天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）（Word版含解析）

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天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）

一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．） 1．（5分）复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，则z=（） A． ﹣2﹣2i B． ﹣2+2i C． 2﹣2i D．2+2i

2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（?UA）∩B=（） A． ?

B． {x|＜x≤1}

C． {x|x＜1}

D．{x|0＜x＜1}

3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）

A． 2 B． 4 C． 5 D．20 4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则（） A． α∥β且l∥α B． α⊥β且l⊥β C． α与β相交，且交线垂直于l D． α与β相交，且交线平行于l

5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b=3，a+b=2 A． 2

6．（5分）设

（b）≥0的（） A．充分必要条件 C．必要而非充分条件

7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：

的最大值为（） D．

B． C． 1

，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f

B．充分而非必要条件

D．既非充分也非必要条件

+y=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2

在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）

A．

B． C． D．

8．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）

A． B．

C． D．

二、填空题：（每小题5分，共30分．） 9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果

是．

10．（5分）已知

，则二项式

的展开式中含x

项的系数是． 11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．

12．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为

（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为． 13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则

的值为．

14．（5分）已知函数f（x）=a+x﹣xlna，对?x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围．

三、解答题：（15-18每小题13分，19-20每小题13分，共80分．） 15．（13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；

（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．

16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cosx+1 （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．

17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求

的值．

18．（13分）如图，椭圆E：

的左焦点为F1，右焦点为F2，离心

率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn=（2n﹣1）an+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=

20．（14分）设函数f（x）=lnx+x﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln

，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．

，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）

＞k（4﹣a）成立，求实数k的取值范围．

天津市南开中学2015届高考数学模拟试卷（理科）

参考答案与试题解析

考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．

分析：由复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5，变形为得出．

解答：解：∵复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5， ∴

=2+2i．

，再利用复数的运算法则即可

故选：D．

点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

2．（5分）已知全集U=R，A={y|y=2+1}，B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}，则（?UA）∩B=（） A． ?

B． {x|＜x≤1}

C． {x|x＜1}

D．{x|0＜x＜1}

考点：绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域．专题：集合．

分析：求出两个集合，然后求解补集以及交集即可．

解答：解：全集U=R，A={y|y=2+1}={y|y＞1}，∴?UA={y|y≤1} B={x||x﹣1|+|x﹣2|＜2}={x|则（?UA）∩B={x|＜x≤1}．

故选：B．

点评：本题考查函数的定义域，绝对值不等式的解法，集合的交、并、补的运算，考查计算能力．

}，

3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）

A． 2 B． 4

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

C． 5 D．20

分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求

出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+3y的最小值．

解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+3y=z，显然当平行直线过点A（2，0）时， z取得最小值为4；故选B．

点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解． 4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则（） A． α∥β且l∥α B． α⊥β且l⊥β C． α与β相交，且交线垂直于l D． α与β相交，且交线平行于l

考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．

分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．

解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l?α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β．

由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，

与m，n异面矛盾．

故α与β相交，且交线平行于l．故选D．

点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．

5．（5分）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b=3，a+b=2 A． 2

B．

C． 1

的最大值为（） D．

考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．

分析：将x，y用a，b表示，用基本不等式求最值

解答：解：∵a=b=3， ∴x=loga3=

，y=logb3=

，

∴

当且仅当a=b时取等号故选项为C

点评：本试题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力

6．（5分）设

，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f

（b）≥0的（） A．充分必要条件 B．充分而非必要条件 C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．专题：计算题；压轴题．

分析：由（f﹣x）=﹣x+log（2﹣x+

）=﹣x+log2

=﹣x﹣log2（x+

）

=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．解答：解：f（x）=x+log2（x+∵f（﹣x）=﹣x+log2（﹣x+

），f（x）的定义域为R ）=﹣x+log2

=﹣x﹣log2（x+∴f（x）是奇函数

）=﹣f（x）．

∵f（x）在（0，+∞）上是增函数 ∴f（x）在R上是增函数 a+b≥0可得a≥﹣b

∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b） ∴f（a）+f（b）≥0成立

若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知 a≥﹣b

∴a+b≥0成立

∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．

点评：本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．

7．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：

+y=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2

在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）

A．

B．

C．

D．

考点：椭圆的简单性质．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解答：解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：∴2a=4，b=1，c=；

∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；① 又四边形AF1BF2为矩形， ∴

，即x+y=（2c）=

，解此方程组可求得x，y的值，利

+y=1上的点，

=12，②

由①②得：为2n，

，解得x=2﹣，y=2+

，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距

则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2∴双曲线C2的离心率e==

，2n=2=

．

=2，

故选D．

点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

A． B．

C． D．

考点：轨迹方程．

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．

解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．

当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=

；

当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；

当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．

结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．

二、填空题：（每小题5分，共30分．）

9．（5分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是

10．

考点：程序框图．专题：图表型．

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．

解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S n 是否继续循环循环前 0 1 第一圈 0 2 是第二圈 3 3 是第三圈 5 4 是第四圈 10 5 否此时S值为10．故答案为：10．

点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．

10．（5分）已知，则二项式的展开式中含x

项的系数是﹣192．

考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题；概率与统计．

分析：先求定积分得出a的值，再在二项式展开式的通项公式中，再令x的系数等于2，

求得r的值，即可求得展开式中含x项的系数．

解答：解：∵已知=（sinx﹣cosx）=2，

则二项式=

的展开式的通项公式为

3﹣r

Tr+1=

??（﹣1）?

