2016初中数学一轮复习课时导学案30讲：2016初中数学中考一轮复习

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2016年初中数学中考一轮复习

第26课 点、直线与圆的位置关系 导学案

【考点梳理】： 一、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内；

AdrBdCO思考与收获 2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上； 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外； 二、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点；2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点；

rdd=rrd

知识点：

1. 直线与圆的位置关系： 2. 切线的定义和性质： 3.三角形与圆的特殊位置关系：

4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d，半径分别为r1,r2） 相交?r1?r2?d?r1?r2； 外切?d?r1?r2；

内切?d?r1?r2； 外离?d?r1?r2； 内含?0?d?r1?r2 【注意点】

与圆的切线长有关的计算．

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【思想方法】 方程思想，分类讨论

【考点一】：直线与圆的位置关系 【例题赏析】

（1）（2015?齐齐哈尔,第6题3分）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（ ）21cnjy.com

思考与收获

A． 8≤AB≤10 B． 8＜AB≤10 C． 4≤AB≤5 D． 4＜AB≤5 考点： 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．

分析： 此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB≤10．www-2-1-cnjy-com 解答： 解：当AB与小圆相切， ∵大圆半径为5，小圆的半径为3， ∴AB=2

=8．

∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交， ∴8≤AB≤10． 故选：A．

点评： 本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．2-1-c-n-j-y

（2）（2015?湖南张家界，第2题3分）如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（ ） 21*cnjy*com

A． 相离 B． 相交

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C． 相切 D． 以上三种情况均有可能 考点： 直线与圆的位置关系．

分析： 利用直线l和⊙O相切?d=r，进而判断得出即可． 解答： 解：过点C作CD⊥AO于点D， ∵∠O=30°，OC=6， ∴DC=3，

∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切． 故选：C．

思考与收获

点评： 此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．

【考点二】：圆的切线的判定 【例题赏析】

（1）（2015?黔西南州）（第6题）如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（ ）www.21-cn-jy.com

A． 150° B． 130° C． 155° D． 135° 考点： 切线的性质．

分析： 由PA与PB为圆的两条切线，利用切线性质得到PA与OA垂直，PB与OB垂直，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数．【出处：21教育名师】 解答： 解：∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∵∠P=50°，

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∴∠AOB=130°． 故选B．

点评： 此题考查了切线的性质，以及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

（2）（2015?贵州省贵阳,第15题4分）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是 ．21教育名师原创作品

思考与收获

考点： 切线的性质；轨迹．. 专题： 应用题．

分析： 根据切线的性质得到OH=PH，根据锐角三角函数求出PH的长，得到答案． 解答： 解：如图，当圆心O移动到点P的位置时，光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切，切点为Q， ∵ON⊥AB，PQ⊥AB， ∴ON∥PQ， ∵ON=PQ，∴OH=PH，

在Rt△PHQ中，∠P=∠B=60°，PQ=1， ∴PH=则OP=

， ，

．

故答案为：

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思考与收获

点评： 本题考查的是直线与圆相切的知识，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．

【考点三】：圆的切线性质的应用 【例题赏析】

（1）（2015?宁德 第23题 4分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B．2·1·c·n·j·y （1）求证：直线AE是⊙O的切线； （2）若∠D=60°，AB=6时，求劣弧

的长（结果保留π）．

考点： 切线的判定；弧长的计算．

分析： （1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，进而可得∠CBA+∠CAB=90°，由∠EAC=∠B可得∠CAE+∠BAC=90°，从而可得直线AE是⊙O的切线；【版权所有：21教育】

（2）连接CO，计算出AO长，再利用圆周角定理可得∠AOC的度数，然后利用弧长公式可得答案．

解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠CBA+∠CAB=90°， ∵∠EAC=∠B，

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∴∠CAE+∠BAC=90°， 即 BA⊥AE． ∴AE是⊙O的切线． （2）连接CO， ∵AB=6， ∴AO=3， ∵∠D=60°， ∴∠AOC=120°， ∴

=

=2π．

思考与收获

点评： 此题主要考查了切线的判定和弧长计算，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．弧长公式：l=圆的半径为R）．

（2015?福建 第23题 10分）已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．

（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；

（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D． ①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由； ②求线段PQ的长．

（弧长为l，圆心角度数为n，

考点： 圆的综合题．.

