第二讲 平面几何中的著名定理

第二讲 平面几何中的著名定理

一、基础知识

（一）常用定理

1、（梅涅劳斯定理）设X,Y,Z分别是?ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，且奇数个点在边的延长线，则X,Y,Z三点共线的充要条件是：

BXXC?CYYA?AZZB?1.

2、（塞瓦定理）设X,Y,Z分别是?ABC的三边BC,CA,AB上的点， 则AX,BY,CZ共点的充要条件是：

BXXC?CYYA?AZZB?1.

（角元形式的塞瓦定理）设X,Y,Z分别是?ABC的三边BC,CA,AB上的点， 则AX,BY,CZ共点的充要条件是：

sin?BAXsin?XAC?sin?CBYsin?YBA?sin?ACZsin?ZCB?1.

?,C?A,?推论：设X,Y,Z分别是?ABC的外接圆三段弧BC则AX,BY,CZ共AB上的点，

点的充要条件是：

BXXC?CYYA?AZZB?1

3、托勒密定理:四边形ABCD内接于圆的充要条件是：

AB?CD?BC?DA?AC?BD.

广义托勒密定理:在凸四边形ABCD中,有AB?CD?BC?DA?AC?BD,等号成立的充要条件是四边形ABCD为圆的内接四边形.

直线上托勒密定理：若A,B,C,D为一直线上依次排列的四点， 则AB?CD?BC?DA?AC?BD．

4、斯德瓦特定理:设P是?ABC的BC边上一点, 则BP?AC2?PC?AB2?BC?AP2?BP?PC?BC.

2推论1、若BP:PC?m:n,则mAC推论2、若P为BC的中点,则AC 即中线长公式:AP?122?mAB22?(m?n)AP22?mnm?nBC2.

?AB2?2AP2?122BC, ?122(b?c)?a22222(AB?AC)?BC.

22推论3、若AB?AC,则AB?AP?BP?PC

推论4、当AP平分?BAC时,则cb?bc 即角平分线公式:AP?

2b?c22?(b?c)AP2?bcb?c12a,

2bcp(p?a).其中p?(a?b?c).

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5、西姆松定理：从一点P向?ABC的三边BC,CA,AB引垂线，点P在?ABC的外接圆上的充分必要条件是：三个垂足D,E,F共线

6、四边形ABCD对角线互相垂直的充要条件是AB2?CD2?AD22?BC.

（二）几个容易忽视的定理 1、（完全四边形的性质）四边形ABCD的对边AD,BC的延长线交于K，AB,DC的延长线交于L，AC,BD相交于M，对角线AC,DB分别交KL所在直线于G,F.

求证：(1)

LGLF?KGKFAMAGCMCGBMBFDMDF；(2)?；（3）?．

2、（张角定理）设A,C,B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA,PC,PB上的点，线段AC,CB对于点P的张角分别是?,?，且????180?，则A,C,B三点共线的充要条件是：

sin(???)PC?sin?PB?sin?PA.

推论：在定理的条件下，且???，即PC平分?APB时，则A,C,B三点共线的充要条件是：

2cos?PC?1PB?1PA.

3、（蝴蝶定理）已知M是⊙O的弦AB的中点，过M任作两条弦CD,EF,连CF,DE分别交AB于G,H,则MH?MG.

4、（九点圆定理）三角形的三条高的垂足、三条边的中点、以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。

?ABC的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是?ABC外接

圆半径的一半。

5、帕斯卡（Pascal）定理:圆内接六边形ABCDEF的AB边与CD边，BC边与EF边，CD边与FA边所在直线分别交于H、K、I,则H、K、I三点共线，

推论1（莱莫恩线）过?ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线，分别和

BC,CA,AB的延长线交于P,Q,R.求证：P,Q,R三点共线.

推论2 帕普斯（Papus）定理：点A，B，C在直线l上，点D,E,F在直线m上，

AE?BD?G,AF?CD?H,BF?CE?I,则G,H,I三点共线。

5、布利安香定理：六边形ABCDEF为圆的外切六边形，则AD,BE,CF三线共点。 推论：四边形ABCD为圆的外切四边形，则对边切点连线及两对角线共点。

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7、（笛沙格定理）在?ABC与?A1B1C1中，直线B1C1和B2C2交于X；直线A1C1和A2C2交于Y；直线A1B1和A2B2交于Z．则X,Y,Z三点共线的充要条件是AA1,BB1,CC1三线共点．

二、典型问题选讲

1、四边形ABCD的对边AB、DC的延长线交于E，BC、AD的延长线交于F， 且BD∥EF，若AC的延长线交EF于M，求

EMMF的值。

2、G是?ABC内一点，AG,BG,CG的延长线分别交对边于D,E,F,使得?AGF，

?BGF,?BGD的面积分别为40，30，35。求?ABC的面积。

3、已知AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M、N分别内分AC、CE， 且

AMAC?CNCE?k，如果B、M、N三点共线，求k的值。

变式：在凸四边形ABCD中，?ABD,?BCD和?ABC的面积之比为3:4:1，点

M,N分别在AC,CD上，满足

AMAC?CNCD?k，若B,M,N三点共线，求k的值是 。

4、设P是锐角?ABC的高AD上任一点，BP和CP的延长线分别与AC,AB交

于E,F.求证：?ADE??ADF.

引申：在凸四边形ABCD中，?CAB??CAD，E和F分别是边CD,BC上的点，且满足?CAF??CAE，求证：AC,BE,DF三线共点.

5、如图，四边形ABCD的内切圆分别切AB、BC、CD、DA

于点E、F、G、H，求证：HE、DB、GF三线共点.

6、如图，设?ABC的内切圆分别与BC,CA,AB切于点D,E,F，

FMEPQDHGCAFEAB M为线段EF上任一点，BM,CM分别交DE,DF于P,Q．

求证：DM,EP,FQ三线共点．

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BDC A7、如图，?ABC的边BC为直径作半圆，与AB，AC分别

交于点D和E.过D、E作BC的垂线，垂足分别是F，G.线段DG，EF 交于点M.求证：AM⊥BC.

B

DMFE 8、在?ABC中，AB?AC?BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD?BE?AC，?BDE的外接圆与?ABC的外接圆交于点F.求证：BF?AF?CF.

9、已知O是锐角?ABC的外心，OD?BC于D,OE?CA于E,OF?AB于F,RGC与r分别是?ABC的外接圆半径和内切圆半径.求证：OD?OE?OF?R?r.

10、过△ABC的顶点A作一圆分别与边AB,AC和中线AD交于B1,C1和D1.

求证：AB1?AB?AC1?AC?2AD1?AD.

11、已知PA,PB分别与⊙O相切于A和B，QC,QD分别与⊙O相切于C和D， 且弦AB与CD交于M.求证：OM?PQ.

12、在?ABC中，AB?AC且AB?BC．D和E分别是边AC和BC上的点，满足AD?AB?BE，O和I分别是?ABC的外心和内心.求证：IO?DE.

13、在?ABC的边AB,CB的延长线上分别取点M，N，使得AM?CN?p， 其中p是?ABC 的半周长，作外接圆的直径BK，I为内心.求证：KI?MN．

14、如图，AB是⊙O的直径，PA,PC是圆的切线，A,C为切点，作CD?AB于D，Q为CD的中点。

求证：P,Q,B三点共线。

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