=?x

．

令3﹣r=2，解得 r=1，故展开式中含x项的系数是故答案为﹣192．

=﹣192，

点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 11．（5分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为

．

考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆；推理和证明．

分析：由已知条件求出BD=2，BE=，再由切割线定理知BE?BF=BD?BC，由此能求出

EF．

解答：解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5， D是BC的中点，BE⊥AC于E， ∴BD=2，BE=

，

∵BE?BF=BD?BC， ∴解得EF=故答案为：

．．

，

点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．

12．（5分）已知直线l的参数方程为

（t为参数），圆C的参数方程为

（θ为参数）则圆C上的点到直线l的距离的最大值为3．

考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．

分析：直线l的参数方程为数方程为

（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，圆C的参

（θ为参数），利用cosθ+sinθ=1，可得圆的普通方程．求出圆心到

直线l的距离d．即可得出圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r．

解答：解：直线l的参数方程为圆C的参数方程为

（t为参数），消去参数化为3x﹣4y+4=0，

（θ为参数），∵cosθ+sinθ=1，∴圆的普通方程为（x﹣2）

+y=1．

=2．

圆心（2，0）到直线l的距离d=

则圆C上的点到直线l的距离的最大值=d+r=3．

故答案为：3．

点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，BC=4，△ACD是等边三角形，则

的值为．

考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．

分析：通过题意可知AD=AC=5，cos∠CAD=，cos∠BAC=，利用?

，代入计算即可．

=?﹣

解答：解：∵AB⊥BC，AB=3，BC=4， ∴AC=

=5，cos∠BAC=，

又∵△ACD是等边三角形， ∴AD=AC=5，cos∠CAD=， ∴===

?（?

﹣﹣﹣?）

=，

故答案为：．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，注意解题方法的积累，属于中档题．

14．（5分）已知函数f（x）=a+x﹣xlna，对?x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围a≥e．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；导数的综合应用．

解答：解：f′（x）=alna+2x﹣lna=（a﹣1）lna+2x，

当a＞1时，x∈[0，1]时，a≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；

当0＜a＜1时，a≤1，lna＜0，2x≥0，此时也有f′（x）≥0，综上知，f（x）在[0，1]上单调递增，

f（x）min=f（0）=1，f（x）max=f（1）=a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min=a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣1，解得a≥e，故答案为：a≥e．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问难的能力．

（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．

考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．

分析：（Ⅰ）确定乙得分的取值，求出相应的概率，即可求得分布列和数学期望；（Ⅱ）利用对立事件的概率公式，即可求得甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．解答：解：（Ⅰ）设乙的得分为X，X的可能值有0，10，20，30…（1分）

，，

…（5分）

乙得分的分布列为： X 0 P …（6分）

所以乙得分的数学期望为15…（8分）（Ⅱ）乙通过测试的概率为甲通过测试的概率为甲、乙都没通过测试的概率为

因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为

…（9分）

…（11分）

…（13分）

点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cosx+1 （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（）=2，b=1，c=2，求a的值．

考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．

分析：（Ⅰ）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）由f（）=2，得到sin（A﹣）=1，确定出A的度数，求出cosA的值，再由b，c

的值，利用余弦定理即可求出a的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）∵ω=2，∴最小正周期T=由2kπ﹣