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分析： （1）如图①，连接OQ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度．

（2）如图②，连接BC．利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ．根据圆周角定理推知思考与收获 BC⊥AC，所以，OQ⊥AC．【来源：21·世纪·教育·网】 （3）利用割线定理来求PQ的长度即可． 解答： 解：（1）如图①，连接OQ．

∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上， ∴OQ⊥OP． 又∵BP=OB=OQ=2， ∴PQ=

=

=2

，即PQ=2

；

（2）OQ⊥AC．理由如下： 如图②，连接BC． ∵BP=OB，

∴点B是OP的中点， 又∵PC=CQ， ∴点C是PQ的中点， ∴BC是△PQO的中位线， ∴BC∥OQ． 又∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC， ∴OQ⊥AC．

（3）如图②，PC?PQ=PB?PA，即PQ2

=2×6， 解得PQ=2

．

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思考与收获

点评： 本题考查了圆的综合题．掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算．【来源：21cnj*y.co*m】

（2）（2015?甘南州第21题 9分）五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD． （1）如图1，求∠EBD的度数；

（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG?HC的值．

考点：

切线的性质；相似三角形的判定与性质．. 分析：

（1）如图1，连接BF，由DE与⊙B相切于点F，得到BF⊥DE，通过Rt△BAE≌Rt△BEF，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是结论可得；

（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，由△ABE≌△PBC，得到PB=BE=出PF=解答：

解：（1）如图1，连接BF， ∵DE与⊙B相切于点F， ∴BF⊥DE，

，通过△AEG∽△CHD，列比例式即可得到结果．

，求全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com

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在Rt△BAE与Rt△BEF中，，

∴Rt△BAE≌Rt△BEF， ∴∠1=∠2， 同理∠3=∠4， ∵∠ABC=90°， ∴∠2+∠3=45°， 即∠EBD=45°；

（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P， ∵∠4=15°，

由（1）知，∠3=∠4=15°， ∴∠1=∠2=30°，∠PBC=30°， ∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1， ∴AE=

，BE=

，

在△ABE与△PBC中，，

∴△ABE≌△PBC， ∴PB=BE=， ∴PF=，

∵∠P=60°， ∴DF=2﹣

， ∴CD=DF=2﹣

， ∵∠EAG=∠DCH=45°， ∠AGE=∠BDC=75°， ∴△AEG∽△CHD， ∴

，

∴AG?CH=CD?AE， ∴AG?CH=CD?AE=（2﹣

）?

=

．

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思考与收获

点评：

本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

【真题专练】

1. （2015?湖南湘西州，第15题，4分）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的

距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（ ） A．点A在圆上

2. (2015年浙江省义乌市中考,14,5分)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB。若PB=4，则PA的长为

3. （2015?山东莱芜,第12题3分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB

⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（ ） （1）AB+CD=AD； （2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；

B． 点A在圆内

C． 点A在圆外

D． 无法确定

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（3）AB?CD=；

思考与收获 （4）∠ABE=∠DCE．

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

4．（2015?甘南州第24题 4分）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是 ．

5. (2015?山东泰安,第24题3分）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．

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6. （2015?江苏镇江，第10题，2分）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=

﹣1，则∠ACD= °．

思考与收获

7. （2015，广西钦州，25，8分）如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=

1，AD=3，求直径AB的长． 2

8. （2015?甘南州第10题 10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E． （1）当AC=2时，求⊙O的半径；

（2）设AC=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．

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思考与收获

9. （2015，广西柳州，25，10分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE． （1）求证：AB=AC；

（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．

10. （2015，福建南平，22，分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．21世纪教育网版权所有 （1）求证：∠BAD=∠BDC；

（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）

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