1??2?n?1n?1，……，1?n?， 22·13·

?n?1?将以上n个不等式相乘，得n!???．…………13分

?2?所以对任意正整数n，不等式（*）都成立．

123nn?2??2??2??2?综上可知，对任意正整数n，不等式1???????????????gn?1??e成立．

?2??3??4??n?1?……14分

·14·

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/gy5.html