≤2x﹣

≤2kπ+

sin2x﹣cos2x=2（=π；，k∈Z得，kπ﹣

，kπ+

≤x≤kπ+

，k∈Z，

sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣

），

则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣]（k∈Z）；

（Ⅱ）∵f（）=2，∴2sin（A﹣∴A﹣

+2kπ，k∈Z，即A=

，

）=2，即sin（A﹣+2kπ，k∈Z，

）=1，

又0＜A＜π，∴A=

由余弦定理及b=1，c=2，cosA=﹣得：a=b+c﹣2bccosA=7，即a=1+4+2=7，

解得：a=．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求

的值．

2222

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．

分析：（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得

D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．

解答：（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．

又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC， ∴AA1⊥平面ABC．

（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．

222

∴AC+AB=BC，∴AB⊥AC．

建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4）， ∴

，

．

设平面A1BC1的法向量为z2）．则

，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，

，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴

．

，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴

．

===．

∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为

．

（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D∴∵∴∴

．

，∴

，

，，，解得t=

．

=（0，3，﹣4），

点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．

18．（13分）如图，椭圆E：

的左焦点为F1，右焦点为F2，离心

率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．

（Ⅰ）求椭圆E的方程．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．

分析：（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b=a﹣c=3，即可求得椭圆E的方程．

（Ⅱ）由，消元可得（4k+3）x+8kmx+4m﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与

222

椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（得Q（4，4k+m），取k=0，m=

；k=

，），由

，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M

（1，0），再进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8． ∴4a=8，∴a=2 ∵e=，∴c=1 ∴b=a﹣c=3 ∴椭圆E的方程为

．

（Ⅱ）由，消元可得（4k+3）x+8kmx+4m﹣12=0

222

∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）

222

∴m≠0，△=0，∴（8km）﹣4×（4k+3）×（4m﹣12）=0

∴4k﹣m+3=0① 此时x0=由

，y0=，即P（

，）

得Q（4，4k+m）

取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）+（y﹣2

=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=

，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）+（y﹣）=

），

交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）

故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下 ∵∴

故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）

点评：本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．

19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn=（2n﹣1）an+1+1，且a1=1．（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=

，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．

考点：数列的求和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（Ⅰ）利用4Sn=（2n﹣1）an+1+1，写出4Sn﹣1=（2n﹣3）an+1，两式相减，得

，利用累加法求解an，判断数列{an}是首项为1，公差为2的等差

数列．

（Ⅱ）利用放缩法以及裂项法，直接证明求解即可．

解答：（Ⅰ）证明：因为4Sn=（2n﹣1）an+1+1，所以当n≥2时，4Sn﹣1=（2n﹣3）an+1，两式相减，得4an=（2n﹣1）an+1﹣（2n﹣3）an（n≥2），所以（2n+1）an=（2n﹣1）an+1，即

在4Sn=（2n﹣1）an+1+1中，令n=1，得a2=3，所以

，

=，

所以an﹣an﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣3）=2（n≥2），

故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且an=2n﹣1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当n=1时，

；

，

当n≥1时，，

所以．

点评：本题考查等差数列的判定，数列的递推关系式的应用，放缩法以及裂项求和的应用，考查分析问题解决问题的能力．

20．（14分）设函数f（x）=lnx+x﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2ln

，对于任意a∈（2，4），总存在，使g（x）

＞k（4﹣a）成立，求实数k的取值范围．

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

专题：综合题；导数的综合应用．

分析：（Ⅰ）当a=3时，求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）=

=0，即2x﹣ax+1=0有两

个不相等的实数根，结合韦达定理，可得（fx1）﹣（fx2），构造新函数F（x）=2lnx﹣x+（0＜x≤1），确定其单调性，即可得出结论；（Ⅲ）确定g（x）在

+ln2

上单调递增，可得g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4

﹣2ln6，h（a）=）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a），分类讨论，确定单调性，即可得出结论．

解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1，f′（x）＜0，可得＜x＜1，

，

∴f（x）的递增区间为（0，）和（1，+∞），递减区间为（，1）；（Ⅱ）证明：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2， ∴f′（x）=

∴x1+x2=，x1x2= ∴2（x1+x2）=a，x2=

，

=0，即2x﹣ax+1=0有两个不相等的实数根，

∴f（x1）﹣f（x2）=lnx1+x1﹣ax1﹣（lnx2+x2﹣ax2）=2lnx1﹣x1+

+ln2（0＜x≤1）．

设F（x）=2lnx﹣x+

+ln2（0＜x≤1），则F′（x）=﹣＜0，

∴F（x）在（0，1）上单调递减，

∴F（x）≥F（1）=﹣+ln2，即f（x1）﹣f（x2）≥﹣+ln2；（Ⅲ）解：g（x）=f（x）+2ln

=2ln（ax+2）+x﹣ax﹣2ln6，

∴g′（x）=，

∵a∈（2，4），∴x+∴g′（x）＞0， ∴g（x）在

＞0，

上单调递增，

∴g（x）max=g（2）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6，

∴2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a）在（2，4）上恒成立．

令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4﹣a），则h（2）=0， ∴h（a）＞0在（2，4）上恒成立． ∵h′（a）=

，

k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减，h（a）＜h（2）=0，不合题意； k＞0时，h′（a）=0，可得a=①

．

）上单调递减，存在h（a）＜h（2）=0，

＞2，即0＜k＜时，h（a）在（2，

不合题意； ②

≤2，即k≥时，h（x）在（2，4）上单调递增，h（a）＞h（2）=0，满足题意．

综上，实数k的取值范围为[，+∞）．

点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．

综上，实数k的取值范围为[，+∞）．

点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于难题．

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